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正态分布，又名高斯分布，既是概率论中最重要的一种分布，又是最常见的连续性随机变量的概率分布，更是自然界中最常见的一种分布。正态分布的概念是由法国裔英国籍的数学家和天文学家 Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家高斯（Gauss）率先将其应用于天文学研究，对后世的影响极大，所以使正态分布同时有了“高斯分布”的名称。在德国面额为10马克的纸币上，就印有高斯人像与正态分布的图案。
如前面所言，数值变量数据的分布形态多呈现正态分布。正态分布曲线呈现独特的钟形特征，即两头低、中间高，且左右对称，因其曲线呈钟形，人们又称之为钟形曲线。我们高中的数学课中介绍的很多曲线都能够用方程来表示，如抛物线方程等。采用方程表示后，其规律就可以运用方程进行演示和推算了。我们现在学习的正态分布是否也能用一个方程来表示呢？答案是肯定的。正态分布的方程就是正态分布的概率密度函数，见式3.8。
公式较为复杂，大家不必记忆，能够看明白即可。这个公式决定了一个正态分布的形状，公式中包含两个未知的参数，总体均数（μ）和总体标准差（σ），而这点恰恰和我们前面所学的知识相呼应，即正态分布形态特征包括集中趋势和离散趋势。正态分布示意图如图3.4所示。
图3.4 正态分布示意图
正态分布曲线有以下规律。
（1）正态分布曲线以均数为对称中心，均数处曲线最高。
（2）μ为位置参数，在总体标准差（σ）相同的情况下，μ越大，分布越往x轴右移，如图3.5所示。
（3）σ为变异参数，在总体均数（μ）相同的情况下，σ越大，分布曲线越“矮胖”，σ越小，分布曲线越“瘦高”，如图3.6所示。
图3.5 不同位置参数的正态分布
图3.6 不同变异参数的正态分布
（4）正态分布曲线下面积分布规律如下。
正态分布的方程为概率密度函数，概率取值范围为0～1，因此整个曲线下面积为1（100%）。统计学的前身就是概率论，我们用概率去判断事件发生的可能性大小，正态分布图与概率相结合，让我们可以对事件的概率进行可视化，如图3.7、图3.8和图3.9所示。
图3.7 正态分布曲线中间95%面积分布规律
图3.8 正态分布曲线中间99%面积分布规律
图3.9 正态分布曲线中间90%面积分布规律
上述面积分布规律是用总体参数进行描述的，针对正态分布的样本数据，只要更换对应的统计量，规律同样适用，如表3.1所示。
表3.1 正态分布曲线下面积分布规律
下面我们用一个案例来演绎正态分布是如何与概率结合，用于判断某事件的规律及其发生概率的。
案例分享
某班级有120人，测量所有学生后，平均身高
= 168cm，标准差s = 5.0cm，请利用正态分布规律，回答如下问题。
（1）该班所有学生中，中间95%同学的身高范围是多少？
（2）该班所有学生中，中间99%同学的身高范围是多少？
（3）该班所有学生中，最高的5%同学的身高高于多少？
（4）在该班级中，随机抽取一名同学，能够抽到身高大于178cm的同学吗？
按照正态分布规律，回答如下。
（1）中间95%同学的身高范围 =
± 1.96s = 168 ± 1.96 × 5 = [158.2，177.8]cm。
（2）中间99%同学的身高范围 =
± 2.58s = 168 ± 2.58 × 5 = [155.1，180.9]cm。
（3）最高的5%同学的身高高于：
+ 1.64s = 168 + 1.64 × 5 = 176.2cm。
（4）因为最高的5%同学的身高≥176.2cm，即身高≥176.2cm是小概率事件，P ≤ 0.05，而178 >176.2，因此，随机抽取一次，抽到身高大于178cm同学的概率P ≤ 0.05，是小概率事件，因此不可能抽到。
