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如果要在浩如烟海的数学概念中挑出一个最有影响力的，我会选择圆周率，不只是因为圆周率的历史源远流长，可以追溯至数学发展的最早期，更是因为圆周率的应用场景不胜枚举，在科学与艺术的各个领域都能够发现它的踪迹。
18世纪，法国数学家蒲丰（Buffon）设计了一个非常著名的实验。蒲丰拿来一张白纸，画了许多条间距为2厘米的平行线。然后将一根长1厘米的小针随机地投向纸面。每当小针停留在纸面与平行线相交时，就记录1次。蒲丰惊奇地发现，当投掷的次数越来越多时，小针与平行线相交的次数比上总的投掷次数会越来越接近一个常数，而这个常数竟然等于圆周率的倒数。这一现象非常神奇，因为平行线看起来和圆毫不相干，在上面投针却导致圆周率的出现。
著名物理学家费曼（Feynman）曾在美国科学教师协会上做过一次演讲，分享了一段类似的经历。费曼说他年轻的时候在一本书上偶然看到一个振荡电路频率的计算公式
，他知道公式中的L为电感，C为电容，可他不理解圆周率π是从哪儿来的，因为这里面看上去没有圆。如果说是因为产生电感的线圈是圆的，但是把线圈改成方形后，结果依然如此。
还有一个例子更加离谱，数学家欧拉在1735年解决了著名的巴塞尔问题：所有自然数倒数的平方求和等于多少？他计算出了结果
公式中又出现了圆周率。你能想象吗？一个自然数倒数平方的无穷求和能和圆有关系！
总之，有圆的地方会出现圆周率，看起来没有圆的地方也出现了圆周率，这足以说明圆周率的重要性。
这么重要的一个概念，我们是怎样认识它的呢？人教版小学数学课本六年级上册对圆周率的介绍如下（见图9-1）。
图9-1 人教版小学数学课本六年级上册对圆周率的介绍
我们是采用科学实验的方法，通过实际测量归纳出“圆的周长与直径之比是一个定值”，并由此引出圆周率的定义的。
作为一个学习了十多年数学的大学生，再看这个小学六年级的定义，可能会觉得它不够严谨和令人信服。且不论每次测量都可能存在误差，由于圆周率是一个无限不循环的小数，根本不可能通过测量加计算的方式得到它的精确值。从学科特征的角度讲，科学实验总结出的近似规律，充其量只能称为物理学定律，与真正的数学定理还差得很远。定义圆周率有一个基本前提：任意圆的周长与直径之比是一个定值。然而在我们的小学课本中，这个基本前提被一句“早就有人研究了”轻轻带过。
当然，我们不能责怪小学老师没有给我们讲清楚，因为这压根儿就不是适合给小学生讲的问题。然而，令人费解的是，此后的教科书也再没有提醒我们“圆的周长等于直径乘以一个固定的数”是一个需要被证明的公式，一直到大学都未曾提及。我们就这样一直心安理得地使用公式C=2πr，却对它的“合法性”闭口不谈。
小学课本中那句“早就有人研究了”指的是谁呢？他就是古希腊数学家阿基米德——那位宣称可以撬动地球的杰出人物。阿基米德生活在公元前287年至公元前212年，是一位公认的伟大数学家，他不仅把圆周率精确到了3.14103和3.14271之间，也是历史上第一位有据可考的，证明了“圆的周长和直径之比是一个定值”的人。事实上这一结果的完整证明分为两个部分，阿基米德只完成了其中的一部分工作。他在著作《圆的度量》中提出了一个计算圆面积的公式：圆的面积等于圆周长与半径乘积的一半
。另一部分是欧几里得在《几何原本》中描述的定理：圆的面积正比于半径的平方。如果用符号□来代表一个固定的数并将欧几里得的定理转换成数学表达
我们很容易就能从阿基米德的圆面积公式推导出
于是圆周长与直径的比值跟圆面积与半径平方的比值相同，是一个固定的数，不会随着圆的大小变化而变化。此时，我们可以赋予它一个专属的名称，如“圆周率”。
欧几里得的定理与阿基米德的圆面积公式加在一起，共同为“圆周率”的存在提供了坚实的保证。欧几里得的定理出现在阿基米德的圆面积公式之前，要想证明圆的周长与直径之比是一个定值即“圆周率”存在，阿基米德的圆面积公式具有决定性的意义。从几何角度来看，我们可以把阿基米德的公式想象成一张圆形的比萨被分割成许多个面积相等的小扇形。当我们调整这些扇形的位置时，可以重新拼装成一个近似于平行四边形的形状（见图9-2）。虽然这不是一个真的平行四边形，但当扇形的面积越来越小时，它会越来越接近一个矩形。这个矩形的宽和长分别等于圆的半径和圆周长的一半。所以，只要比萨被分割的份数足够多，我们就能知道圆的面积等于圆周长与半径乘积的一半。
