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关节自由摆动故障是指故障关节无法输出力矩而呈现自由摆动状态。该故障可能由电机轴承断裂、转子断条等情况引起。关节自由摆动故障发生后，故障关节将无法独立控制而变为新的被控单元，使空间机械臂退化为含非完整约束的欠驱动机械臂，丧失对操作力、扰动力等外力的平衡能力，其运动性能和负载操作能力发生退化而不满足任务要求，致使空间任务失败。因此，需对关节自由摆动故障空间机械臂容错规划与控制技术开展研究，以尽最大可能确保空间任务的执行。
关节自由摆动故障空间机械臂的故障关节不具备力矩输出能力，无法独立控制，它与漂浮基座和末端均属于被控单元，受控于健康关节，因此故障关节也常被称为被动关节，健康关节也常被称为主动关节 [40] 。主动关节速度、加速度/力矩与被控单元的传递关系即运动耦合关系，其中主动关节速度与被控单元的传递关系称为运动学耦合关系，主动关节加速度/力矩与被控单元的传递关系称为动力学耦合关系。主动关节能否成功调控被控单元与主动关节和被控单元间的运动耦合关系的特征密切相关，因此建立关节自由摆动故障空间机械臂运动学模型和动力学模型，分析主动关节与被控单元间的运动耦合关系是关节自由摆动故障空间机械臂后续运动规划与控制的基础。
关节自由摆动故障空间机械臂数学建模以及运动学和动力学耦合关系的建立，可参考平面欠驱动机械臂的相关研究。Nakamura等 [41] 针对平面二自由度欠驱动机械臂，利用相空间哈密顿函数建立了动力学模型，绘制了反映主/被动关节位移关系的庞加莱映射图，进而求得其运动学和动力学耦合关系。Li等 [42] 利用牛顿-欧拉法推导中间关节为被动关节的平面三自由度机械臂加速度映射关系，将其作为动力学耦合关系，并证明了平面三自由度欠驱动机械臂主/被动关节间动力学耦合关系满足二阶非完整约束。Wang等 [43] 分析了平面 n 自由度欠驱动机械臂动力学耦合关系，证明其可以被完全积分为状态变量的几何约束。上述运动耦合关系分析研究均针对平面欠驱动机械臂，均利用了平面几何约束简化分析，不适用于三维空间中的 n 自由度欠驱动机械臂。袁博楠 [22] 针对 n 自由度关节自由摆动故障空间机械臂，对其运动学和动力学耦合关系进行分析，并利用Frobenius定理证明其主动关节与被动关节间的运动学耦合关系满足一阶非完整约束，而动力学耦合关系满足二阶非完整约束。因此，关节自由摆动故障空间机械臂是在漂浮基座固有的一阶非完整约束 [44-45] 的基础上，叠加动力学耦合关系的二阶非完整约束的影响，导致其内部运动学和动力学耦合机理较固定基座欠驱动机械臂更为复杂。
主动关节输出向被控单元传递的能力会影响主动关节对被控单元的调控难度，该能力可以通过运动学和动力学耦合程度表征。Bergerman等 [46] 针对欠驱动机械臂，通过对主动关节与被动关节间惯性矩阵进行奇异值分解构建动力学耦合程度表征指标。袁博楠 [22] 针对关节自由摆动故障空间机械臂，基于主动关节与被控单元间雅可比矩阵定义运动学耦合程度指标，以及主动关节力矩与被控单元间耦合矩阵定义动力学耦合程度指标，通过全局化使得上述指标不受制于基座姿态和构型。符颖卓 [47] 在空间机械臂动力学耦合程度指标的基础上考虑了向心力、科里奥利力（简称科氏力）等非线性项的影响，能够更准确地反映关节自由摆动故障空间机械臂的可控性。上述研究中，关节自由摆动故障空间机械臂运动学耦合程度大多基于主动关节与被控单元间雅可比矩阵构建，而动力学耦合程度指标大多基于主动关节与被控单元间惯性矩阵构建。这些耦合程度指标能够反映主动关节输出向被控单元传递的能力，进而能够反映关节自由摆动故障空间机械臂的可控性，并作为空间机械臂的可控性表征指标，用于判断关节自由摆动故障空间机械臂的后续规划和控制能否成功实施。
