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奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中的一种重要技术。它可以将任意矩阵分解成三个部分的乘积，即A=U∑V T ，其中A是一个m×n的实数或复数矩阵，U 和 V 是两个列正交矩阵（也就是说，它们的列向量两两正交且长度为1），∑是一个m×n的对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
具体来说，对于一个m×n的矩阵A，我们可以找到两个列正交矩阵U和V，以及一个对角矩阵∑，使得A=U∑V T 。其中，U的列向量组成了A的左奇异向量，V的列向量组成了A的右奇异向量，而∑的对角线上的元素则表示A在这些奇异向量方向上的奇异值。
举个常见的例子——假设你正在学习一门课程，考试之后你得到了若干个分数作为成绩。这些分数可以被表示为一个向量（也就是一列数值）。现在假设你要分析所有同学的成绩，你需要把这些向量放到一个矩阵中。这个矩阵的行表示不同的学生，列表示不同的考试题目。
但是你发现这个矩阵非常大，而且很多的数据都是冗余的或者无用的。例如，某些学生可能从来没有考过某个题目，某些题目可能没有任何学生答对，等等。此时，你希望找到一种方法，压缩这个矩阵并提取出最重要的信息。
这时候，奇异值分解就可以派上用场了。它可以将一个很大的矩阵分解成三个部分的乘积，其中第一个矩阵U包含最重要的行信息，第二个矩阵∑包含每个行向量的重要程度，而第三个矩阵V则包含最重要的列信息，就像图2-17所示的这样。
图2-17 奇异值分解，就像把全校学生的成绩单分解成U、∑、V三个矩阵
换句话说，通过奇异值分解，我们可以用更小的矩阵来表示原始矩阵，并从中提取出最重要的信息。这个过程就相当于对成绩进行降维，只保留最重要的因素，而忽略一些无用或冗余的信息。
类似的例子还有很多，比如在图片压缩中，我们可以用奇异值分解来找到图像的主要特征，从而把图像压缩成更小的尺寸。在音频处理中，我们也可以用奇异值分解来提取音频信号的主要特征，从而实现音频降噪、语音识别等功能。
为了帮助大家更好地理解奇异值分解的概念，请大家在ChatGPT的帮助下，录制一个长度约为2分钟的短视频，介绍什么是奇异值分解。
可以参考的ChatGPT提示词如下。
“请简要介绍什么是奇异值分解。”
“请结合生活中的例子，介绍奇异值分解的概念。”
“假设你是一位大学老师，请用轻松易懂的语言向学生讲解奇异值分解。”
为了让大家可以用代码的形式学习奇异值分解，接下来大家可以让ChatGPT生成代码演示，并在Colab新建一个Notebook文件运行这些代码。
要让ChatGPT生成代码，可以参考的提示词如下。
“请用Python演示奇异值分解，需要可视化。”
“用Python可视化的方法演示奇异值分解。”