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我至今仍记忆犹新，2019年高考刚结束的时候，“数学”二字迅速登上热搜榜。新浪微博有关2019年高考数学的内容，在一天内阅读量突破了20亿，讨论数超过30万。有网友戏称，2019年高考数学关注度之高创造了一项“吉尼斯世界纪录”。
没有参加考试的人也被这些文章弄得人心惶惶。我的姐姐为她还在上小学的女儿专门发来微信询问：高考数学真的会越来越难吗？将来数学教育会不会发生大的变革？
我不知道应该如何回答这样的问题。在我的认知里，数学是一门非常有规律的学科，只要把握好几个关键的因素，学好数学并不会像登月那样遥不可及。如果把数学比作一座待征服的高山，那么有三种特质可以帮助我们实现最终的目标。
将逻辑置于首位，相信没有多少人会有异议。虽然数学不能完全归结为逻辑，但逻辑确是数学赖以生存和发展的基础。在广大民众眼中，数学思维几乎等同于逻辑思维，我们夸赞一个人数学题答得规整漂亮，通常就是赞扬这个人答题过程中思路清晰、逻辑缜密。
从更广的角度来看，逻辑是大脑思考问题的一种方式，它包含了澄清定义、抽象提炼、推理论证、假设检验等多种能力。这些能力与数学学习密切相关。其中，抽象提炼与推理论证的能力在过去的数学教育中并没有得到充分的强调，但在新的课程改革中正逐渐被重视。这反映了我们的教育理念正逐渐从“应试训练”向全面培养学生的学科综合素质转变。
抽象提炼的能力之所以重要，是因为它能够帮助我们从不同的应用场景中提炼出共性的数学问题，这是进行推理论证的前提。2019年高考理科数学全国一卷中出现了这样一道题目：我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化（见图7-1）。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“──”和阴爻“－－”。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是多少？
抽象提炼能力弱的考生可能一下就蒙了，怎么高考数学还考解卦算命吗？有的考生甚至把六十四卦象全部画出，一卦一卦地数有多少重卦恰好有3个阳爻，这浪费了大量的时间。
图7-1 《周易》六十四卦象
其实这道题跟解卦算命毫无关系，稍加分析就能发现，它不过是一个排列组合原理的简单应用。如果我们用数字“1”代表阳爻，用数字“0”代表阴爻，那么《周易》六十四卦象就是连续6个数字“1”或“0”的全部可能排列。
在数学课本中，这道题通常是以下面的形式出现：将红、白两种颜色的小球随机投入6个依次排列的空盒中，那么恰好有3个盒子是红球的概率是多少？想必换成这种形式，考生们就熟悉多了。其实不同的应用场景，背后的数学原理是一致的。将排列组合与《周易》卦象相结合，既考察了学生的抽象提炼能力，又体现了数学文化贯穿始终的思想，这或许是高考数学未来的发展方向。
在数学领域中，提炼共性数学问题的能力极其重要。高考数学压轴题已经连续多年被数列、二次曲线、导数等题型占据。然而，在2019年却发生了一个重大变化，概率统计第一次出现在压轴题中。这是一个非常明确的信号，未来的数学考试将进一步弱化固有的题型分布模式，更加强调不同题型所涵盖知识点的融会贯通。
我举一个简单的例子：假设一个直角三角形的斜边长为10厘米，较小的锐角为22.5°，请问这个直角三角形的面积是多少？（见图7-2）
图7-2 解三角形问题
要计算直角三角形的面积，需要知道两条直角边的长度，题目已经给了斜边的长度，只要计算出三角形中锐角的正弦值或余弦值就可以了。可惜22.5°不是一个三角函数值要求记忆的常规角度。因此，我们需要设计一个办法去计算sin 22.5°或cos 22.5°。
以计算cos 22.5°为例，由于22.5°是45°的一半，我们很容易想到应用余弦函数的二倍角公式（或和角公式）
于是
同时，我们也可以令x=cos 22.5°，其满足方程
也即
如此看来，一个利用三角函数解三角形的问题，本质上是一个四次方程或二次方程的求根问题。稍加改造，这类题目就可以与二次函数，甚至圆锥曲线等知识点联系起来。在未来，解三角形题目作为高考数学的压轴题出现也并非不可能。
当然，也有同学会认为，这种题目出得过于“凑巧”，仿佛是刻意拼凑的结果。他们认为如果22.5°不恰好是45°的一半，那么答案中的做法就将失效。这种说法对吗？
判断一道数学题出得好不好，的确要看其解答方法是不是普遍的方法。就这个题目而言，将特定角度的三角函数值计算转换成一元n次方程的求解，这恰恰是计算三角函数值的标准做法。假如把22.5°换成20°，解题的思路也类似。首先推导出三倍角公式
令α=20°，就有
再令x=cos 20°，上面的等式就化为了一个三次方程
于是求余弦cos 20°就变成了一个解一元三次方程的问题。如果你了解相关的数学发展史，就不会感到惊奇。计算三角函数值正是500多年前人们不断追求高次方程求根公式的真正原因。
即使我们不考虑解三角形问题的历史背景，选择计算cos 22.5°也是一个更加“正统”的方法。有兴趣的读者可以试一试，只用勾股定理也能解答我们一开始提出的那个问题，但其涉及的技巧不再具有普适性，一旦角度换成20°就无能为力了。
