下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
你也许会感到疑惑，我们在小学学习加法时，老师通常会用非常生动的例子教我们：左手一个苹果，右手一个苹果，合在一起是两个苹果，所以1+1=2。这比基数“1”的后继是基数“2”更容易理解，难道小学老师真的教错了吗？
要解释清楚这个问题，需要引入两个重要的概念：数学抽象与数学还原。
数学抽象反映了数学研究的一种核心素养，它是指通过对数量关系和空间形式的抽象得到数学对象及其运算规律的过程。人类从“一双翅膀”“一对情侣”“两头野兽”的观察中，抽象出自然数“2”；在屈指计数的过程中抽象出“1+1=2”，这些都属于数学抽象的范畴。
数学还原是指人们以生活中的具象对数学对象及其运算规律进行解释和还原的过程。小学老师所教的“左手一个苹果，右手一个苹果，合在一起是两个苹果，所以1+1=2”本质上是一种数学还原。
两者不是一回事吗？当然不是。
首先，两者产生的顺序不同。从逻辑上讲，数学抽象的产生先于数学还原，先有抽象形成理论，后有理论的还原。
其次，并非所有的数学理论都能够被还原。数学研究起步于对数量关系和空间形式的抽象，可一旦数学形成了自己的结构和体系，就立刻显示出与现实世界明显的隔离。数学中有很多内容是借由体系自由生长出来的，未必能用生活中的实例加以解释。用一句形象的话来概括，数学来源于生活，但高于生活。
我们仍然以自然数的加法为例说明抽象的数学处理与生动的数学还原有何不同。
考虑所有自然数组成的集合{1,2,3,4,…}，数学家是如何定义加法运算的呢？
首先，对任意一个自然数m，数学家规定m+1为自然数m的后继，用符号m’来表示。“后继”这个概念是通过观察计数过程抽象出来的，属于数学抽象，1'=2，2'=3，3'=4，每个自然数都有唯一的一个后继。
其次，对任意的两个自然数m和n，数学家规定m+n'=（m+n）'。
通过仔细观察这个由归纳方法给出的定义，可以发现，m加上一个较大自然数的结果可以由m加上一个较小自然数的运算结果给出。这就意味着知道了m+1的值，就可以推导出m+n的值，从而确定加法运算的规则。
例如，m+2=m+1′=（m+1）′，因此m+2的运算结果是m+1的后继；m+3=m+2′=（m+2）′，m+3的运算结果是m+2的后继。
用序数语言来描述，两个自然数m和n相加的结果是自然数m之后的第n个数，这就是数学对计数过程严格的抽象处理。虽然这种抽象处理在数学上很严格，但是这并不符合小学老师的直观教学方式。如果我们用“自然数m之后的第n个数”这样拗口的语句去定义m+n，我们会发现习以为常的加法交换律
和加法结合律
都变得不再显而易见。“自然数m之后的第n个数”为什么会和“自然数n之后的第m个数”是同一个数呢？这需要严格的数学证明。
假如小学老师用这种方式去教小学生加法交换律，小学生是否理解不好说，辅导作业的家长们倒是很有可能会崩溃，所以老师是绝不会这样做的，他们采取的是更加容易理解的方式。
小明同学步行2千米，从西单图书大厦走到天安门城楼。接着，他又步行1千米从天安门城楼走到王府井大街。请问小明同学一共走了几千米？（见图4-1）
答案很简单，小明一共走了2+1=3千米。
图4-1 从西单图书大厦到王府井大街
现在小明同学往回走。他先从王府井大街步行1千米回到天安门城楼，再从天安门城楼步行2千米回到西单图书大厦。请问这次小明同学一共走了几千米呢？（见图4-2）
答案是：一共走了1+2=3千米。
图4-2 从王府井大街到西单图书大厦
你能从这两次计算中发现什么规律吗？
