下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
常常会有人问：在学习数学中，究竟是天赋更重要还是勤奋更重要？对于很多人来讲，这是一个难以回答的问题。如果说天赋更重要，那学习就成了一件比拼运气的事情，倘若天赋水平不高，数学成绩就注定难有大的进步，努力还有什么意义？如果说勤奋更重要，只要坚持不懈、刻苦用功就可以抹平天赋水平的差异，那为什么有一些人即使非常认真和努力也无法成为学霸呢？
对于这个问题，历来有很多针锋相对的讨论，大家各自摆出很多论据，试图说服对方，却很少有人停下来认真想一想：究竟什么是“数学天赋”？对大多数人来讲，天赋上的差别和勤奋上的差距，是不是处于同一个可以被拿来认真比较的层级？
如果在你的脑海中，“数学天赋”是指一个人学习数学时所展现出来的专注力、观察力、记忆力、推理力、判断力等能力，那么你的理解可能就产生了偏差。这些能力虽然与学习数学密切相关，但是并不专属于数学。事实上，学习任何一门学科都需要这些能力作为基础，用一个大家更为熟悉的词语概括，那就是智商。智商在一定程度上影响学习数学的效果，但我们却不能简单地把数学天赋等同于智商。更何况，一种可以被称为“天赋”的资质或能力不应该轻易地被后天环境所改变，而一个人的智商却完全可以通过后天训练得到提高。
数学天赋究竟是指什么呢？它是指一种与生俱来的、对数量关系、空间形式以及更为复杂的数学结构进行精准感知的能力。这种能力不依赖数学思维的训练，也不依赖数学知识的积累，而是隐藏在大脑皮层间的一段神奇代码。正如有些人不看说明书，不记公式，却总能把随意打乱的魔方顺利还原，这个人的数学天赋就一定很不错。印度传奇数学家拉马努金创造了众多连他自己也没办法完全证明的公式，数学天赋之高也是可见一斑。
如果你认同上述关于“数学天赋”的这个定义，那么本章开头的问题也就有了答案。在大多数人日常接触的数学领域，假设除天赋与勤奋之外的其他因素的影响都一致，单独考察两个个体的学习效果，勤奋显然比天赋更加重要。除非你想达到“徒手开根号、盲眼拧魔方”的极端境界，否则在学习数学的时候并不依赖对数量关系、空间形式和复杂结构的原始直觉。更何况，与别的物种相比，人类的这种原始直觉其实不算特别出色。
著名物理学家伽莫夫曾经写过一本非常经典的科普书《从一到无穷大》，这本书的开头讲述了一个无厘头的小故事：两位匈牙利贵族聚在一起，玩一个关于数数的小游戏，他们各自在脑海中想一个自己能想到的最大数字，然后比一比谁想到的数字大，输的人要付给赢的人一枚金币。其中一位贵族抓耳挠腮想了很久，说出了一个他所能想到的最大数字：3。你没听错，就是1、2、3的3。轮到另一位贵族，对手说了个“3”，按照常理来讲，只要不是智商突然掉线，这枚金币是跑不了的。可是万万没想到，这位贵族绞尽脑汁想了很长时间，最后憋出一句：好吧，你赢了……
在今天受过良好教育的人看来，这两位贵族的表现当然是匪夷所思的，因为扳扳手指头就能找到比“3”更大的数字。但请你相信，用手指头数数这件事情（“屈指记数法”）并不是从来就有的，如果我们把时针拨回到数万年前，看一看非洲、南美洲和大洋洲北部的一些古老部族，那一切就变得十分合理，因为有充分的证据表明，这些地方的祖先可能并不知道比“2”更大的数字。如果你要问一位部族首领他有多少个孩子？他大概只能尴尬地告诉你一堆，因为他根本数不清。这说明在精准计数这件事情上，人类祖先的“天赋”其实乏善可陈。
语言学上的证据也充分支持这一观点。在数字被真正抽象化之前，人类就已经能够使用多种词汇来表达“2”这个概念，这些词汇流传下来，并保留着很深的痕迹。例如，英语中的“pair”“couple”“twin”和“set”等词汇，都用于表达两个对象的含义，然而表达“3倍”和“许多”的单词却常常混淆不清。例如，英语中的“thrice”能同时表达“3倍”和“许多”；西班牙语中的“3倍”（tres）和法语中的“许多”（très）则有明显相同的词源；在中文中，“三足鼎立”是一鼎三足，数量确定，“三思而行”却是反反复复，多次思考。这种现象说明人类的原始数觉能够区分“1”和“2”，却无法准确识别比“3”更大的数目。
