第2章
想象力是最大的武器

你是否经历过这样的场景：在艺人演唱会的现场，数万观众挥舞着手中的荧光棒，自发地掀起一场声势浩大的全体大合唱。观众整齐划一地挥手，声音震耳欲聋，令置身其中的人心潮澎湃，兴奋不已。

人类大概是自然界中最擅长用想象建立情感联结的动物，一段简单的旋律就能激发听者情感上的各种联想。在那一刻，成千上万的观众好像被一种巨大的魔力支配了一般，同时陷入某种或忧伤或甜蜜或振奋的情绪中。

不仅如此，整个人类社会也是由想象力编织而成的一张巨型网络。按照历史学家尤瓦尔·赫拉利 的说法，宗教、国家、人权这些看起来无比神圣的东西都是人类想象和虚构的产物，人类之所以从采集走向农耕进而迈出高等文明建设的第一步，也是因为相信一个所有人共同想象出来的故事。

这种看法完全颠覆了历史学家和人类学家对那个遥远时代的认知。之前人们普遍相信是因为气候、环境等因素的突然改变，我们的祖先开始种植庄稼、放牧牲畜，人口开始聚集，新的社会秩序被构建，人类社会进入新石器时代并逐渐产生文明。然而，随着新的重量级考古证据的出现，人们开始动摇这一固有观念，怀疑这场农业革命的幕后推手可能另有其人。

2.1 哥贝克力石阵

20世纪90年代中期，一位名叫施密特的德国考古学家在土耳其东部城市乌尔法市近郊的山丘上发现了一处震惊世界的考古遗址。遗址由许多T形的石灰岩石柱组成，这些石柱的表面雕刻着各种凶猛的动物，距今已经有1.2万多年（见图2-1）。施密特教授认为，那些T形石柱，代表了人，面朝中心环抱双臂，似乎正在举行某种庄重的仪式。这是一座农业文明之前依靠采集植物和猎杀野生动物为生的原始部落用于祭祀的神庙。

哥贝克力石阵的出现给考古学家带来了很大的困惑，上百根重达数十吨的石柱围成20多道大小不一的圆环，在比埃及胡夫金字塔的建造时间还早7000多年的采集狩猎时代，没有精良的工具和上千人的协同劳作，这些巨型石块的采集、雕琢、运输和摆放都是不可能完成的。然而，考古学家并没有在遗址周围发现水源和大规模人类居住的痕迹。反倒是发现了数千块羚羊和野牛的骨头，看起来就像一支来自不同部落的上千人的施工队，他们为了一个共同的信仰定期聚集在一起，有组织地投身这项伟大工程的建设中。

因此有人更愿意相信：不是有了村落才在村落中间建起了信仰中心，而是有了信仰中心才围绕信仰中心建立了村落。事实上，只靠采集和狩猎是无法给大规模的群落提供足够食物的，人类因为想象力的需求主动进入了农耕时代。已有研究结果表明，至少有一种培育的小麦起源于距离哥贝克力石阵30千米的喀拉卡达山脉，同时至少有一种驯化的家猪起源于距离哥贝克力石阵96千米的查尤努遗址。这些人类驯化史上的重要事件，发生在同一个地方不可能只是巧合。

2.2 规天矩地

哥贝克力石阵的出现打开了一扇自由想象的天窗，我们可以大胆猜想：人类社会中数学概念的最初发展不是因为人口和经济的因素，而是因为信仰。然而，要验证这个猜想困难重重，在文字尚未诞生的上古时代，就算有什么数学上的奇思妙想，也很难被保存下来为后人所知晓，而人类历史上第一份关于数字的记录，同时也是第一份关于文字的记录，却毫无疑问地指向了财经文件（见图2-2，这块大约公元前3000年的泥板，来自古城乌鲁克，记录了苏美尔人以啤酒作为劳动报酬进行分配的情景 ）。

尽管很难从文字记录中找到数学概念的诞生与人类信仰密切相关的直接证据，但我们仍可以从祖先的生活方式和社会活动中搜寻到他们智慧与想象力的蛛丝马迹。事实证明，源自人类信仰和早期世界观的几何与数字的想象，即使没有形成人类社会最早的数学概念，也是后来数学发展另辟蹊径的重要源头，其中最重要的例子就是“天圆地方”。

1983年，考古学家在辽宁省境内的牛河梁红山文化遗址 发掘出一组神奇的圆丘和方丘。这组圆丘和方丘的结构与今天的天坛和地坛十分相似，很可能是中国最早的蕴含了“天圆地方”思想的建筑群落。这组由泥土和石块垒成的建筑群同样承担着举行祭祀等宗教活动的重任。

如果不是出于天圆地方的世界观和追求天地和谐的文化信仰，我们的祖先大可不必把它们设计成圆形和方形。从稳定性和空间利用率的角度来说，他们应该把房子的横截面设计成三角形或蜂巢那样的六边形网格 ，然而，在人类早期社会的遗址中，我们确实没有发现造型如此前卫的建筑。