综上，对关节自由摆动故障空间机械臂数学建模的研究主要集中在主动关节与被控单元间运动学与动力学耦合关系上。为衡量主动关节调控被控单元的难易程度，一般通过运动学和动力学耦合程度表征关节自由摆动故障空间机械臂的可控性。
关节自由摆动故障的发生导致空间机械臂运动能力退化，影响空间任务的完成。因此，处理空间机械臂关节自由摆动故障，要先准确分析空间机械臂运动能力，确定关节自由摆动故障对空间机械臂运动能力的影响，进而面向任务需求，以运动能力优化为准则设计关节自由摆动故障处理策略，从而使得故障发生后空间机械臂能够以最优运动能力继续完成任务。
如2.2.2节所述，空间机械臂运动能力包括灵巧性、末端可达性和负载操作能力。在灵巧性方面，English等 [48] 以平面三自由度欠驱动机械臂为对象，基于主动关节和被动关节间的运动学耦合关系，构建末端沿给定方向运动时的机械臂工作空间以表征欠驱动机械臂的可达性，并定量分析不同关节处于自由摆动状态时对机械臂可达性的影响；Roberts等 [49] 针对欠驱动机械臂，将关节力矩与末端加速度间耦合矩阵中与被动关节对应的列元素置零，基于修改后的矩阵构建退化动力学可操作度来表征欠驱动机械臂的灵巧性。在末端可达性方面，Hattori等 [50] 针对AP（Active-Passive，第一关节主动而第二关节被动）型平面欠驱动机械臂，假设其基座做匀速圆周运动并在此基础上建立运动方程，分析了其自由摆动故障关节的可达空间，进而实现末端可达性分析；Fu等 [51] 基于关节自由摆动故障空间机械臂主动关节与被控单元间的耦合关系，分析主动关节做简谐运动时基座姿态和被动关节角的变化范围，进而求得故障空间机械臂工作空间，实现关节自由摆动故障空间机械臂末端可达性分析。在负载操作能力方面，Wang等 [52] 指出，空间机械臂的操作能力取决于各关节的最小输出力矩，而发生自由摆动故障的关节输出力矩为零，导致空间机械臂负载操作能力严重退化；Hassan等 [27] 针对对称结构机械臂，对其雅可比矩阵分块处理，推导末端输出力平衡方程，定量评估欠驱动并联空间机械臂的操作能力。从上述关节自由摆动故障空间机械臂的运动能力分析可以看出，其负载操作能力受到的影响较大。
在关节自由摆动故障空间机械臂运动能力分析的基础上，需进一步结合空间任务的类型及空间任务对空间机械臂运动能力的需求，选择相应的故障应对策略。运动类任务（如定点控制、末端轨迹跟踪等）主要对空间机械臂灵巧性和末端可达性有较高要求；操作类任务（如负载搬运、对接装配等）主要对空间机械臂负载操作能力有较高要求。因此，现有研究中，针对运动类任务，可以不改变故障关节的自由摆动状态，利用自由摆动故障关节剩余的运动能力，通过规划控制机械臂完成任务 [40, 53] ；针对操作类任务，则主要通过锁定故障关节，提升故障机械臂运动能力 [54-55] 。因此，关节自由摆动故障应对策略可分为两类：① 规划与控制欠驱动机械臂；② 将自由摆动故障关节锁定，使故障空间机械臂重新具备力矩输出能力，进而借鉴关节锁定故障空间机械臂容错运动控制策略，使故障空间机械臂尽可能继续执行任务。