相比之下，一些鸟类和昆虫则要强悍得多。例如，独居蜂这种昆虫，能够在巢穴中预先放置精准数量的尺蠖作为其幼虫的食物，有的独居蜂会放置5条，有的会放置12条，有的会放置24条。没有证据显示，独居蜂经过了统一培训或互相学习，它们在准确识别5、12、24等特殊数字上天赋异禀。
同样天赋异禀的还有乌鸦，两位德国科学家在2015年发表于《美国科学院院刊》的一项研究结果表明，乌鸦大脑中某些特殊部位的神经元对数量有反应，它们能够排除位置、大小和分布方式的干扰准确辨别5以下的数量差异，展现了卓越的原始数觉。
而在数觉方面最令人瞠目结舌的则是长脚沙漠蚂蚁（见图1-1），这种生活在非洲撒哈拉沙漠的蚂蚁自带“计步器”，每次外出觅食后总能通过精准计数行走的步数回到自己的洞穴。尽管脚比普通蚂蚁长得多，长脚蚂蚁移动一段短距离也需要行走上千步，令人难以置信的是，它们每次出门都能够保证出发和返程步数完全一致。
图1-1 长脚沙漠蚂蚁
你们肯定很想知道科学家是怎么得知这一点的，对不对？很简单，科学家设计了一个实验，他们让长脚沙漠蚂蚁从洞穴出发行走一段距离，然后给一些长脚沙漠蚂蚁的足绑上细小的猪毛，就像让它们踩着“高跷”，接着把这些蚂蚁放开，让它们朝自己的洞穴走。科学家发现，这些踩着“高跷”的蚂蚁走到自己洞穴门口的时候，往往停不下来，还要再往前走。为什么呢？因为腿变长了，步幅变大了，如果长脚蚂蚁是靠计步数回家的，走同样的步数，那么必然超过原来的距离。另外，某些长脚沙漠蚂蚁的待遇可能就比较可怜了，科学家把它们的腿锯掉一部分，同样地，让它们朝自己的洞穴走。科学家发现，这些短脚蚂蚁往往还没有走到自己洞穴门口，就已经停了下来，因为腿变短了，步幅变小了，但是它们依然按照原来的步数行走。
这个实验非常有趣，虽然有点残忍，但是它非常清楚地表明长脚沙漠蚂蚁识别自己的洞穴可能不靠嗅觉，也不靠视觉和触觉，而是靠它的原始数觉，一种神奇的“计步器”。
较高的原始数觉带来的好处在于，个体能够识别更大范围内的数量变化。但要想反过来，通过识别数量变化的实验来测量现代文明人的原始数觉，却是一件非常困难的事情。尤其对于智力已经得到开发的儿童和成人来说，即使不让他们使用数数的方式，他们仍会自发地利用形状、大小、排列规则等图形特征，甚至利用生理或心理上的暗示来帮助辨别数量的变化。
如图1-2所示的散点图。你几乎无须任何思考，就能确定第二行中的散点个数要多于第一行中的散点个数，因为第二行点列明显占据了更大的空间并且散点的排列更加密集。这是一个基于图形视觉特征的直观判断，在判断过程中，一个智力正常的普通人对自身原始数觉的调用被屏蔽了。
图1-2 散点图
要想排除这种与原始数觉无关的技巧对实验所造成的干扰，我们需要尽可能打乱散点的排列方式并且适当增加散点的个数，图1-3比图1-2要复杂许多。
图1-3 双圆点图
你能立刻说出哪个圆中包含的散点更多吗？一般人在短时间的观察后是无法说出正确答案的。这是因为两个散点的组合，分布区域大小一致、分布间隔疏密相当、分布方式杂乱无章，你无法再像之前那样借助图形的基本特征进行判断。此时，我们只好启用自身的原始数觉，但很遗憾，事实证明大多数人原始数觉的有效范围是十分有限的。
不要认为上面双圆点图中的散点个数达到两位数，我们就比乌鸦厉害很多，有科学家设计了更加精密的实验，现代文明人的直接视觉数觉很少能超过4。
虽然在原始数觉方面人类并不是自然界的王者，但是人类文明却毫无疑问地发展出了其他物种无法企及的数学能力，这使人类最终成为地球上最具智慧的群体。
究竟是何种力量帮助我们脱颖而出呢？
除了凭借几何直觉还原魔方，你还能举出一种属于“数学天赋”的能力并给出具体的实例吗？
如果数学天赋并没有那么重要，为什么有些人明明很努力却无法学好数学呢？