逻辑思维中最基本的能力依然是推理论证的能力，尤其是知道如何在正确的方向上作出假设并进行推理验证。这种推理验证的核心模式就是人们常说的“三段式”论证。
举个例子，要证明1.47是一个有理数，你会怎么做？你可以采取以下三个步骤。
第一步：明确有理数的定义，即能写成两个整数之商的数称为有理数。
第二步：将1.47写成147/100，这是两个整数的商。
第三步：下结论，1.47是一个有理数。
这段论证虽然具有数学性，但其实可以抽象成与数学无关的逻辑推演。
大前提：具有性质P的东西是T；
小前提：W具有性质P；
结论：W是T。
这就是“三段式”论证的基本模式。如果我们将论证过程中的“W具有性质P”记为条件A，将“W是T”记为事件B，则条件A成立推出事件B发生。此时，条件A就称为事件B的充分条件，事件B称为条件A的必要条件。
明确区分充分条件和必要条件是逻辑推理的基本功，但这一看似简单的事情却常常导致错误。因为三段论中，最关键的“大前提”通常是被隐藏起来的，它或是一些定义、定理，或是一些约定、常识，我们需要仔细辨别。如果大前提没有找准，就很容易得出错误的结论。
我曾对刚入学的大一新生进行了一次逻辑测试，给他们假设了这样一个情境：某省份的高招录取工作结束后，清华大学公布录取分数线为690分。请问，条件“该省考生小明高考总分695”是事件“小明被清华大学录取”的充分条件吗？
这问题挺简单吧？我们只需要去判断“小明高考总分695”是不是能够推出“小明被清华大学录取”就可以了。结果出来，竟然有1/3的学生回答是充分条件。他们的理由是：既然清华大学的录取分数线是690分，那么总分695就能充分保证小明被清华大学录取，所以是充分条件。
言之凿凿，听起来还挺有道理，可事实真是如此吗？我把他们的推理整理成一个“三段式”论证。
大前提：高考总分不低于录取分数线的考生会被录取；
小前提：小明高考总分695，超过了清华大学的录取分数线；
结论：小明被清华大学录取。
你有没有发现什么不对劲的地方？
虽然小明的高考总分超过了清华大学的录取分数线，可如果他填报的志愿是北京大学而不是清华大学，又或他的分数没有达到所报专业的分数并且不服从调剂，那么他还会被清华大学录取吗？显然不会。回答“是充分条件”的学生没有找准“三段式”论证中的“大前提”，得出了错误的答案。事实上，高招录取是一个复杂的过程，分数线只是录取结果的一种体现，不是录取考生的评判标准，“总分超过录取线”并不能判断“被录取”这一事件是否发生。
有一道曾经在网络上疯狂刷屏的逻辑题也非常有趣，我常常用它来训练学生的逻辑思维，题目的描述如下。
（1）有一个村庄住着50个人，每人养了一只狗，每天傍晚，大家都在同一个地方遛狗。
（2）村民得知村里的一些狗生病了（但不会传染），村民只能在傍晚遛狗时观察别人的狗是否为病狗，不能观察自己的狗，也不能互相交流。
（3）村民一旦通过推理得知自己的狗是病狗，就要立刻开枪打死它。
（4）第三天枪响了，请问一共有几只病狗？
这道网红逻辑题号称是美国微软公司的面试题，其真实性我们就不去考证了，但的确曾出现在一些知名高校的自主招生考题中。有些学生拿到题目后，执着于列出病狗数量满足的方程，结果半天找不到头绪。事实上，假设病狗的数量，并寻找其与第几天枪响之间的关系，才是正确的解题思路。
假设病狗的数量为N。
第一天：
如果N=1，那么唯一一只病狗的主人在遛狗时看不到任何病狗，他能够立刻推出自己的狗是病狗，于是开枪打死它。然而，第一天并没有枪响，所以病狗的数量至少是两只。
第二天：
由之前的分析可知，若是第一天没有枪响，病狗的数量至少是两只，所有的村民都清楚这一点。如果N=2，两位病狗主人在第一天遛狗时都能看到一只病狗，不足以判断自己的狗是否为病狗。然而，两位病狗主人在第二天遛狗时还是只能看到一只病狗，因此他们立刻推知自己的狗是病狗并开枪打死它。
所以第二天没有枪响，必然推出N＞2。
第三天：
前两天枪没响推出病狗的数量至少是三只。如果N=3，由之前的分析可知，三位病狗主人在前两天遛狗时都能看到两只病狗，不足以判断自己的狗是否为病狗。到第三天，他们还是只能看到两只病狗，于是他们明白自己的狗就是病狗，于是第三天枪响。
所以答案是3只。
至此，可能有一半的学生迫不及待地喊出了答案。答案是没错，可推理真的正确吗？
我们来复盘刚才推理的最后一步，记条件A为“病狗的数量等于3”，事件B为“第三天枪响”，则我们推出的结论是：条件A成立则事件B发生，这说明“病狗的数量等于3”是“第三天枪响”的充分条件。然而，充分条件不一定是必要条件，即“第三天枪响”不一定意味着“病狗的数量等于3”。为了完善推理，还需要补充以下这个步骤。
如果N＞3，那么所有病狗主人在第三天遛狗时都能看到至少三只病狗，他们不足以判断自己的狗是否为病狗，因此第三天不会有人开枪，这与题目中“第三天枪响”的设定矛盾。
既不能大于3，也不能等于1或2，那就只能是3。
这才是正确的推理过程。
如果按照上面的逻辑分析，不难发现，倘若第P-1天时没有枪响，则病狗的数量至少为P；若第P天枪响，那么每个病狗主人在第P天看到的病狗数量恰好是P-1，从而判断出自己的狗是病狗，病狗数量为P。
综上所述，第几天枪响，病狗就有几只。
你学会了吗？
你能设计一种方法计算从0°到30°间隔2.5°的所有角度的余弦函数值吗？