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数学虽源于经验，却逐渐走上了背离经验的道路。与物理、化学等学科不同，现代数学是借助演绎逻辑在少量公理、假设的基础上发展出来的一套以研究抽象结构为主要目的的推理体系。数学的真伪有着客观的评价标准，不由经验左右，也无须实验验证，只由合乎逻辑的数学推理决定。即便某个数学结论看似荒谬，只要其前提成立且推理正确，它在数学领域就是无可辩驳的真理。
这种纯粹求真的态度让数学家经常成为普通人眼中刻板教条的代表。
想必大家都听过下面这个故事。
一位天文学家、一位物理学家和一位数学家在苏格兰高地上散步，他们看到了一只黑色的羊。
天文学家可能从没见过黑色的羊，惊呼道：“天啊，原来苏格兰的羊是黑色的！”
物理学家立刻纠正道：“可不能这么说啊，这仅仅是一次观察得到的结果，你只能说我们在苏格兰发现了一只黑色的羊。”
这时候数学家笑了，指出：“你说得也不对，准确来说，在这一时刻，从我们观察的角度看过去，这只羊有一侧的表面是黑色的。”
这虽然是一个调侃数学家的段子，却清楚地揭示了数学思维与其他学科思维的不同。数学推理严格地依赖演绎逻辑，而非经验逻辑中的归纳方法。即使物理学家一生见过的所有羊均为单一的颜色，他也不能确定当时看到的这只羊是不是例外。所以数学家的小心谨慎特别有道理，这是正常的职业习惯。太阳每天东升西落已经足够让物理学家总结出一条定律，却不足以让数学家据此写下一个定理。
当地时间2016年2月11日上午，来自加州理工学院、麻省理工学院及激光干涉引力波天文台（LIGO）科学合作组织的科学家，齐聚美国华盛顿特区国家媒体中心，向世界宣布：人类首次直接探测到引力波。这一发现为爱因斯坦广义相对论的验证找到了最后一块拼图。
可能你会很奇怪，爱因斯坦的相对论不是早就被世人接受了吗？为什么还要验证？为什么引力波的发现会让物理学家欢呼雀跃？这些问题的答案与物理这门学科的特征有关。
以物理学为代表的自然科学，其研究过程与数学截然不同。科学家提出一个理论来解释某个自然现象，通常会被称为“假说”。注意“假说”不是“科学理论”，不管听起来多么诱人，它的价值都比较有限。一个“假说”要想成为“科学理论”，必须经过实验的严格验证。例如，著名物理学家杨振宁和李政道于1956年提出“弱相互作用下宇称不守恒”假说。这一预言随后得到吴健雄团队的实验验证，杨振宁、李政道二人也因此获得诺贝尔物理学奖。
爱因斯坦的广义相对论在刚刚问世时，也曾包含多个著名的预言，其中光线在引力场中会弯曲和引力会沿时空传播尤为著名。前者是第一个被科学家证实的预言，其在1919年被英国天文学家爱丁顿（Eddington）和戴森（Dyson）的团队在非洲和南美洲同时观测到，立刻引起了轰动，广义相对论从此风靡全球。后者（引力波的存在）则是最难验证的一个预言，因为引力波是由超大质量的星体在发生合并时产生的时空波动，传播到地球时变得十分微弱，难以探测，在广义相对论问世一百年后，这是唯一一个还没被证实的预言。
探测到引力波对物理学家具有重要意义，它标志着相对论从一个“科学假说”进化为“科学理论”，只有当引力波被真实探测到，相对论的正确性才会进一步得到加强。
相较于数学，假如你认为这仅仅是科学研究的过程不同，物理学多了个实验物理而已，那你可就大错特错了。在物理学中，即使你的“假说”被实验严格验证，也不意味着该理论就此高枕无忧。因为受到实验材料、环境和方法的制约，很多实验并不能成为一个科学理论放之四海而皆准的保证。牛顿的惯性力学被视为物理学中的“圣杯”，但在大尺度空间中却败给了爱因斯坦的相对论；爱因斯坦相对论的预言虽已经被实验证实，但在微观粒子领域却受到了量子力学的强有力挑战。因此，“修正”在理论物理学中是常见的用词，著名物理学家霍金（Hawking）生前便不时推翻自己先前的结论，这不是因为他不靠谱，而是因为学科思维的不同。