经过引导，大部分学生都能够说出2+1=1+2，加法运算满足交换律。这是一个典型的用生活中的具象解释抽象数学知识的案例。在这个案例中，数字被赋予了“两地之间的距离”这样的物理含义，西单图书大厦与王府井大街之间的距离由前后两段距离叠加而成，计算距离总长完美地解释了数字加法。再借用“返程”这个生活中的真实场景，加法交换律也变得清晰明了，因为两地之间的距离是一个与方向无关的数值，不管你是从西单图书大厦走到王府井大街，还是从王府井大街走到西单图书大厦，这个数值都是恒定的。
还有一种还原方式更加贴近人们定义加法的目的，即利用自然数的基数属性将数字还原为实际生活中的“数量”。想象一个场景，我们有两个水果篮，一个水果篮有3个苹果，另一个水果篮有2个苹果。如果我们把这两个篮子的苹果倒入第三个篮子，那么第三个篮子会有几个苹果呢？解决问题的过程实际上就是计数的过程，借助苹果和水果篮这两种具体的物件，孩子们很容易理解3+2=5，也很容易理解3+2=2+3，因为不管先倒哪个篮子，所有的苹果最终都会在第三个篮子里。然而，这和“两地之间的距离与移动方向无关”一样，都是依赖人的经验，而不是抽象数学的推导结果。那么，我们教小学生还要不要采用这种方式呢？当然要。这种方式简单直观，更适合小学生的思维模式。
不难看出，数学抽象是数学严谨性和形式性的要求，但对数学教学来说，数学还原则更重要。我们应该尊重这样一个事实：孩子们思维习惯的建立，总是先从具象思维开始的，通过反复的外在形象化的训练，他们才慢慢在大脑中建立起抽象的逻辑思维。4～12岁是儿童具象思维的活跃期，直接把数学的抽象本质暴露给他们，并不符合大多数人的认知规律。因此小学老师在讲授数学知识时，总是采用各种生活实例作为引导。例如，在介绍圆的周长时，你见过有人跟小学生讲曲线长度的数学本质吗？没有。老师通常会用一根细绳包裹一个圆环再展开，或者用一枚染色的硬币在白纸上滚一圈，压出一条线段，以帮助学生理解圆的周长。我们把这种教学方法形象地称为“数学生活化”。
数学生活化做得越好，学生学习数学时的“学习材料”就越丰富，他们就越能够体会到学习数学的乐趣。但数学生活化也引起很多人的质疑，他们提出了两方面的理由来提醒大家对数学生活化保持足够的警惕。
一方面，数学生活化常常用生活中的直观感觉去代替数学本质的逻辑推导。长期下去，学生可能会错过很多学习抽象数学所必备的逻辑训练。当他们学习更高阶的数学时，他们通常会因为无法理解数学知识背后真正的逻辑联系而感到苦恼。
另一方面，在用生活具象解释数学理论时很难做到既准确又全面。数学生活化往往只能解释一个数学概念的片面性质，并不利于学生从整体上把握相关理论。
举个例子，你会如何跟孩子介绍负数的概念呢？我相信没有人会跟孩子讲“负数是自然数的加法逆元”，恐怕大多数家长和小学老师也忘了或根本不知道负数的这一数学本质。大家通常这样介绍负数的概念：负数就像生活中的借债，你借了别人的钱，你的资产就变成了负数。或者说负数代表了一个质点在数轴上的反向移动。
这样做数学还原正确吗？
如果仅仅讨论整数的加减法，这样解释是没问题的，但若是同时考虑整数的乘法，这样解释就不够全面了。你能用生活中的“借贷”或“反向移动”解释为什么（-1）×（-1）=1吗？
认真想一想，似乎并不能，当无法给出解释的时候，人们往往就简单地把它当成一种特殊的规定，殊不知（-1）×（-1）=1是有充足的数学理由的，要想把自然数的加法和乘法推广到整数时不发生逻辑上的混乱，-1与-1相乘必须等于1，而不是别的什么数
。如果你只把（-1）×（-1）=1当成是一种特殊的规定而不去探究它的合理性，相关的逻辑训练就缺失了。
因此我们在进行数学教学时，一定要把握好从具象思维到抽象思维的过渡，对待数学还原一定要谨慎。
是
，还是
呢？
同一个概念的数学还原可以千千万万，数学抽象是否必定唯一？