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任何立体都可以看作点的集合。点是构成立体最基本的几何元素，学习点的投影是学习直线、平面和立体投影的基础。
图2.3 点的单面投影图
如图2.3 所示，空间点A向单一投影面P进行投影时，可得到唯一的投影a，但是，若已知点B的投影b，却无法确定点B的空间位置，也就是说，由点的单面投影不能唯一确定点的空间位置。因此，确定一个空间点需要两个以上的投影。在工程制图中通常取互相垂直的两个或多个投影面建立多投影面体系，然后将空间点向投影面做正投影，形成点的多面正投影。
如图2.4（a）所示，设立两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正立投影面，用大写字母“V”表示，简称正面或V面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，用大写字母“H”表示，简称水平面或H面。V面和H面的交线称为投影轴，用“OX”表示。
如图2.4（a）所示，设空间有一点A，过点A分别向V面和H面作垂线，得垂足a′和a，a′称为空间点A的正面投影，a称为空间点A的水平投影。同时，规定用大写字母（如A）表示空间点，其水平投影用对应的小写字母（如a）表示，正面投影用对应的小写字母加一撇（如a′）表示。
图2.4 点在V、H两投影面体系中的投影
在实际作图时，为使点的两面投影画在同一平面（图纸）上，需将投影面展开。移去空间点A，规定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转 90°与V面重合，即得点A的两面投影，如图2.4（b）所示。为作图简便，投影图中不画出投影面的边框，如图2.4（c）所示。
如图2.4 所示，投射线Aa和Aa′决定的平面必然与H面和V面垂直，并与OX轴交于一点a X ，Aaa X a′是一个矩形，OX轴垂直于该矩形平面。因此，在展开后的投影图上，a、a X 、a′三点必在同一条直线上，且a′a⊥OX轴，aa X =Aa′，a′a X =Aa。由此可得出点在两投影面体系中的投影规律：
①点的正面投影和水平投影的投影连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
②点的正面投影到OX轴的距离反映空间点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离反映空间点到V面的距离，即a′a X =Aa，aa X =Aa′。
虽然由点的两面投影已能确定该点的空间位置，但有时为了更清晰地图示某些几何形体，还需要画出点的三面投影图。
如图2.5（a）所示，在两投影面体系上再设立一个与V面、H面都垂直的投影面，该投影面称为侧立投影面，用“W”表示，简称侧面或W面。这样，H、V、W三个投影面两两垂直相交，得三条投影轴OX、OY、OZ，三条投影轴垂直相交的交点O称为原点。
如图2.5（a）所示，设空间有一点A，分别向H、V、W面进行投影得a、a′、a″，a″称为点A的侧面投影，用相应的小写字母加两撇来表示。
图2.5 点在V、H、W三投影面体系中的投影
画投影图时，同样需要将三个投影面展开到同一个平面上。展开方法与前述相同：如图2.5（a）所示，保持V面不动，将水平面H和侧面W分别绕OX轴和OZ轴向下和向右旋转 90°并与V面重合，这样就得到点A的三面投影图，如图2.5（b）所示。其中，OY轴随H面旋转后用“OY H ”表示，随W面旋转后用“OY W ”表示。去掉投影面边框，便成为如图2.5（c）所示的形式。
点在三投影面体系中的投影，其正面投影与水平投影、正面投影与侧面投影之间的关系符合两投影面体系中的投影规律，即a′a⊥OX，a′a″⊥OZ；点的水平投影与侧面投影均反映点到V面的距离。由此可以得出点在三投影面体系中的投影规律：
①点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
②点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa X =a″a Z 。
根据上述投影规律，若已知点的任意两个投影，即可求出它的第三面投影。为作图方便，可过点O作∠Y H OY W 的角平分线（45°辅助线）或圆弧，以保证aa X =a″a Z 的对应关系。
在工程中，有时也用坐标来确定点的空间位置。如图2.5（a）所示，可以将三投影面体系看成是一个空间直角坐标系，将投影面当作坐标面，将投影轴当作坐标轴，点O即为坐标原点。规定OX轴从点O向左为正，OY轴从点O向前为正，OZ轴从点O向上为正；反之为负。从图2.5（a）可得出点A（x A ，y A ，z A ）的投影与坐标有下述关系：
