普朗克公式

普朗克对物理学的颠覆行动，最早发生在世纪之交，这是由普朗克这方面的折中甚至屈从而导致的。这种颠覆带来了令人不安的现状，因为他无法用他曾相信的理论来解决一个他研究了许多年的问题。在很大程度上可以减少这种令人不安的感觉的是，这个问题或许并不值得一个成年人对之如此关注。普朗克为自己所设定的任务是要从第一性原理出发，计算从一个特殊的电烤炉或者说空腔的小孔里逸出的辐射中，各种颜色的相对强度。用不甚严谨的话来说就是，他想算出任何指定的温度下炉内的色调（像“热得发红”，“热得发白”，如此等等）。

有两个不同的理由，使人们渴望了解空腔辐射的颜色强度，或者说能量分布。基础性而且貌似有理的论据表明，在平衡状态下，这种分布与空腔的大小或形状无关，也与腔壁的材料无关。对于空腔的单位体积，有关这种分布的公式将提供对于每种颜色的光波所携带能量的具体说明。可以推断，公式中将只包括温度、波长（这是对颜色的度量），以及一个或几个对于所有的空腔、颜色和分布都相同的“普适常数”。对普朗克来说，找到这样一个公式，就意味着发现了一种具有非常普遍的理论重要性的关系，它“与特定的物体和物质无关，而对所有的时代和文化，甚至对于地球以外和人类以外的文明，都必然保持其重要性”。 ^[1]

人们关注空腔辐射的第二个理由完全是实用性的。因为对于给定的光（波长较短），平衡分布使热（波长较长）的量达到最大值。所以普朗克所寻找的公式描述了在可能中最差的光源，从而可以作为为新电灯分等的零点标准。于是，帝国物理技术研究所这个帝国的标准机构，对测量空腔辐射的平衡分布很感兴趣。1896年，威廉·维恩和在帝国研究所物理部的其他物理学家，把一个昂贵的瓷制空心圆柱和铂放在一起，并记录下从其一端的小孔中被允许逸出的辐射的颜色分布。他们最初是利用从近红外到紫光的较短波长来进行研究。在柏林技术高等学校，另一位普朗克与之关系密切的同事海因里希·鲁本斯利用另一个电炉，接着把测量做到了远红外。有相当多的经验公式被拼凑出来，它们或多或少地与事实相符。有一段时间，由维恩在1896年提出的一个半理论性的公式似乎是最出色的。 ^[2] 普朗克则是打算要从电动力学和热力学的基本定律出发，导出维恩的公式。

因为平衡分布与腔壁的性质无关，所以普朗克以最容易的方式自由地对它们设定模型。他把空腔壁描述成“振子”的集合，把每一个振子描述成一个无质量的弹簧，并在其端点带有一个电荷。这些弹簧可以具有任意可能的硬度，从而可以以所有可能的频率来振动。加热腔壁使弹簧运动起来；根据麦克斯韦的电动力学，加速的电荷把能量辐射到空腔中，也吸收那些波长与它们共振的辐射；平衡最终建立起来，在平衡态，具有某一给定频率的所有振子从空腔中吸收的能量，都与它们向空腔辐射的能量一样多。

麦克斯韦方程讲述了，或者说在过去讲述了有关发射、吸收以及辐射从振子传播的一切内容，却一点也没有告诉我们有关在最终的平衡状态能量分布的事。普朗克认为，通过作一特殊的假定，把振子的平均能量与它们的熵联系起来，他就可以得到维恩的公式。（熵是普朗克所喜爱的概念，现在我们将关心它在物理上的重要性。）他的乐观被来自路德维希·玻耳兹曼的批评无情地粉碎了，在这些问题上，玻耳兹曼是世界上的权威，他曾细致地研究过气体的平衡和达到平衡的途径。虽然普朗克并不赞同玻耳兹曼的气体理论，但他钦佩这一理论的提出者； ^[3] 他接受了玻耳兹曼从他的理论中派生出来的批评，并找到了另一个有关熵和能量的特殊假定，重新推导出维恩的公式。这是在1899年。因为这个公式仍然与事实相吻合，除了因普朗克的特殊假定而没有牢固的基础，或因其他人排斥这种假定而带来的烦恼之外，任务似乎已经完成了。 ^[4]

1900年，帝国研究所中那些一直在向红外挺进的实验家，发现在维恩的定律和他们的测量之间有不可消除的差异。在这年的5月，普朗克曾向柏林科学院提出了一个有利于他的假定、得到改进并且貌似可信的论证；但在10月，屈从于事实的压力，他把维恩的定律归纳为仅在短波下近似地成立。普朗克的内心不允许他长时间地相信无可争辩地与精密测量不相符的理论。这就像是哲学家。正像他在几年后写信给维恩时所讲的那样，他批评英国物理学家詹姆斯·金斯，因为金斯在面对比说服了普朗克的那些差异更强有力的证据时，仍在抵抗，“他是理论家所不应学习的榜样，就像哲学中的黑格尔：如果与事实不相符合，那么这些事实该是多么的糟糕”。 ^[5]

理论物理学家像自然一样厌恶真空：在放弃了作为真理的维恩公式之后，普朗克就在那个位置补上了另一个公式，这是凭借来自灵感的猜测、科学的鉴赏力以及清醒的妥协的结果，简而言之，是修修补补的结果。新的关系式与所有可靠的测量都相吻合，而且这种吻合是利用了两个经验性的普适常数，但并不比维恩所需要的更多。

妥协到此为止。下一步就是有条件的投降了。在试图推导出他折中的公式时，普朗克将它改写，来表示在给定频率下所有振子的熵。在这种表示中，他发现与玻耳兹曼对平衡态气体的熵的表述相当类似。玻耳兹曼的表述是建立在这样一个命题的基础之上的，即平衡不是最终的、不变的状态，而只是最可能的状态。普朗克曾最不情愿接受这一命题，并且坚持了一段时间。因为它对普朗克关于科学的看法，以及关于他自己毕生工作的看法构成了威胁。

[1] PA, 1, 599-600（1899）.

[2] Kangro, Vorgeschichte （1970）, secs. 5.4, 7.2.

[3] Planck to L. Koenigsberg, 7 Feb. 1895（acc. Darmst., 1922. 93, SPK）.

[4] Kuhn, Black-body theory （1978）,6-11, 82-91, 278.

[5] Planck to Wien, 27 Feb. 1909（AHQP）; cf. PA, 2, 247（1910）. 4HpUzzxqfevD60QTjtYdLE/EQvRp/nGNCatrsLdvr1Y6CGB0e5WQ8aG1lzCQs/JI