图9-2 计算圆面积的“比萨分割法”
这是一个十分有趣的几何演示，但算不上一个严谨的数学证明。如果阿基米德也是这样“忽悠”他的观众，我们绝不可能把“首次证明”的桂冠颁发给他，所以阿基米德的证明肯定是不一样的。在欣赏他的精妙证明之前，我们不妨开动脑筋想一想，如果让我们去证明圆面积等于圆周长与半径乘积的一半，我们应该采取何种策略呢？
首先我们会把圆换成它的内接正多边形（假设有n条边），我们知道一个圆的内接正多边形的边数n越来越大时，多边形的面积就会越来越接近圆的面积，多边形的周长也会越来越接近圆的周长（见图9-3）。
图9-3 圆的内接正多边形接近圆
接下来把圆内接正n边形的周长记为L n ，面积记为S n ，将圆心与多边形的顶点连接，多边形就被分成了n个面积相等的小三角形，这些小三角形的面积加在一起就是整个多边形的面积，于是
由于圆内接正多边形的周长总是小于圆的周长
所以，当n越来越大时，
会越来越接近于0，只要对n取极限，我们就得到
。
这个证明并不难，相信每个学过高等数学的同学都可以写出来，但要说这就是阿基米德的证明则很令人怀疑。因为“极限”概念到19世纪才被数学家严格地定义，所以，阿基米德提前一千多年对此详尽阐述并不现实。然而，抛弃“极限”又似乎更加不可能，因为平面图形的“面积”和平面曲线的“弧长”这两个概念本身就是通过“极限”来定义的。阿基米德不可能在不知道圆面积和圆周长含义的情况下，就可以证明圆面积等于圆周长与半径乘积的一半。若真如此，那岂不是史上最大的逻辑漏洞？
数学就是如此迷人，越是你想象不到的就越有可能发生，阿基米德不仅在不知道圆面积和圆周长精确定义的情况下，证明了圆面积等于圆周长与半径乘积的一半，而且做到了逻辑上的无懈可击。以阿基米德为代表的古希腊数学家创造性地使用了蕴含极限思想的穷竭法，他们的论证闪烁着无比耀眼的思辨光芒。
确切地讲，阿基米德没有用圆面积和圆周长的具体定义，而是用它们的性质间接证明了
。做到这一点，阿基米德的思路是这样的，他证明S既不会大于
，也不会小于
，既不大于也不小于，那就只能等于了。
先看第一个方向，如果
，阿基米德构造出一个圆的内接正多边形使它的面积介于S和
之间，但很快发现这完全不可能，因为圆内接正多边形的面积等于多边形周长与边心距乘积的一半，而圆内接正多边形的周长总是小于圆的周长，边心距总是小于圆的半径，所以这样的正多边形是不存在的。
阿基米德是如何在
的假设下构造出面积介于两者之间的内接正多边形呢？如图9-4所示，阿基米德从一个内接正n边形出发（取n=6），作圆心角AOB的角平分线交圆周于D，然后连接AD、BD并作矩形ABEF。
三角形ABD的面积恰好为矩形ABEF面积的一半，而矩形ABEF的面积大于弓形ADB的面积，因此三角形ABD的面积大于弓形ADB面积的一半。注意，AD和DB是圆内接正十二边形的边，这意味着如果我们做更细致的分割，考虑圆的内接正十二边形，它的面积S 12 与圆内接正六边形面积S 6 的差要大于圆的面积S与圆内接正六边形面积S 6 之差的一半：
图9-4 构造圆的内接正多边形
也即
再用圆面积S同时减去这个不等式的两边，就有
考虑更细致的分割并且重复使用这个不等式，我们将会得到
由于S-S
6
是一个固定不变的数，而随着正整数k的增大，
将越来越接近0，因此我们只要取一个充分大的k就能得到一个圆内接正多边形（边数为2
k
·6），它的面积和S充分接近，从而介于S和
之间。然而，我们已经分析过，这是不可能发生的，因此
不成立。
这里顺便说一句，我们使用了“随着正整数k的增大，
将越来越接近0”的说法，这看起来显而易见，实则并非“理所应当”。它依赖实数系的一个重要性质：任给一对正实数a＜b，不管a多小，总存在一个正整数m，使ma＞b。这是阿基米德首先意识到的，后人称为实数系的阿基米德性质。
