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“五指成拳！”这曾是魏玛共和国时期
担任德国共产党主席的恩斯特·台尔曼（Ernst Thälmann，1886—1944年）用来动员其追随者的口号。然而，这句话所表达的正是许久以来人们与数字打交道时的基本经验。
一只手的五根手指共同组成一个整体，这比五根手指的顺序更有意义。在几乎所有发展了数字系统的文化中，5都是一个特殊的数字。
当我们用手指计数时，5是第一个计数上限。因此，它自然成为“较大的单位”之一。我们将5个数字合并成一个新单位，例如，刻痕计数时在前四条竖线上加上一条横线，形成一个5。此外，罗马数字“V”也是“IIIII”的缩写形式。
5作为一个特殊的计数单位，还与心理学上的一种现象十分吻合：我们不需要计数便可直接确定摆在面前的5个或更少的物体的数量，而面对更大的数量，这就不太可能了。
数字5的显著特征还体现在其几何形状上，例如，正五边形或者五角星。这些形状展现了连接的紧密。如果将平面上五个均匀分布的点依次连接起来，就会得到一个正五边形；如果是每隔一个点，就会得到一个五角星（如图5-1）。
图5-1 正五边形和五角星
在自然界中，五角星的形状大多出现在花朵上，绝大多数花都有五重对称的花瓣，例如，所有的蔷薇科植物——除了蔷薇，还有樱桃、李子和草莓等。鼠尾草、罗勒、牛至和马铃薯也是五齿萼属。如果你横切一个苹果，苹果核会显示出一个五角星。杨桃的横切面就是一个几乎完美的五角星，一只海星也正好有五条腕。
这些数字很能说明问题：在大约24万种开花植物中，约有6万种是三基数的（这些是单子叶植物），只有约4000种是四基数的，其余约17.5万种是五基数的。
当我们想展示一个特别重要的、突出的、有代表性的事物时，我们总是会使用五角星。例如，旗帜上的大多数星星都是五角星（如一些欧洲国家、美国、伊斯兰国家），就连酒店和过圣诞节布置的星星大多也是五角星。
五角星的神奇魔力亦可在歌德的《浮士德》第一部中感受到。当浮士德在书房里与梅菲斯特结束第一次谈话之后，梅菲斯特却无法离开房间，因为他在门槛上看到了一个有“缺口”的“五芒星”（五角星）。浮士德嘲笑他道：“五角星会让你痛苦吗？”之后，梅菲斯特耍了一个非常特别的把戏解决了这个问题：他先让浮士德在歌声中入睡，然后召来一只老鼠，咬坏“阻碍他的魔障”，这样他就可以逃脱了。
正五边形或五角星在思想史上也具有重要意义，借助它们，人类发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯学派的学者深信“万物皆数”；他们认为所有现象都与自然数（数字1，2，3，…）和自然数的比例相关联。现如今，我们把这些比例，如2∶3，写成分数2/3，这些分数也被称为“有理数”（源自拉丁语“ratio”，即“比例”）。
毕达哥拉斯学派的弟子，来自梅塔蓬图姆
的希帕索斯（Hippasos，约公元前500年），大概是在五角星上发现了一些不能用自然数表达的比例。因此，这些比例并不构成有理数，而是“无理数”（非有理数）。
具体是这样的：例如，在五角星水平线的两端有两个“内角”。这些内角的左侧线将水平线分割成了两部分线段，一部分线段短，另一部分线段长，而这两条线段的长度之比就是一个无理数！
这一事实无法从经验中得到验证，因为通过测量，人们只能得出合理的比例。这一点必须用数学的方法加以证明，这正是希帕索斯所做的。他的证明也表明了希腊数学在当时已经发展得十分成熟。
希帕索斯是采用反证法来证明无理数的。他先假设有一个五角星，其中短线段和长线段的长度比例是有理数。之后，通过相应地放大图形，得到短线段和长线段的长度是自然数，例如5和8。
然后，希帕索斯观察图形中间的正五边形。如果画出它的对角线，又会得到一个小五角星。之后，希帕索斯证明出，在这个小五角星中，对角线上的短线段和长线段的长度也是一个自然数。以此类推。
然而这让进一步的验证陷入了僵局，因为我们考虑的线段的长度变得越来越小，但自然数不能小于1，所以就出现了一个矛盾。由此证明，希帕索斯的假设是错误的。因此，最后得出结论：五角星中那两条线段的长度之比是一个无理数。
顺便说一下，长线段和短线段的长度比被称为“黄金分割”（参见第35章“ φ ：黄金分割”，第211页）。