下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
平面的投影一般仍为平面，特殊情况下积聚为直线。不在同一条直线上的三点或多点可确定一个平面，所以在作平面的投影时，只需作出平面上各点的投影，然后连接其同面投影即可。
通常用一组几何元素的投影表示空间一平面。几何元素的形式如图2.21 所示，分别为不在同一直线上的三点、直线及直线外一点、两相交直线、两平行直线、平面图形。
图2.21 平面的几何元素表示
上述用各组几何元素表示的同一平面，其各组几何元素之间可以互相转化。其中，不在一条直线上的三点是决定平面位置最基本的几何元素，但在实际中，则以平面图形表示平面最为常见。
平面按照相对于投影面的位置分为投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三类，前两类又称为特殊位置平面。
平面与水平投影面、正面投影面、侧面投影面的倾角分别用“α”“β”和“γ”表示。
垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面的垂直面。根据所垂直的投影面不同，垂直面分为正垂面、铅垂面和侧垂面。
①正垂面：垂直于V面，倾斜于H、W面的平面。
②铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面的平面。
③侧垂面：垂直于W面，倾斜于V、H面的平面。
表2.3 列出了正垂面、铅垂面、侧垂面的投影及其投影特性。
表2.3 投影面垂直面的投影特性
续表
从表2.3 中可概括出投影面垂直面的投影特性：
①在所垂直的投影面上的投影积聚成一条倾斜直线，该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两个投影面的倾角。
②在另外两个投影面上的投影是与空间平面相类似的平面图形。
平行于一个投影面而与另外两个投影面均处于垂直位置的平面，称为投影面的平行面。根据所平行的投影面不同，平行面分为正平面、水平面和侧平面。
①正平面：平行于V面，与H、W面垂直的平面。
②水平面：平行于H面，与V、W面垂直的平面。
③侧平面：平行于W面，与V、H面垂直的平面。
表2.4 列出了正平面、水平面、侧平面的投影及其投影特性。
表2.4 投影面平行面的投影特性
从表2.4 中可概括出投影面平行面的投影特性：
①在所平行的投影面上的投影反映空间平面图形的实形。
②在另外两个投影面上的投影积聚为直线，并且平行于相应的投影轴。
与三个投影面均处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。
如图2.22 所示，一般位置平面的三个投影均不反映空间平面图形的实形，均为小于实形的类似形。
①一条直线若通过平面上的两点，则此直线必在该平面上。如图2.23 所示，点D、E分别在直线AB和BC上，所以D、E在由直线AB和AC所确定的平面P上，故连接D、E所得的直线必在平面P上。
图2.22 一般位置平面的投影特性
图2.23 平面上的直线
②一条直线若通过平面上的一点，且平行于该平面上的一条直线，则此直线必在该平面上。如图2.24 所示，平面P由直线AB和点C确定，过点C作直线CD平行于直线AB，则直线CD必在平面P上
图2.24 平面上的直线
如果点位于平面内的任意一条直线上，则此点位于该平面上。因此，若在平面内取点，必须先在平面内取一条直线，然后再在该直线上取点。
【例 2.8】 如图2.25（a）所示，判断点M是否在平面△ABC上，并作出平面△ABC上点N的正面投影。
分析：判断点是否在平面上和求平面上点的投影，可利用若点在平面上，那么点一定在平面内的一条直线上这一投影特性。
作图：作图过程如图2.25（b）、（c）所示。
①连接a′m′并延长交b′c′于 1′，作出其水平投影 1，连接a1，由于m不在a1 上，因此点M就不在平面△ABC上。
图2.25 平面上的点
②连接an交bc于 2，作出其正面投影 2′，连接a′2′并延长，与过点n作OX轴的垂线相交，交点即为n′。
【例 2.9】 如图2.26（a）所示，完成平面图形ABCDE的正面投影。
图2.26 完成平面图形的投影
分析：已知A、B、C三点的正面投影和水平投影，平面的空间位置已经确定，D、E两点应在平面△ABC上，因此，利用点在平面上的原理作出点的投影即可。
作图：作图过程如图2.26（b）所示。
①连接a′c′和ac，求出△ABC的两面投影。
②连接be交ac于 1，求出其正面投影 1′，连接b′1′并延长，与过e的投影连线交于e′。
③同理，求出△ABC上另一点D的正面投影d′，依次连接c′、d′、e′、a′得平面图形ABCDE的正面投影。