对于无法及时将故障关节锁定且仍需空间机械臂继续执行空间任务的情况，由于故障关节没有力矩输出能力，因此可将空间机械臂视为欠驱动空间机械臂。然后对关节自由摆动故障空间机械臂进行运动能力分析，并设计相应的容错规划及控制方法，尽最大可能将自由摆动故障机械臂调整至期望位置或使末端跟踪期望轨迹。例如，Jia等 [12] 基于主动关节与被控单元之间的全局耦合程度指标，分析了不同主动关节对被动关节的调控能力差异，进而基于全局耦合程度指标优选主动关节，实现了对故障关节的调控，并分析了基座质量/惯量变化对耦合程度的全局影响；Fu等 [14] 分析了关节自由摆动故障空间机械臂动力学灵巧性和动态负载能力的退化情况，然后基于粒子群算法进行轨迹优化，在跟踪末端轨迹的同时提高了空间机械臂运动过程中的可操作度，降低了基座姿态扰动与能耗。
对于需锁定故障关节才能使故障空间机械臂继续执行任务的情况，需以故障关节锁定后空间机械臂运动能力最优为目标，选取自由摆动故障关节最优锁定角度。在灵巧性方面，She等 [28] 通过构造包括可操作度、条件数、最小奇异值在内的性能指标，评价了故障关节处于不同锁定角度时的空间机械臂运动能力，并分别根据上述指标选取运动能力最优时的锁定角度；Yang等 [56] 建立了全局可操作度指标，以此为目标选取最优锁定角度，全面提升运动灵巧性。在负载操作能力层面，Chen等 [16] 基于动态负载能力建立了关节锁定故障空间机械臂负载操作能力指标，指出了关节锁定故障会造成空间机械臂结构及运动状态突变，引发负载操作能力摄动。上述研究均采用单一指标表征故障关节锁定后的空间机械臂运动能力，并以此为目标优选故障关节最优锁定角度，但关节自由摆动故障影响空间机械臂多方面的运动能力，片面追求单一运动能力指标最优会导致其他指标严重退化，故多指标优化更适合故障关节最优锁定角度的选取。现有研究中常通过熵值法及其改进方法构建关节自由摆动故障空间机械臂综合运动能力指标，将多指标优化转化为单指标优化。Jia等 [57] 将最小奇异值和条件数作为子指标进行全局化，再以熵值法构建综合运动能力指标并以此为目标选取故障关节最优锁定角度；袁博楠 [22] 基于灰色系统关联熵理论，以明显小于传统熵值法的样本空间数量和计算量实现综合运动能力指标构建并以此为目标选取故障关节最优锁定角度。
综上，关节自由摆动故障空间机械臂运动能力退化严重，进而影响了其故障处理策略。对负载操作能力要求较高的操作类任务主要采用锁定故障关节的处理策略，在选择故障关节最优锁定角度时，可借鉴关节锁定故障空间机械臂的运动能力分析方法。对灵巧性和末端可达性要求较高的运动类任务主要采用规划与控制欠驱动机械臂的处理策略，需在分析灵巧性和末端可达性的基础上设计相应的容错规划及控制方法。
为了使关节发生故障后空间机械臂能尽最大可能继续完成空间任务，需基于系统运动学及动力学耦合关系，研究机械臂容错运动控制策略，以实现对故障关节、漂浮基座等单元的运动控制。
关节自由摆动故障空间机械臂运动学及动力学耦合关系一般属于非完整约束 [12] ，也无法直接获得系统状态间的几何约束，因此相较全驱动系统，其规划控制难度更大。围绕欠驱动机械臂规划控制方法的研究，Roy等 [58] 通过设计非线性闭环控制器，借助重力矩实现了欠驱动机械臂的调控；Ciezkowski [59] 针对倒立摆系统提出了动态反馈稳定控制方法，实现了欠驱动连杆的平衡；Gregory等 [60] 利用二次规划方法获得了垂直平面欠驱动机械臂的运行轨迹，并基于最优控制实现了被动关节的位置调整。上述研究中机械臂系统由于受重力的影响而具备线性可控性，依赖重力作用可实现在目标点的平衡稳定。