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1611年元旦，德国天文学家、数学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630年）送给他的朋友和赞助人约翰·马修斯·瓦克尔·冯·瓦肯费尔斯（Johann Matthäus Wacker von Wackenfels，1550—1619年）一本小册子，书名非常好，叫作《六角雪花》。开普勒曾仔细观察过雪花，他注意到雪花是精细的分叉结构，在每个分叉处形成60度或120度的角，这正是正六边形的特征。现在我们已经知道，这种形状是基于水的分子结构。
正六边形是在开普勒的小册子中首次被提及的。开普勒在文中推测：正六边形是自然界中的一个基本形状。
其实，大自然创造出了许多正六边形，例如，蜂巢就是由正六边形奇妙地结合在一起的。在蜂巢结构中，规则的正六边形完美地结合在一起，形成一个完全规则的图形，没有任何瑕疵。人们将这样的无缝隙重叠现象称为“平面镶嵌”。如果我们观察一下正六边形平面镶嵌图的边缘，就会发现单元格的边缘全部衔接在一起。再观察一下角，就会发现，在任何一个区域，正好有三个正六边形，而且它们的三条边相连接。这样一来，位于一个角顶点处的三条边组成了三个同等大小的角，即每个角为120度。
自然界中通常会自动形成正六边形。更准确地说，正六边形的角在很多情况下都是自动形成的。比如，取一些可塑性强的材料——面团、橡皮泥、泥土、蜡等，将其分成三份，并大致放置在正三角形三个角的位置上，再将它们紧紧挤压在一起。神奇的是，每两部分之间形成了笔直的界线。从上面看，你会看到三个相等的角，即120度的角。
我们也可以在厨房里观察到这种现象。如果把要蒸的馒头放到模具里，然后放进烤箱，馒头因膨胀而挤到一起，形成一个大致的正六边形图案。
正六边形的稳定性还被应用在六角螺母上，它可以很容易地被拧到螺栓上而不滑落。内六角螺栓的发明更加巧妙。这些螺栓头部的内侧嵌入了一个“正六边形”，这样就可以用内六角扳手来拧紧或松开。这项发明可以追溯到美国人威廉·G.艾伦（William G.Allen），他早在1910年就申请了该项专利。因此，在美国，这种扳手也被称为艾伦扳手。德国公司Bauer &Schaurte于1936年在德国为这种类型的扳手申请了专利，并以INBUS（Innensechskantschraube Bauer und Schaurte）内六角扳手的名称将其投向市场。
开普勒在他的书中阐述了关于数字6和正六边形结构的其他表现形式。除了他热衷的蜂巢，他还谈到了高密度的圆形和球体堆积问题。
让我们想象一组相同大小的硬币。我们可以在一枚硬币周围正好摆下6枚硬币，它们完全贴合在一起。如果将这个模式扩展下去，就会得到一个“圆形堆积”的平面。开普勒思考的问题是，这种“六边形”的堆积是否是最密集的堆积形式，即覆盖面积是否最大。开普勒计算出这种圆形堆积覆盖面约为90.7%，或者更准确地说，是
。
开普勒进一步思索：那么，在三维空间中，情况会怎么样呢？怎样才能将炮弹装得最密集？或许我们可能会问：怎样才能把橙子堆起来，并让它们尽可能地紧密？
对此，开普勒也计算出，通常这种常见的“正六边形橙堆”的密度为
（即74.048%）。
几个世纪以来，关于最密集的圆形堆积和球体堆积这两种现象的证明问题，在数学界一直悬而未决。直到1910年，挪威数学家阿克塞尔·图厄（Axel Thue，1863—1922年）终于证明出圆形堆积问题。相比之下，球体堆积问题就显得不那么容易了，一直到2005年后才由美国数学家托马斯·克里斯特尔·黑尔斯（Thomas Callister Hales，1958年— ）成功证明。他在证明中除运用了广泛的理论知识外，还利用大量的计算机计算来辅助证明。
早在开普勒认识到正六边形的基本意义之前，数学家们就在关注数字6。他们从简单的等式1+2+3=6开始，将数字1，2，3解释为构成数字6的因子（6本身除外），1+2+3又等于6。古希腊数学家发现乘法结构（因子）和加法结构（总和）之间的这种联系非常吸引人，因此他们将数字6称为“完美数”（现通常称“完全数”）。一般来说，如果一个数字恰好等于它的“真因子”
之和，则被称为“完全数”。
下一个完全数是28，这或许是通过多次尝试找到的。28恰好是其真因子1，2，4，7，14的和。
从当代的视角出发，由于其名称的特殊性，完全数往往被过度解读。例如，神父圣奥勒留·奥古斯丁（Saint Aurelius Augustine，354—430年）将完全数6与《圣经》记载的上帝用六天创造世界联系起来。奥古斯丁在《上帝之城》一书中写道：“这（由上帝创造的）世界是在六天内完成创造的……正是源于数字6的完美性。”他接着写道，“并不是说上帝需要一段时间而不能同时创造一切……而是因为万物的完美性要由数字6来体现。”因此，人们获得的印象是，奥古斯丁认为有必要就数字6的问题来维护上帝的旨意。
要找到完全数其实并不容易，（继6和28之后）第三个完全数是496。人们会不由自主地问：那么，下一个完全数是什么呢？或者说，还有没有下一个完全数？
在欧几里得的《几何原本》中，我们早就发现了一个获得完全数的秘诀。最重要的因素是一种特殊类型的质数，即正好比2的幂小1的质数。2的幂是4，8，16，32，64，…一般来说，我们可以把2的幂写成2 k 。我们要找的质数比这些数字小1，则它们可能是数字3，7，15，31，63，…或者是数字2 k -1。
我们会立刻发现，这些数字并非都是质数。例如，15和63都不是质数，但这对我们来说并不重要，我们只需找出列表中的这类质数，即形式为 p =2 k -1的质数 p 。例如，3=2 2 -1，7=2 3 -1和31= 2 5 -1。
用2 k -1得到的质数再乘以2 k -1 ，就可以得到一个完全数。例如，从31=2 5 -1我们可以得到完全数（2 5 -1）×2 5 -1 =31×16=496。
伟大的数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783年）运用反证法证明出每个完全数都是偶完全数。
这里还有两个问题。首先，只有极少数形式为 p =2 k -1的质数是已知的。这些数也被称为“梅森素数”，迄今为止（2020年）只发现了51个。其次，尽管经过了几千年的研究，但我们不知道是否存在一个奇完全数。
“到底有多少个梅森素数呢？”以及“是否存在奇完全数？”这两个问题目前仍是数学界尚未解决的难题。