5.1 t分布

t分布是一种非常重要的小样本分布，我们以图5.1为例来介绍t分布是如何形成的。

（1）图中A代表一个正态分布的总体，C代表该总体的正态分布，E代表Z代换，G为代换后的标准正态分布。这条线路相信大家都能看懂，我们前面已经讲过正态分布和标准正态分布。

（2）图中B为从总体A中随机抽出的样本量为n的样本，并得到其样本均数。然后假设通过计算机在总体A中反复抽取m次（足够大）样本量为n的样本，得到m个样本均数，那么m个样本均数将会构成一个新的正态分布总体，即图中的D。该分布也有自己的均数和标准差，因为其分布构成是以样本均数为单位的，而不是原始的检测值x，因此其均数和标准差表达为（ ），那么理论上，该分布通过图中F的Z代换，也可以变成G标准正态分布。

（3）上述线路实际走不通，因为图D是假设通过从总体中若干次反复抽样，获得（ ），而在我们实际科研中，只抽一次样，获得一个样本均数和标准差。因此我们无法拿到样本均数的总体标准差（ ），于是我们就采用了样本均数的标准差（ ）进行了替代，采用图中F的公式进行变换。标准正态分布是条件非常苛刻的分布，差之毫厘，谬以千里，因为 和 存在本质的不同，因此该变换并没有变成标准正态分布，而变成一种以y轴为对称中心的尾巴翘得高高的分布（t分布），即图中的H。这种替代后的变换，被称为t代换，代换后的分布就是t分布。

（4）t分布的面积分布也有自己的规律，但不像标准正态分布，比如标准正态分布的中间95%曲线下面积对应的Z界值在±1.96之间。因为t分布的分布形态是在变化的，所以其中间95%曲线下面积对应的x轴上的t值是变动的，但是可以用一个相同的符号表达t _{（0.05/2，v）} ，其中0.05/2是指双侧尾部面积为0.05，即中间95%，v为自由度，其值为抽样的样本量n - 1。

（5）t分布形状是由其自由度决定的，当我们抽样的样本量越来越大时，t分布的形状越来越接近于Z分布（标准正态分布），统计学上的研究发现，当我们抽样的样本量>50时，t分布的形态基本和标准正态分布重合。因此当我们研究的样本量>50时，我们就通过图中I，近似地认为此时t分布就等同于Z分布，然后利用Z分布的面积分布规律进行统计研究。