购买
下载掌阅APP,畅读海量书库
立即打开
畅读海量书库
扫码下载掌阅APP

第5章
5:自然之数

“五指成拳!”这曾是魏玛共和国时期 担任德国共产党主席的恩斯特·台尔曼(Ernst Thälmann,1886—1944年)用来动员其追随者的口号。然而,这句话所表达的正是许久以来人们与数字打交道时的基本经验。

一只手的五根手指共同组成一个整体,这比五根手指的顺序更有意义。在几乎所有发展了数字系统的文化中,5都是一个特殊的数字。

当我们用手指计数时,5是第一个计数上限。因此,它自然成为“较大的单位”之一。我们将5个数字合并成一个新单位,例如,刻痕计数时在前四条竖线上加上一条横线,形成一个5。此外,罗马数字“V”也是“IIIII”的缩写形式。

5作为一个特殊的计数单位,还与心理学上的一种现象十分吻合:我们不需要计数便可直接确定摆在面前的5个或更少的物体的数量,而面对更大的数量,这就不太可能了。

数字5的显著特征还体现在其几何形状上,例如,正五边形或者五角星。这些形状展现了连接的紧密。如果将平面上五个均匀分布的点依次连接起来,就会得到一个正五边形;如果是每隔一个点,就会得到一个五角星(如图5-1)。

图5-1 正五边形和五角星

在自然界中,五角星的形状大多出现在花朵上,绝大多数花都有五重对称的花瓣,例如,所有的蔷薇科植物——除了蔷薇,还有樱桃、李子和草莓等。鼠尾草、罗勒、牛至和马铃薯也是五齿萼属。如果你横切一个苹果,苹果核会显示出一个五角星。杨桃的横切面就是一个几乎完美的五角星,一只海星也正好有五条腕。

这些数字很能说明问题:在大约24万种开花植物中,约有6万种是三基数的(这些是单子叶植物),只有约4000种是四基数的,其余约17.5万种是五基数的。

当我们想展示一个特别重要的、突出的、有代表性的事物时,我们总是会使用五角星。例如,旗帜上的大多数星星都是五角星(如一些欧洲国家、美国、伊斯兰国家),就连酒店和过圣诞节布置的星星大多也是五角星。

五角星的神奇魔力亦可在歌德的《浮士德》第一部中感受到。当浮士德在书房里与梅菲斯特结束第一次谈话之后,梅菲斯特却无法离开房间,因为他在门槛上看到了一个有“缺口”的“五芒星”(五角星)。浮士德嘲笑他道:“五角星会让你痛苦吗?”之后,梅菲斯特耍了一个非常特别的把戏解决了这个问题:他先让浮士德在歌声中入睡,然后召来一只老鼠,咬坏“阻碍他的魔障”,这样他就可以逃脱了。

正五边形或五角星在思想史上也具有重要意义,借助它们,人类发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯学派的学者深信“万物皆数”;他们认为所有现象都与自然数(数字1,2,3,…)和自然数的比例相关联。现如今,我们把这些比例,如2∶3,写成分数2/3,这些分数也被称为“有理数”(源自拉丁语“ratio”,即“比例”)。

毕达哥拉斯学派的弟子,来自梅塔蓬图姆 的希帕索斯(Hippasos,约公元前500年),大概是在五角星上发现了一些不能用自然数表达的比例。因此,这些比例并不构成有理数,而是“无理数”(非有理数)。

具体是这样的:例如,在五角星水平线的两端有两个“内角”。这些内角的左侧线将水平线分割成了两部分线段,一部分线段短,另一部分线段长,而这两条线段的长度之比就是一个无理数!

这一事实无法从经验中得到验证,因为通过测量,人们只能得出合理的比例。这一点必须用数学的方法加以证明,这正是希帕索斯所做的。他的证明也表明了希腊数学在当时已经发展得十分成熟。

希帕索斯是采用反证法来证明无理数的。他先假设有一个五角星,其中短线段和长线段的长度比例是有理数。之后,通过相应地放大图形,得到短线段和长线段的长度是自然数,例如5和8。

然后,希帕索斯观察图形中间的正五边形。如果画出它的对角线,又会得到一个小五角星。之后,希帕索斯证明出,在这个小五角星中,对角线上的短线段和长线段的长度也是一个自然数。以此类推。

然而这让进一步的验证陷入了僵局,因为我们考虑的线段的长度变得越来越小,但自然数不能小于1,所以就出现了一个矛盾。由此证明,希帕索斯的假设是错误的。因此,最后得出结论:五角星中那两条线段的长度之比是一个无理数。

顺便说一下,长线段和短线段的长度比被称为“黄金分割”(参见第35章“ φ :黄金分割”,第211页)。 GKv1hNIWptB2PNcDIKUsunIuX9pwh8rizFVrY6kyo2fTdq0awQDqLtlKIMbl9zCE

点击中间区域
呼出菜单
上一章
目录
下一章
×