因为信仰的深远影响，几何学中的圆形和正方形成为人们眼中最神圣、最具美感的形状。因此，用来画出圆形和正方形的数学工具自然也就成为人们崇拜有加的对象。在新疆维吾尔自治区的唐代高昌国古墓中，曾经出土了一批伏羲女娲图。这批伏羲女娲图生动地描绘了相传为人类始祖的伏羲和女娲，他们相互拥抱，共同孕育人类。这些画代表了中华文明对于创世纪的奇妙想象。请看这幅伏羲女娲图（见图2-3），你能认出伏羲和女娲手里拿的是什么工具吗？

女娲手里拿的是“圆规”，伏羲手里拿的是“矩尺”，作为人类命运的开创者，他们拥有“规天矩地”的无上权力。

所谓“没有规矩，不成方圆”，今天要问那些具有初等数学水平的小学生，画出圆形和方形需要什么工具？他们大多都能答出需要圆规和矩尺。然而，他们未必能意识到人们常说的“遵规守矩”中的“规矩”，最早其实指的是两件数学工具。我们由衷地佩服祖先非凡的想象力。

2.3 数字崇拜

如果我们相信人类社会早期的生产实践活动是数学概念诞生和发展的唯一途径，那么三四千年前的数学水平似乎难以达到一个较高层次，因为农耕文明早期的生产力是非常低的。然而，真实情况可能正好相反。世界上各民族在文化启蒙之初都存在对某种数字崇拜的现象，我国古代先人也是如此。从他们对数字的崇拜可以看出，上古时期的数学水平可能远超我们的想象。

相传为“八卦”和《周易》源头的“河图洛书”就是一个很好的例证。这两幅千古流传的神秘图案，不仅对中国古代哲学意义非凡，更展现了丰富的数学思想。如今，“河图洛书”的传说已经列入国家级非物质文化遗产名录。由宋代学者对其所做的图示可知，河图与洛书是以黑白两色圆点为基本元素，由不同数目的黑点和白点按照特殊规则排列而成的方形图案（见图2-4）。

若将黑白圆点组合用其所对应的阿拉伯数字代替，洛书就变成了一幅由数字组成的九宫图（见图2-5）。

仔细观察这幅九宫图，我们可以发现1～9这9个数字按照洛书所展示的规则被填入一个三行三列的方格表中，每行、每列甚至是每条对角线上的数字相加之和都等于15。在数学上，具备这种神奇性质的数字方格表被称为幻方，“洛书九宫图”大概就是中国历史上最早的三阶幻方。

而若以数字5为中心，用四条虚线将“洛书九宫图”中各项求和等于15的数字串在一起，我们会惊喜地发现，“洛书九宫图”的高度对称性竟然也蕴含着“天圆地方”的思想（见图2-6）。

不仅如此，“洛书九宫图”还对应了现代数学中非常重要的一个概念：矩阵。矩阵概念有多重要呢？熟悉现代科学的朋友应该都很清楚，科学家们对矩阵概念的使用已经渗透到数学乃至全部自然科学的几乎每个领域。

虽然矩阵的概念如此重要，但它的定义却简单到小学生都能理解。任何一个由数字构成的矩形方块就称为一个矩阵。例如，1～6这6个数字中，3个数字一组排成两行，构成一个两行三列的矩阵

而“洛书九宫图”对应的则是一个三行三列的矩阵

像这样行数和列数相等的矩阵，我们称为方阵。

就方阵而言，人们可以计算它的行列式。三阶方阵行列式的计算公式为

这是一个有着深刻几何背景的公式，我们暂且不做解释，将“洛书九宫图”所对应的三阶方阵直接代入计算得到

这个数字有什么玄机吗？是的，360恰好是古人将一周天等分的份数 ，加上洛书这个三阶幻方对应的数字和是15，恰好等于二十四节气中每两个节气之间的间隔，这让那些坚信洛书与天文历法密切相关的人士非常兴奋。

河图洛书神秘的数字图案还隐藏着更多的数学秘密，它们和“规天矩地”的数学思想一样，深刻影响着中华民族5000多年的文化构建。商代金文里巫师的“巫”字是两把互相垂直的矩尺（见图2-7），说明手执矩尺即为掌握权力，这与当时巫师的工作非常契合。

当然，除了创造信仰的故事，人类社会的各种生产实践活动也离不开数学思想和数学方法的支持。抛开信仰不谈，人类强大的想象力全方面推动了数学的发展，进而使数学成为人类文明产生实质飞跃的坚实基础。

思考题

有人说数学是人类思维的想象，因此数学方面的研究成果应该被称为“数学发明”；也有人说数学是现实世界的抽象，数学研究成果反映的是客观存在的真理，应该被称为“数学发现”，你觉得哪种说法更有道理？ pyxeB+BNOBrrUYSruzk2Rz71ZGvTWbAzhV5MvOCYLhg8q2zcdqlj12XoJd0t3QCy