再来看另一个方向，如果
，阿基米德采用完全类似的方法构造出一个圆的外切正多边形，面积介于S和
之间。这同样不可能发生，因为圆外切正多边形的面积等于多边形的周长与圆半径乘积的一半，而圆外切正多边形的周长总是大于圆的周长。
既然S不能大于
，也不能小于
，那就只有等于
了，圆的面积公式因此得证。
因此，我们完全不需要知道S和C的精确定义，就能得出它们之间的精确关系。
阿基米德使用的方法就是赫赫有名的“穷竭法”，此法在他之前已经被欧多克索斯（Eudoxus）等古希腊数学家多次应用于几何学命题的证明中。《几何原本》收录的命题“圆的面积正比于半径的平方”就是这一方法的经典应用。值得一提的是，几乎处于同一时代的中国数学家也独立地对此类方法做出了精彩探索。魏晋时期的刘徽在为《九章算术》所作的评注里，用文字描述的方式证明了与阿基米德公式相同的圆面积公式，即“半周半径相乘得积步”，并给出了圆周率的一个极高精度的近似值。刘徽的方法被称为“割圆术”，他用内接正多边形分割圆周，所谓“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，短短29个字，把割圆术的精髓描述得清清楚楚。
与阿基米德的论证相比，刘徽的描述更为精练，但严密性上稍逊一筹，这体现了中国与古希腊在数学发展道路上截然不同的选择。
以阿基米德和欧几里得为代表的古希腊数学家，事实上证明了圆的外切正多边形与圆的内接正多边形的面积之差可以小于任何一个给定的正数。虽然他们不知道如何用数学语言精确地定义平面曲线的长度和平面曲线所围成区域的面积，却能够通过严密的逻辑推理得到关于圆周长和圆面积的正确结论。这标志着一种鲜明数学风格的成熟。
这种数学风格，称为公理化。
在阿基米德的证明中，圆周长和圆面积的定义是无关紧要的，它们满足的性质反而十分关键，具体讲有以下两条。
圆的外切正多边形的周长（面积）大于圆的周长（面积）；
圆的内接正多边形的周长（面积）小于圆的周长（面积）。
在阿基米德的工作中，这两条性质都是数学公理的直接推论。关于面积的表述，我们参考《几何原本》中的第五公理，即“整体大于部分”。因为圆的外切正多边形包含圆，而圆又包含圆的内接正多边形，所以圆的外切正多边形的面积大于圆的面积，而圆的面积大于圆的内接正多边形的面积。关于长度的表述，阿基米德预设了一条公理：一个外凸的区域A包含在另一个外凸的区域B中，则A的边界长度小于B的边界长度
。因为圆、圆的外切正多边形和圆的内接正多边形都是外凸区域，所以圆的外切正多边形的周长大于圆的周长，而圆的周长又大于圆的内接正多边形的周长。
只用这两条，阿基米德就把他的证明顺畅地推导出来了。
对象的定义并非至关重要，刻画对象性质的公理才具有决定性的意义，这是数学公理化的精髓，深刻影响了整个现代数学的样貌。
那么，对象的定义究竟有多不重要呢？我举一个例子，公理化方法的开山鼻祖是欧几里得的《几何原本》，这本代表了古希腊数学最高成就的著作，在开篇就对点、线、面等基本的几何对象进行了定义，但它给出的定义大多是含糊不清或自相矛盾的说法。例如，
（1）点不可以分割成部分（点是没有部分的东西）；
（2）线是没有宽度的长度；
（3）线的两端是点；
（4）直线是点沿着一定方向及其相反方向的无限平铺；
（5）面是只有宽度和长度的东西。
这些定义要是被严肃地写入课本，心理素质不好的同学恐怕会倒吸一口凉气。他们会困惑“：没有部分的东西”是什么？没有“宽度”为什么会有“长度”“？点”没有了大小，还能够平铺？如果不是从小就被教育，这是现实世界的自然抽象，恐怕我们很难接受这种神乎其神的定义。事实上，欧几里得也的确是把《几何原本》当成了一部神学作品。在这部作品中，几何“并非”“科学”的一个分支，而是沟通宇宙和世界本源的主要力量。欧几里得基于演绎逻辑，用五条公设和五条公理，去解析世界运行的规律，使数学从此走上神坛。
《庄子·天下篇》记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”你能谈谈这句话与古希腊“穷竭法”之间的相似与区别吗？
生活中有哪些“定义不重要，性质很重要”的例子？