3.2 曲面立体

工程中常见的曲面立体是回转体，组成回转体的曲面称为回转面。绘制回转体的投影，就是绘制组成回转体的所有回转面和平面的投影。基本回转体包括圆柱、圆锥、圆球等。

3.2.1 圆柱

圆柱是由圆柱面和两个圆平面围成。如图3.5 所示，圆柱面是由直线AA ₀ 绕与它平行的直线OO ₀ 旋转而成，AA ₀ 称为母线，OO ₀ 称为轴线，圆柱面上任意一条平行于轴线OO ₀ 的直线称为素线，如BB ₀ 。

（1）圆柱的投影

图3.6（a）为圆柱轴线是铅垂线时的投影图，其水平投影为圆，正面投影和侧面投影均为矩形。

当圆柱的轴线为铅垂线时，圆柱面的水平投影积聚为一个圆，上、下底面是水平面，它们的水平投影重合，均反映实形圆，上底面的水平投影可见，下底面的水平投影不可见。

正面投影矩形的上下两条边a′c′和 分别是圆柱上、下圆平面在正面投影上积聚的两条直线；左右两条边 和 分别是圆柱面正面投影的转向轮廓线AA ₀ 和CC ₀ 的正面投影，AA ₀ 和CC ₀ 也是圆柱表面最左、最右素线，它们将圆柱面分成前后两半部分，前半部分的正面投影可见，后半部分的正面投影不可见，水平投影分别积聚为圆的左右两点a（a ₀ ）和c（c ₀ ），侧面投影与圆柱轴线的侧面投影重合。

同理，侧面投影矩形的上下两条边b″d″和 分别是圆柱上、下圆平面在侧面投影上积聚的两条直线；前后两条边 和 分别是圆柱面侧面投影的转向轮廓线BB ₀ 和DD ₀ 的侧面投影，BB ₀ 和DD ₀ 也是圆柱表面最前、最后素线，它们将圆柱面分成左右两半部分，左半部分的侧面投影可见，右半部分的侧面投影不可见，水平投影分别积聚为圆的前后两点b（b ₀ ）和d（d ₀ ），正面投影与圆柱轴线的正面投影重合。

画圆柱投影时，应先画轴线及中心线，再画反映底圆实形的投影，最后画其他两面投影，如图3.6（b）所示。

（2）圆柱面上取点

轴线垂直于投影面的圆柱，圆柱面的投影具有积聚性。在圆柱表面取点，可利用积聚性直接求解。

【例 3.3】 如图3.7（a）所示，已知圆柱面上点M、N的正面投影，求作它们的水平投影和侧面投影。

分析：由于圆柱轴线为铅垂线，圆柱面水平投影具有积聚性，点的水平投影可以直接求出。由点M和N正面投影的位置及可见性可知，点M位于左前柱面上，点N位于侧面投影转向轮廓（最后素线）上。

作图：作图过程如图3.7（b）所示。

①由m′作水平面的投影连线，求出m。

②由m′作侧面的投影连线，根据投影规律，求出m″。

③在最后素线上直接求出n和n″。

④判断可见性。

3.2.2 圆锥

圆锥由圆锥面和底圆平面围成。如图3.8 所示，圆锥面可看成由直母线SA绕与它相交的轴线OO ₁ 旋转而成。因此，圆锥面上的素线是通过锥顶的直线，母线上任意一点M的运动轨迹是一个与轴线垂直的圆，该圆称为纬圆。

（1）圆锥的投影

图3.9（a）为圆锥轴线是铅垂线时的投影图，其水平投影为圆，正面投影和侧面投影均为等腰三角形。

当圆锥的轴线为铅垂线时，底面圆是水平面，它的水平投影反映为实形圆；圆锥面的水平投影是该圆内区域，无积聚性；圆锥面的水平投影可见，底面圆的水平投影不可见。

正面投影等腰三角形的底边a′b′是底面圆在正面投影上的积聚性直线；左右两条边s′a′和s′b′分别是圆锥面正面投影的转向轮廓线SA和SB的正面投影，SA和SB也是圆锥面最左、最右素线，它们将圆锥面分成前后两半部分，前半部分的正面投影可见，后半部分的正面投影不可见，其余两投影与轴线或中心线重合。