貌似我们已经可以利用正态分布去解决概率分布的问题了，但是我们只能利用中间95%、99%、90%这些已知的特殊界值规律。无法知道正态分布x轴上任意一个界值对应的面积规律。因为正态分布有两个参数（μ）和（σ），在两个方程中，只要两个参数中的任何一个不一样，就是一个不同的正态分布，所以正态分布的个数是无穷无尽的。面对无穷无尽的正态分布去阐明其个性化的规律，是不可能完成的任务，如果可以化繁为简，化无限为唯一，那么这个问题就会变得简单很多。而统计学中确实有这么一个过程，即正态分布的标准化。
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”正态分布无穷尽，正态分布的“众生相”如图3.10所示。
图3.10 正态分布的“众生相”
虽然正态分布无穷尽，其实两不同，即在x轴上的位置不同（位置参数不同）和离散趋势不同（变异参数不同）。如果能够将这两个参数的不同消除，那么所有的正态分布都将变成一样的分布，“万宗归一”。因为所有的正态分布都变成了一个分布，所以这个分布被叫作“标准正态分布”。那么正态分布是如何实现正态变换的呢？其实只要经过简单的两步就可以，下面我们来推演一下。
1．向中心看齐
为了能够看清楚，我们仅画出三个位置参数不同的正态分布，如图3.11所示。现在我们让它们在同一个位置上。
如何做呢？很简单，只要让分布曲线对应的第一个x减去μ即可。这个和我们高中所学的几何图形平移道理是一样的。例如，某正态分布μ = 4，那么将该分布曲线对应的所有x减去4之后的分布，其变换后μ就等于0，且以y轴为对称轴；某分布μ = -3，则x - （-3） = x + 3，变换后分布的μ也等于0。图3.11变换后就如图3.12所示。
图3.11 三个位置参数不同的正态分布
图3.12 x - μ后的正态分布
2．变成相同的体型
经过第一步变换后，正态分布就像“千手观音”一样集中在y轴，但是因为变异参数的不同，还是有着不一样的外形。变异性的不同是由标准差决定的，因此采用所有（x - μ）后的数据，去除以标准差（σ），见式3.9。
（x - μ）只是平移图形位置，而不会改变图形的形状。如果该组数据的σ = 5，平移后，（x - μ）除以5，那么得到的分布的标准差 = 5/5 = 1。不管原来的正态分布的标准差σ等于多少，平移后除以该标准差，将会得到标准差为1。集中位置μ = 0的分布，我们用N（0，1）表示，即这个分布是以0为均数，以1为标准差的正态分布。因为所有正态分布经过变换后都可以变成N（0，1）的一个分布，所以我们称这种分布为“标准正态分布”，称这种变换为标准正态变换。标准正态分布示意图如图3.13所示。
图3.13 标准正态分布示意图
标准正态分布也是正态分布，也具备正态分布曲线的面积分布规律。因为其均数和标准差分别为0和1，所以面积规律更加简单，如表3.2所示。
表3.2 正态分布曲线与标准正态分布曲线下面积分布规律
在标准正态变换公式中，x为正态分布总体或样本中的某个研究对象的测量值，而Z是标准正态分布在x轴上的坐标值。也就是说，我们检测的每一个测量值，经过标准正态变换后，都可以在x轴上找到对应的Z值。因为标准正态分布只有1个，统计学家已经把所有Z值对应的曲线左侧的面积计算出来了，称之为标准正态分布面积规律表，标准正态分布面积规律表（部分）如图3.14所示。查表法现在已经基本不用了，只在统计理论学习时用于讲解，现在统计软件可以直接给出对应的概率值。
基于正态分布的规律，我们只要在一个正态分布样本中拿到任意一个检测值，就能够得到它在标准正态分布曲线上的Z值，通过专家建立的面积分布规律表，就能够知道其所处的位置。例如，在前面的案例分享中，想知道身高为158cm的学生在班级中的位置分布，则可以得到式3.10。
通过查表可知，Z = -2.0对应的曲线下左侧尾部面积为0.0228，即该同学的身高在班级居于2.28%的位置，如图3.15所示。
图3.14 标准正态分布面积规律表（部分）
图3.15 身高158cm的学生对应标准正态分布曲线位置
正态分布是大自然给我们人类的馈赠，很多自然或社会现象均符合正态分布，因此，我们可以利用正态分布的规律去研究这些现象。尽管正态分布是无穷无尽的，却可以通过标准正态变换，转换为唯一的标准正态分布，其以y轴为对称轴，以1为标准差。