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从意大利南部城市巴里向意大利内陆行驶，你的眼球很快就会被矗立在荒山上的一座巨大的几何体建筑吸引。人们几乎无法用语言来形容它。越靠近它，你就越会发现它的奇特之处，感觉它仿佛是“从天而降”的外来之物。
这座神奇的建筑就是——蒙特城堡，由神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世派人于1240—1250年间建成。这座城堡到底是防御要塞、狩猎行宫，还是腓特烈二世皇权的象征，历史学家们莫衷一是。但毋庸置疑的是，这座独特的旷世之作展现出来的美源自其规整的几何形结构。
建筑的平面图是一个直径为56米的正八边形。25米高的城堡矗立在地上。正八边形的每个角上还各有一座平面为正八边形的小塔，就连城堡内部的庭院也是一个规则的正八边形。数学在这精美的建筑上得以完美地呈现。
为什么蒙特城堡是以正八边形为基础，对此无人得知。其中一个学派认为这是皇权的象征，因为中世纪时期皇帝加冕的皇冠平面明显呈正八边形。在当时，还有一系列重要的圣殿建筑也是正八边形的，例如亚琛大教堂，还有国王的加冕礼堂等。另一种解释是，基督教自古以来就认为第八天是复活的日子，即创世七天后新的一天。
从几何学的角度来看，正八边形是一个特别有吸引力的多边形。它几乎和正方形一样容易画：你只须画出正方形上、下、左、右四条边的中间部分（长度一致），然后用斜线将这些线段的两端相连，便形成了一个正八边形（如图8-1）。
图8-1 正八边形
正方形本身就是高度对称的图形。在正八边形中，不仅角和边的数量是正方形的两倍，而且对称轴的数量也增加了一倍：平行对边中心点的四条连接线以及相对顶点的四条连接线都是对称轴，总计有八条对称轴（如图8-2）。
图8-2 正八边形的对称轴
然而，正八边形并不比正方形规整。你不能用正八边形来拼接平面，但如果你在其中加入小正方形，这些图形就会被整合在一起，形成一个美妙的图案（如图8-3）。
图8-3 用正八边形和正方形拼接的图案
如果把正方形旋转45度，就会形成一颗八角星。
在我们日常生活中，数字8最突出的应用是在正八边形的停车标志牌上，还有八条腿的蜘蛛和八只爪的章鱼。章鱼和蜘蛛对于有些人来说或许是恐怖的。
在中国，8是一个幸运数字。还有佛教中的“八正道”包含了人生的八条戒律：其标志是八辐法轮。
音阶由八个音符组成，在c，d，e，f，g，a，b或do、re、mi、fa、sol、la、si这七个音符之后，音阶从第八个音符重新开始。这就是为什么“八度”由八个音符组成。
如果用德语写出数字1，2，…（eins、zwei、…），那么按首字母顺序排列，8（acht）是第一个数字。这在英语中也是如此，按首字母顺序排列，8（eight）也是第一个数字。
数字8有各种有趣的特性。例如：它是一个立方数，即三次幂（2 3 ），甚至是除了1以外的第一个立方数。更有趣的是，立方数8紧挨着平方数9。用数字表示为：2 3 +1=3 2 。顺便说一下，这样的组合仅此一个。
在几何学中，数字8体现在正八面体上。这是一个正好有八个平面的几何体，所有面都是等边三角形。你可以先想象一个正四面体的金字塔，进而想象出正八面体。正四面体金字塔除了一个正方形底座外，还包括四个等边三角形。接着，再拿一个正四面体的金字塔，使其顶端朝下，然后把两个面体的底部贴在一起，这样就组成了一个正八面体。
正八面体是正多面体，因为每个面都是一个规则的正 n 边形（在正八面体中， n =3），并且在每个顶点上有相同数量的侧面汇集在一起（正八面体每个顶点上有4个侧面汇集在一起）。数学界早期的定理中有一个是：正多面体只有五种。除了正八面体之外，还有正四面体、正六面体、正十二面体（由12个正五边形组成）和正二十面体（由20个正三角形组成）。
图8-4 是莱昂纳多·达·芬奇（Leonardoda Vinci，1452—1519年）为意大利数学家卢卡·帕乔利（LucaPacioli，1445—1517年）的《神圣比例》一书绘制的一幅正八面体插图，1509年出版。
图8-4 《神圣比例》中的正八面体插图
正八面体和正方体关联紧密，有人称之为“双”体：正方体有8个顶点和6个面，而正八面体则相反，它有6个顶点和8个面。这种数字上的相等有一个几何原因：如果将正八面体相邻面的中心连接起来，就会得到一个正方体，反之亦然。
古希腊哲学家柏拉图（Plato，前427—前347年）证明了世界上只有五种正多面体。这一发现非常了不起，因为大多数数学对象（数字、质数、三角形、四边形……）都有无限多。所以，他发现的这一点非常重要，以至于他将这些多面体与古希腊的四种元素（正四面体=火，正方体=土，正八面体=空气，正二十面体=水）联系起来。缺少的正十二面体当时与宇宙有关，后来与“精髓”，即精神元素相关联。
正多面体现如今也被称为“柏拉图立体”（参见第13章“12：整体大于部分之和”，第80页，以及第20章“60：最佳数字”，第122页）。