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尽管圆周率在更早的时候已经被近似地计算，但直到阿基米德所处的时代，它才被确定为与圆的半径毫无关系的常值（利用“穷竭法”）。你可能会有疑问，为什么最早探究“无穷”概念的人并不出自四大文明古国中的任何一个，而是公元前几世纪的古希腊？其实这一点很好解释，从实用主义的观点出发，我们的日常生活与无穷的概念并没有多大的关系，目之所及的事物都能用有限的数字来描述。
第七次全国人口普查结果显示，我国总人口为14.43亿；2020年，我国国内生产总值达到100万亿元；2017年，北京市高考出了一道数学题，人类可观测到的整个宇宙所包含的原子总数大约为10 80 。这些数字固然庞大，但不管它们有多大，在有限的时间内仍然可以穷尽，所以“无穷”并非来源于实际生活，而是一个心之所感的产物。作为一个数学概念，它只有在数学脱离了实用主义，成为一门智力学科时，才有可能诞生。而当这一天真正到来的时候，任何在原始数觉上超越人类的物种，都将被我们远远甩在身后。
一个十分有趣的事实是，尽管阿基米德一只脚迈过了“无穷”世界的门槛，却没有写下“圆的面积等于圆内接正多边形面积的极限”这样的终极结论。尽管“穷竭法”已经包含了数学上准确定义极限的全部要素，却只是被用于在有限步骤内完成反证法的证明。古希腊数学家对待“无穷”的态度极为谨慎，这背后的原因异常深刻，他们似乎一直都在抽象的数学模型和真实的物理世界之间摇摆不定。
古希腊哲学家芝诺（Zeno），于公元前490年出生于意大利半岛南部的埃利亚，是希腊著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生。在与师父共同游历雅典的旅行中，芝诺提出了数个关于时间、空间和运动的著名悖论。这些悖论在历史上的地位极高，经常作为极限和微积分的思想启蒙被众多学者所引用。但要深入研究芝诺悖论却非易事，不是因为记载芝诺悖论的相关材料太少，而是因为这些材料多如牛毛，彼此矛盾，很难选择。
大家都有这样的经验，当我们只有一块手表时，现在是几点很清楚。但当我们有很多块走时不同的手表时，现在是几点反而很糊涂了。对芝诺悖论的引用和评述也是如此，即使如亚里士多德这样的伟大哲学家，也曾受到其他大学问家如英国哲学家罗素的尖锐批评。而我个人比较赞同美国数学家托比亚斯·丹齐克教授的观点
，对芝诺悖论的分析要紧密结合当时的学术环境和学术发展状况。
当时的学术环境和学术发展状况是什么样的呢？
在芝诺所处的时代，学术流派百花齐放，有倡导“自然取代神灵”的爱奥尼亚学派，有畅想“万物皆数”的毕达哥拉斯学派，有发明“穷竭法”的欧多克斯学派，等等。这些学派广泛地思考数学与哲学之间的关系，在宽松的学术氛围中，碰撞出了许多精彩的火花。芝诺所属的厄里亚学派也参与其中，他们擅长以归结谬误的方式反驳对手的观点，在对手承认的前提之下，采用情景假设和逻辑推理的办法，一步步推导出自相矛盾的结论，以使对手的观点不攻自破。这种在同一个前提下推导出的自相矛盾的结论就是悖论。尽管有悖论制造者因偷换概念以达到目的，被打上“诡辩家”的标签，但也有不少悖论是非常具有启发性的，芝诺悖论就是其中的代表。
若要研究芝诺悖论，我们首先需要意识到，它是一系列针对其他学派不同观点的诘难，它的结论不是简单地支持一方、否定另一方，而是要让所有人同时陷入一个两难的境地。
在当时，人们对空间概念的数学抽象已经达成基本的共识：“距离”被抽象成两点之间一条线段的长度。为了方便计算“距离”的数值，人们有意无意地忽略了线段的宽度，当两条线段相交时，相交处就是一个没有大小的点。这种逻辑使希腊人的“二分法”成为一种确实的运算，任意一条线段都能够取到中点被分成两半，一半再取一半，过程可以无限地持续下去。形象点说，空间具有无限可分的性质，一条线段由无穷个点组成。
与空间概念不同，希腊人对时间和运动有着截然不同的观点。一种观点认为时间不是无限可分的，而是拥有最小的不可分的单元。因此，运动不是连续的，而是像电影一样，由一帧帧画面的微小跳跃构成，就算能够做到极致清晰与流畅，连续运动也只不过是一种超越了生理极限的障眼法。另一种观点则认为时间和空间一样都是无限可分的，由一系列没有大小的时刻构成，运动不是一些孤立画面的总和，而是一个连续不断的过程。
针对第一种观点，芝诺设计了下面这个悖论。
阿基里斯（Achilles）是希腊神话中的一位骁勇善战的英雄，其名字有时也被译为阿喀琉斯，著名的“阿喀琉斯之踵”说的就是他。在《荷马史诗》诸多人物中，阿基里斯擅长跑步。然而，芝诺偏偏让他和乌龟进行了一场别开生面的跑步比赛，结果令人十分惊奇：阿基里斯似乎永远也追不上乌龟！这并不是阿基里斯在奔跑中受伤，而是阿基里斯与乌龟的出发点不同，就是这一丝的差别，造就了阿基里斯与乌龟之间无法逾越的鸿沟。