然而，空间机械臂服役时常处于失重或微重力环境中，因不满足Brockett条件 [61] 而失去了在目标点处的线性可控性，导致上述方法无法实现对空间机械臂的欠驱动稳定控制 [62] 。Reyhanoglu等 [63] 通过设计非线性反馈控制器实现平面欠驱动机械臂（运动不受重力影响）被动关节点到点控制；Zhang等 [64] 通过将主/被动关节速度等比例映射，并结合差分进化算法和在线迭代算法，实现对欠驱动机械臂末端轨迹的精确跟踪；Jia等 [65] 提出自适应终端滑模控制器，在模型不确定性项作用下实现对空间机械臂被动关节的调控。上述方法仅实现被控单元调控，未考虑轨迹优化，可在上述研究所提规划和控制方法的基础上，通过构建关节规划域的方法 [66] ，实现面向运动能力最优的轨迹规划。此外，上述方法仅瞄准对故障关节或末端之类的单一被控单元的调控，因控制对象单一，故能够设计连续、光滑的状态反馈控制律，以实现故障关节至目标角度的稳定控制。对于执行空间任务的空间机械臂而言，被控单元同时包含多种运动单元，例如在调控末端或故障关节位置时，需同时控制基座运动，以防止基座姿态扰动过大影响航天器在轨运行。此时，需要控制的被控单元自由度增多，然而空间机械臂健康关节自由度有限，无法设计连续、光滑的状态反馈控制律实现对多个被控单元的同时控制。
针对空间机械臂故障关节、基座等多个被控单元的控制问题，可借鉴存在多个被控单元的欠驱动机械臂控制方法。Luca等 [67] 针对AP型平面欠驱动机械臂的构型调整问题，提出了包含对齐和收敛的分段稳定控制策略，在对齐阶段将主动关节带动至期望角度，在收敛阶段基于幂零近似方法使主被动关节同时稳定在目标角度；Liu等 [68] 针对AAPA型机械臂构型调整问题，将调控过程划分为多个阶段，在每个阶段基于模型降阶将机械臂转化为AP型机械臂或PA型机械臂，进而逐步将每一个关节调整至期望角度；Bergerman等 [69] 则针对被动关节多于主动关节的欠驱动机械臂，在保证系统可控的前提下划分多个控制阶段，每一个阶段只控制一个被动关节，逐步将所有关节调整至期望角度。上述研究将欠驱动机械臂转化为AP型机械臂或PA型机械臂，实现对被控单元和主动关节的划分，其本质上确保了主动关节对被控单元的可控性，能够为空间机械臂容错运动控制提供借鉴。然而，空间机械臂结构复杂且被控单元众多，导致难以利用上述方法将其划分为最小运动单元组，无法直接适用于关节自由摆动故障空间机械臂。此外，空间机械臂运动往往处于三维空间内，当主动关节控制输入矢量方向与被控单元运动方向不平行时，主动关节对被控单元的可控能力也将大幅减弱，即空间机械臂容易陷入奇异位形导致主动关节难以顺利调控被控单元。以上因素均可能导致划分阶段后主动关节对被控单元的可控程度严重不足，使现有控制方法难以满足控制需求。因此，为实现空间机械臂控制过程多阶段的划分，首先需满足控制过程系统可控原则，使各阶段主动关节维数不小于被控单元维数。其次，不同健康关节对被控单元的可控程度差异较大，且各单元的不同组合运动将对系统能耗、运动能力等产生影响。综合考虑可控程度、能耗等因素，在各阶段选取可控程度较高的健康关节作为主动关节，是高效控制被控单元的关键。
综上，关节自由摆动故障空间机械臂容错运动控制策略包括单阶段容错运动控制策略和多阶段容错运动控制策略，二者均以满足控制过程系统可控原则为前提，选取使空间机械臂可控程度较高的健康关节作为主动关节，将各被控单元调控至期望位置，使故障空间机械臂能够尽最大可能完成任务。