科学发展就是在不断地证伪过程中去伪存真，从而逐步揭开世界的真相。
在数学的世界里，物理学理论不断被“修正”的事件是不会发生的，只要假设和前提成立，借助演绎逻辑推导出来的结论就是真理，不存在有朝一日被推翻的风险，这使数学证明能够达成的效果特别强大，因此要求也格外严格。
多年前，我在《通俗数学名著译丛：数学趣闻集锦》中第一次看到“缺损棋盘”的例子，一时惊为天题。这道题目是这样描述的：假设我们有一张国际象棋的棋盘，这个棋盘有缺损，位于棋盘对角的两个格子没有了，这样棋盘上只剩下62个格子。现在我们手里有31张矩形的多米诺骨牌，每张骨牌恰好可以覆盖棋盘上相邻的两个格子。请问这31张多米诺骨牌是否能够恰好覆盖缺损棋盘上的62个格子？（见图6-1）
图6-1 缺损棋盘问题
我曾多次把这个问题抛给学生，试图说明数学证明和科学验证的不同。大多数学生在拿到题目后，会立刻拿起笔在纸上画起来，看看是否能够找到完全覆盖的方法。不过他们很快就放弃了，因为可能性实在太多了，即使尝试了多种方法都未能成功，他们也无法确定是否恰好有一种他们没有想到的铺法能够完成题目规定的任务。
那把这个问题交给计算机如何？结果会令你大失所望，在电脑宕机前，你可能就已经失去了耐心。
很不幸，这道题目中规定的任务是不可能完成的，你无法找到铺满棋盘的方法，这注定了你从正面寻找答案的尝试都将以失败告终。然而，运用数学思维加上简单的观察就能够轻易证明这点。
国际棋盘上的格子是黑白相间的，而位于对角的两个格子颜色相同，都为白色。因此，缺损的棋盘上黑格一共有32个，白格有30个，白格比黑格少2个。但是每张多米诺骨牌覆盖的相邻两个格子的颜色是不同的，所以如果31张多米诺骨牌都能铺在同一张棋盘上，那必然占据了31个黑格和31个白格，黑白格的数量必须一样多，显然，缺损的棋盘并不满足这个条件，因此，用31张多米诺骨牌铺满缺损棋盘的方法根本就不存在。
这个解答是不是给人一种醍醐灌顶的感觉？在这里，数学推理展现了震撼人心的力量。
数学推理不仅能够帮助我们证明经验无法触及的命题，还能够帮助我们纠正经验误导所产生的错觉。我们不要认为经验永远都会带来积极正面的结果，在生活中，由经验导致的错觉比比皆是，著名的“生日概率问题”就是一个绝佳范例。
试想一下，一场足球比赛的场上队员加上主裁总共有23人，他们在同一天过生日的概率会有多大呢？初看这个问题，经验可能会告诉我们：这件事情发生的概率非常低。毕竟一年有365天，人数却只有23人，似乎把23个苹果扔到365个不同盒子里的组合实在是太多了，两个苹果撞到同一个盒子的概率自然很小。然而当你用严谨的数学思维认真思考一下，就会发现结果与你的想象大不相同。
假设23个人的生日各不相同，第一个人总共有365种选择，第二个人则变成了364种，第三个人有363种选择，以此类推，第23个人的选择有343种，因此所有人生日都不相同的概率是
而至少有两人在同一天过生日的概率则为
结果超过了50%，你是否大感意外？然而这一数字还将随着参与人数的增加快速逼近100%。因此，如果有人和我打赌明清两代28位皇帝中是否有两位皇帝的生日在同一天？我肯定会选择“是”，因为概率已经超过了65%，赢面非常大。
事实上，如果你深入调查相关资料，就会发现明世宗嘉靖皇帝朱厚熜和清宣宗道光皇帝爱新觉罗·旻宁的生日在同一天，都是9月16日。
经验虽然宝贵，但在现代社会中，它不再扮演人类实践活动的最高指挥官。我们必须承认，历史上从没有哪个时代像现在这样，人们能够真实感受到的客观时空被种类繁多的数学公式精准控制。你可以不必懂它，但无论如何也离不开它。
一个池塘中的荷花开始绽放，第一天只有少数荷花开放，此后的每一天，荷花开放的速度都是前一天的两倍，到第三十天时，荷花开满了整个池塘，你知道荷花开放一半时是第几天吗？