我们来看看芝诺是如何设计这场比赛的：假设阿基里斯的跑步速度为10米/秒，乌龟的速度为1米/秒。因为乌龟跑得很慢，所以让乌龟在领先阿基里斯100米处开始比赛。这个假设看似很合理，在大多数人看来，发令枪一响，乌龟很快就会被追上。
这场比赛中有一些重要的节点将被标记下来。第一个节点，阿基里斯前进了100米，到达乌龟的出发点，此时，时间过去了10秒，乌龟前进了10米，乌龟在前；第二个节点，阿基里斯追到乌龟在上一个节点所处的位置110米处，此时，时间又过去了1秒，乌龟前进了1米，乌龟依然在前；第三个节点，阿基里斯追到乌龟在第二个节点所处的位置111米处，这段过程同样消耗了一些时间而乌龟在这段时间里又往前爬了，所以乌龟还是在前。
遵循同样的逻辑，我们会发现，当阿基里斯追到乌龟在上一节点所处的位置时，乌龟都利用他所耗费的时间又往前爬了一段距离，尽管这段距离非常微小但乌龟始终在前。这样在整段过程中，我们就标记出了无穷多个时间节点，如果时间可以被分割并且具有最小的不可分单元，那么无穷多个这样的不可分单元累积在一起，一定是一段无限长的时间，所以阿基里斯永远也追不上乌龟！
这真是令人哑口无言！今天就连小学生都知道阿基里斯追上乌龟只需要
秒，怎么可能永远也追不上呢？芝诺先生并不是诡辩家，他要的就是你瞪大眼睛的效果。从逻辑上讲，这个论证并没有什么问题，唯一可能会出问题的是“时间具有最小的不可分单元”这个假设，完成无穷多个步骤真的需要无限长的时间吗？如果你懂一点无穷级数求和，那么阿基里斯追上乌龟的时间可以通过下面这个无穷级数来计算
：
结果与小学生算法不谋而合。然而，这个非常漂亮的无穷级数计算方法隐藏了一个微妙的前提：时间与空间一样无限可分，时间轴可以被截取到任意微小的长度！
你或许会想：“好，我们就承认时间无限可分吧，这样一切就都和谐无误了。”
果真如此吗？芝诺很快又为你带来了第二个悖论。
为了描述这个悖论，我们来设计一场跨越千年的对话，对话的主角是小明同学和芝诺老师。
芝诺老师首先发问：请看一支离弦之箭，这支箭在射出之后是否一直在运动？
小明回答：老师你在逗我吗？它当然在动啊。
芝诺继续发问：很好，那么在每个确定的时刻，这支箭的末端是否占据着它的运动轨迹上的一个点？
小明回答：确实，箭的末端占据着一个点。
芝诺：在这一时刻，箭是运动的还是静止的？
小明：是静止的，老师。
芝诺：在这一时刻是静止的，在其他时刻呢？
小明：在其他时刻也是静止的。
芝诺：这支箭在整个过程中的每个时刻都是静止的，它一直保持着静止的状态，根本就没动，对吗？
小明：呃……
小明同学当场蒙了，芝诺老师几个问题就让他陷入了沉思。
我们必须承认，芝诺的论证完全遵循了时间无限可分的前提，在这个前提下，时间没有最小的不可分单元，而是由无穷多个没有大小的时刻构成。由于时刻没有大小，箭在被射出后的每个时刻都不可能发生位置的变化，因此是静止的，而所有这样的静止状态累积在一起依然是一个静止的状态，所以箭根本没动。
按照芝诺老师的假设，如果想摆脱这种困境，唯有承认时间不具有无限可分的性质，否则一个点怎么可能既停住又同时在运动。
芝诺以严密的逻辑将古希腊人对时间、空间和运动的分析推向了一个尴尬的境地。支持时间无限可分和否定时间无限可分的人在辩论桌上各执一词，却没有一方成为这场比赛的胜利者。
试图消解芝诺悖论的做法有很多，其中，不乏哲学家和物理学家，特别是研究量子力学的物理学家，他们不认为这是一个数学问题。但这不是我们关注的重点，我真正想说的是：芝诺悖论的伟大之处在于它促使人们去思考数学概念与人类感官所感知的客观时空，在本质上其实并不具有相同的外延。与其说真实世界是按照数学规律运行的，倒不如说人们只是用数学在脑子里虚构了一个真实世界的镜像。
在数学上，芝诺悖论可以简化成如下的版本：一条线段包含了无穷多个点
。如果点有大小，无穷多个点的大小就必定无穷大，这条线段不可能有长度；如果点没有大小，这条线段也不会有长度，因为它是由一些没有大小的点构成的。
就数学发展而言，芝诺悖论真正要害的地方在于“如何处理无穷多个数相加”。如果
可以被接受，无穷多个“0”相加为什么不能是“0”？
直到2300多年后，数学家们针对这个问题给出了满意的回答。所谓无穷级数，是一种“可数无穷”，它意味着所有参与求和的数可以一个个地排列出来，然后依次相加，这在数学规则上是被允许的，其结果可能是一个有限的数。然而，一条线段上有无穷多个点则是一种“不可数无穷”，不可数无穷多个数是无法排列的，因此也是无法相加的，即使参与求和的数都是“0”也不行。点的“数量”与线的“长度”之间并没有必然联系。关于这些问题的讨论，我们接下来还会慢慢展开。
要将无穷多个数相加，即使是“可数无穷”，在物理意义上也是不可能完成的操作。要为无穷级数设计一个合理的数学定义，你会怎么做？