x A （Oa X ）= a Z a′=a YH a =a″A（点A到W面的距离）
y A （Oa Y ）= a X a =a Z a″=a′A（点A到V面的距离）
z A （Oa Z ）= a X a′=a YW a″=aA（点A到H面的距离）
由图2.5（b）可知，坐标x和z决定点的正面投影a′，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影a″。因此，若已知一个点的坐标（x，y，z）就可以画出该点的投影图；反之，若已知一个点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标。
若点有一个坐标为零，则该点位于投影面上；有两个坐标为零，则该点位于投影轴上。图2.6 是分别位于V面、H面和OX轴上点的立体图和投影图。
图2.6 投影面和投影轴上点的投影
①投影面上点的投影：在该投影面上的投影与该点重合，在其他投影面上的投影分别在相应的投影轴上。
②投影轴上点的投影：在包含该轴的两个投影面上的投影均与该点重合，另一投影在原点上。
【例 2.1】 如图2.7（a）所示，已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，求其水平投影a。
图2.7 求作点的第三面投影
分析：按照点在三投影面体系中的投影规律，完成作图。
作图：作图过程如图2.7（b）所示。
①过O作∠Y H OY W 的角平分线（45°辅助线）。
②过a″作OY W 轴垂线与 45°辅助线相交，过交点作OY H 轴垂线，与过a′所作的OX轴垂线相交，交点即为点A的水平投影a。
【例 2.2】 已知点A的坐标（20，15，10），作出其三面投影。
分析：由于点的坐标x和z决定点的正面投影a′，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影。因此，已知点的坐标（x，y，z）便可求作点的三面投影。
图2.8 求作点的第三面投影
作图：作图过程如图2.8 所示。
①画出投影轴并标记，在OX轴上取x =20，得a X 。
②过a X 作OX轴垂线，并在其上取y =15，得a；取z =10，得a′。
③由a、a′作出其侧面投影a″，则a、a′、a″即为所求。
空间两点的投影沿上下、前后、左右三个方向所反映的坐标差，即两点对H、V、W面的距离差能确定两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置以及其中一个点的投影，也能确定另一个点的投影。
两点左右位置关系由两点的x坐标差确定，x坐标大者为左，反之为右；前后位置关系由两点的y坐标差确定，y坐标大者为前，反之为后；上下位置关系由两点的z坐标差确定，z坐标大者为上，反之为下。
如图2.9 所示，空间两点A、B的相对位置如下所述：
图2.9 两点的相对位置
由于x A >x B ，表示点A在点B的左方，两点的左右距离由x的坐标差x A -x B 确定；由于y A >y B ，表示点A在点B的前方，两点的前后距离由y的坐标差y A -y B 确定；由于z B >z A ，表示点B在点A的上方，两点的上下距离由z的坐标差z B -z A 确定。因此，点A在点B的左、前、下方，而点B在点A的右、后、上方。
当空间两点有一个投影重合时，称这两个点是对某投影面的重合点，简称重影点，其重合的投影称为重影。此时，两点的某两个坐标相同，处于同一条投射线上。对V面的一对重影点是正前、正后方的关系，对H面的一对重影点是正上、正下方的关系，对W面的一对重影点是正左、正右方的关系。
有重影，就需要判断可见性，即判断两个点中哪个可见，哪个不可见。可见性依据x、y、z坐标来判断，坐标大者可见，小者不可见，即前遮后、上遮下、左遮右。对不可见点的投影字母加括号表示。
从图2.10 可知，点B在点A正后方，这两点的正面投影重合，点A和点B称为对正面投影的重影点。由于两点的x、z坐标相同，而y A >y B ，因此，点B的正面投影不可见，投影字母加括号表示，如（b′）。
图2.10 重影点
【例 2.3】 如图2.11（a）所示，已知点A的三面投影a、a′、a″，点B在点A的正下方 10 mm处，试作出点B的三面投影。
图2.11 求作点的三面投影
分析：由于点B在点A的正下方 10 mm处，即x A =x B ，y A =y B ，而z A -z B =10。所以，A、B两点水平投影a、b重合；又由于z A >z B ，故b为不可见。
作图：作图过程如图2.11（b）所示。
①由于a、b重合，而b不可见，故标记为（b）。
②在a′正下方下量取 10 mm，得b′。
③由点B的水平投影b和正面投影b′，求得b″。