如果世界上只存在数字1,显然是不够完美的。因此,紧随1之后诞生了2。
但必须强调的是:2追随1的步伐,就如同夏娃来到亚当身边。夏娃不仅仅是另一个人,而且她与亚当完全不同。有了夏娃,一切都发生了改变。
2的出现并不意味着只是产生第二个1,它不只是将1放大,比1多一个,而是完全不同的。有了2,一切就都变了。
人们从什么时候开始,以何种方式用2计数的,我们无从得知。也许开始于人们边走边唱,并用两种不同的音调来配合左右腿交替的步伐;或者产生在人们哄孩子入睡时,用不同的声音配合他们来回摇晃的动作。
这种对两种不同状态的无意识感知,在某个特定的时刻变成了有意识的。当人们意识到左、右,区分出上、下,识别出向前和向后是两个不同方向的时候,2便诞生了。
起初,2并不是一个数字,也不是计数的开始,而是复数的一种特殊形式:2作为复数,也被称为“二元”,是指两个对象,但不是任何对象,而是处于一种关系中的对象。在德语中,这种古老的形式也常体现在“beide(两个,两者)”一词中。例如,人们认识事物时有时能注意到两个方面;再例如,人也是用双腿站立的。
数字2是人们在某个阶段,从一些基本经验中总结出来的。也许始于人们开始意识到外界与他们是分开的,是有区别的时候。
用2表达事物意味着能够区分自己和外界。这也就意味着是将外界理解成与“我”不同的、异样的,甚至是陌生的。这种外界可能是小的或大的,熟悉的或可怕的,令人愉快的或令人疲惫的——在任何情况下,它是“我”以外的事物。除了“我”之外,还有其他的,也就是“第二个”。
首先,2是体现差异的数字。
用2计数意味着对每一个物体、每一种现象都会提出这样的问题:这个东西只存在一个还是更多?我们观察自己的身体,发现了两只眼睛、两只手、两只脚。我们看到身边有长得很像的双胞胎,还在镜子里认出了自己的形象。我们也很高兴看到那些如胶似漆的恋人,通过拥抱来表达情感。
二者的紧密关系是通过对称性来表达的。其中一方犹如镜像,是从图像及其原型中发展出的一个新统一体。对称性将二者区分开来,同时又将它们联系在一起。事实上,对称性创造了两个事物之间最紧密的联系。
我们在图像中使用对称性来记录或表达同一性、相似性或特别密切的关系。原本看起来完全不同的人,通过对称性融入一种密切的关系中,并永久结合在一起。想想马克斯和莫里茨
、迪克和杜夫
的标志性形象,或者想象一下新郎和新娘和谐对称地站在一起的婚礼照片。
其次,2是体现对称的数字。
用2思考意味着对每种现象都会提出这样的问题:是否也存在与之相反的一面呢?我们可以想到很多这样的对立面。昼与夜、天与地、南与北、东与西、加与减、善与恶、富与贫、热与冷、男与女、生与死……
我们喜欢区分和分类,这为我们提供了初步概览,使我们获得方向,提升了洞察力,有了安全感。差异化对我们帮助很大。注重分辨的人会从生活中获益良多。
再次,2是体现对立的数字。
公元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经认识到数字世界的一个基本区别,即数字分为偶数和奇数。如果一个数字可以被2除且没有余数,那么它就是偶数,否则就被称为奇数。当然,2是所有偶数的原型。此外,数字2也是一个质数,它是最小的,也是唯一的既是偶数又是质数的数字。
毕达哥拉斯学派的学者们不仅发现偶数和奇数本身的属性很重要,还发现了(并已证明出)这些属性之间的关系,例如“偶数加偶数还是偶数”“奇数加奇数是偶数”。
此外,该学派还指出:2是阴性数字,3(对毕达哥拉斯学派来说是第一个奇数)是阳性数字。
2是二进制系统的基础,计算机的运算就基于此。在这个系统中,只有两个数字——0和1,其他数字则用这两个数字的组合来表达。最右边的数字告诉我们是否有一个1,从右边数的第二个数字表示是否有一个2;从右边数的第三个数字表示4,接下来是8,以此类推。例如,我们可以通过从右到左的顺序来破译二进制数字1011,如下所示:这是一个由1,2,没有4,但有8组成的数字,所以它相当于1+2+8=11。
人们早在远古时期就已经意识到:小团体比大团体更容易被支配。例如,“分而治之”(divide et impera)的提法要早得多,可能要追溯到尼科洛·马基雅弗利(Niccolò Machiavelli,1469—1527年)
时期。
人们或许对这一方法在政治上的应用持批评态度,但在数学和计算机科学领域,这一方法得到了很好的应用。
在32张牌中,需要多少个“是”与“否”的问答才能确定某张特定的牌是什么呢?答案是5。第一个问题可能是:这张牌是黑色还是红色的?且不管答案如何,你已经把可能的牌数减少了一半。
如果答案是“黑色的”,接着你可能会问:是梅花还是黑桃?将牌数再次减半,如此反复。提五个问题后,你可以利用算式2×2×2×2×2=2 5 =32区分出32种可能性。这听起来似乎不足为奇。那么,到底需要多少个“是”与“否”的问答来识别出地球上约77亿人中的一个人呢?答案是:33。因为2 33 =8589934592,即大约86亿人。
数学家们对于这个“是”与“非”的实际问题给出的解释也很简单。如果我们对地球上的居民进行编号,那么,最大的数字是约80亿。如果我们用二进制来表示这个数字,我们会得到一个由33个0和1组成的序列。由此,我们便可以逐位考问:第一位是1吗?第二位是1吗?以此类推。