同理，侧面投影等腰三角形的底边c″d″是圆锥底面圆在侧面投影上的积聚性直线；前后两条边s″c″和s″d″分别是圆锥面侧面投影的转向轮廓线SC和SD的侧面投影，SC和SD也是圆锥面最前、最后素线，它们将圆锥面分成左右两半部分，左半部分的侧面投影可见，右半部分的侧面投影不可见，其余两投影与轴线或中心线重合。

在水平投影中，圆的两条中心线交点是轴线的水平投影，也是顶点S的水平投影。圆锥面的三面投影均无积聚性。

画圆锥投影时，应先画轴线及中心线，再画底面圆的水平投影（圆），最后画其他两面投影，如图3.9（b）所示。

（2）圆锥面上取点

圆锥面的三面投影均无积聚性，在圆锥面上取点时，要借助辅助线作图。通常是取过锥顶的素线或作垂直于轴线的纬圆，即素线法和纬圆法。

【例 3.4】 如图3.10 所示，已知圆锥面上点A的正面投影，求作它的水平投影和侧面投影。

分析：由点A的正面投影a′的位置及可见性可知，点A位于圆锥的左前圆锥面上。要求该点的其余两面投影，必须过该点先取线。一种方法是素线法，即过锥顶S和点A在圆锥面上作一条素线SA，以SA为辅助线求点A的水平投影和侧面投影。另一种方法是纬圆法，即过点A在圆锥表面作一垂直于轴线的纬圆，该圆的水平投影是底面投影的同心圆，正面投影和侧面投影积聚为一条直线。

作图：用素线法和纬圆法作图，过程如图3.10 所示。

方法 1：素线法，如图3.10（a）所示。

①连接s′和a′，并延长s′a′交底圆的正面投影于b′，由b′作铅垂投影连线，在前半底圆的水平投影上交于b。

②根据点的投影特性，作出点B的侧面投影b″，分别连接s和b、s″和b″，即得过点A的素线SB的水平投影sb和侧面投影s″b″。

③由a′分别作铅垂和水平投影连线，在sb上作出a，在s″b″上作出a″。

④判断可见性。

方法 2：纬圆法，如图3.10（b）所示。

①过a′作直线 1′2′平行于底圆的投影，1′2′即为纬圆的正面投影。

②在水平投影上作直径为 12，并与底圆同心的圆，得纬圆的水平投影。

③由点a′作铅垂线，求出a。

④利用点的投影规律作出侧面投影a″。

⑤判断可见性。

3.2.3 圆球

圆球由球面围成。如图3.11 所示，球面可看成圆绕其任意直径回转而形成。

（1）圆球的投影

如图3.12（a）所示，圆球的三面投影均为直径相等的圆，三个圆是圆球面三个方向最大轮廓圆的投影。

正面投影是圆球面上平行于V面的最大轮廓圆A的投影，它将圆球面分为前、后两半，前半球面的正面投影可见，后半球面的正面投影不可见。正面投影反映实形，另外两个投影与相应投影的中心线重合。

水平投影是圆球面上平行于H面的最大轮廓圆B的投影，它将圆球面分为上、下两半，上半球的水平投影可见，下半球的水平投影不可见，水平投影反映实形，另外两个投影与相应投影的中心线重合。

同理，侧面投影是圆球面上平行于W面的最大轮廓圆C的投影，它将圆球面分为左、右两半，左半球的侧面投影可见，右半球的侧面投影不可见，侧面投影反映实形，另外两个投影与相应投影的中心线重合。

作图时，先画出确定球心位置的对称中心线的三面投影，再以球心为圆心画出三个与圆球直径相等的圆，如图3.12（b）所示。

（2）圆球面上取点

圆球的三面投影均无积聚性，在圆球表面取点利用辅助圆，辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。

【例 3.5】 如图3.13（a）所示，已知球面上点M的正面投影，求作水平投影和侧面投影。

分析：由点M的正面投影m′的位置及可见性可知，点M位于右、前、上圆球表面上，在圆球表面过点M作正平圆、水平圆或侧平圆。由于所作的圆与投影面平行，便可在作出圆三面投影基础上，根据投影规律求出点M的其余两面投影。

作图：本题以正平圆为例，作图过程如图3.13（b）所示。

①过m′作球面上正平圆的正面投影，根据正面投影圆的直径，作出圆的水平投影。

②由m′引铅垂投影连线，交辅助圆的水平投影于m，因点M在上半圆球上，所以m可见。

③按点的投影规律求出侧面投影m″，因点M在球面的右半部分，侧面投影不可见。

过点M在圆球表面上作辅助水平圆和侧平圆的具体画法，请读者自行分析。