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当我们对一个陌生事物进行认知时，首先会关注其外在形态，随后深入探索其属性特征。就像购买这本书时，看到作者是“松哥”，我们可能会好奇他的背景信息，首先会想：“这位作者是怎样的一个人呢？”然后进一步去了解他的年龄、身高、体型和职业等属性。同样地，当我们初次接触数值变量时，也会好奇它的“长相”是怎样的。
“松哥”告诉大家，对于绝大多数的数值变量数据，它们常常呈现图3.1所示的单峰分布形态。这种分布形态是在自然和没有人为刻意干预的情况下，数据所展现的自然分布状态。该种数据自然的分布形态，我们称之为规律。
图3.1 数值变量数据分布的常见形态
上面三种分布类型分别为正偏态分布（A）、对称分布（B）和负偏态分布（C）。在对称分布中，当对称性和峰度较好时，它就是我们熟知的“正态分布”。以对称分布为例，其形态酷似一个沙堆，沙堆越往中间沙子越多，到中间顶部时沙子最多。这种越靠近中间频数越多的趋势就是统计学中描述的集中趋势（central tendency）。如果我们让一捧沙从沙堆中间慢慢流淌而下，会发生什么现象呢？除了沙堆顶部会轻微增高一点（因为集中趋势），绝大部分的沙子会顺着沙堆四周滑落。我们并没有让沙子滑落，而沙子自然而然地四散而去，这也是一种趋势，叫离散趋势（dispersion tendency）。
正如一句哲语：“任何事物都具备两面性。”这就像太极的“阴和阳”、人类的“男和女”，数值变量数据也具有集中和离散两个属性。因此，在了解了其外形之后，我们从集中和离散两个角度来研究其属性，可以说是“其貌如钟，一中一离”。
1．算数均数
算数均数（mean），即均数，用来描述一组数据在数量上的平均水平，总体均数（μ）和样本均数（
）用不同符号表示。适用范围为对称分布，特别是正态分布数据。其计算就是一个样本所有变量值相加除以样本量，见式3.1。
2．中位数（median，M）
将一组数据按照从小到大的顺序排列，位置居中的那个数，就是中位数。例如，“6、8、5、9、3”的中位数就是6。只要是能够按大小排序的数据均可以计算中位数，所以中位数为计算集中趋势的“万金油”，但中位数没有利用原始数据的信息，因此代表性没有均数好。
例如，姚明是你们班的同学，现在要计算班级身高数据的中位数，请问是否需要姚明具体的身高值呢？答案是不需要，因为姚明在你们班是最高的，只要对班级现有同学按照身高排序，在最后面排上姚明，就可以找到中位数。
和均数相比，中位数往往不会因为个别值的变化而导致较大的变化，但只有在样本量较为充足时结果才稳定。在科研过程中，一组数据符合对称分布时尽量用均数，符合偏态分布时才考虑用中位数。在试验过程中，两组数据（试验组和对照组），一组符合正态分布，一组不符合正态分布，在同一张统计表中，该怎么描述呢？为了保持一致，均选择中位数和四分位数间距，四分位数间距在后面涉及离散趋势内容时会讲解。
3．几何均数（geometric mean，G）
当我们的数值变量数据是等比资料时，我们还可以用几何均数计算其集中趋势。等比资料分布如图3.1（A）所示，常见的有抗体滴度、药物效价、菌落计数和疾病潜伏期等。以抗体滴度为例，常见数据为1:20、1:40、1:80和1:160等，这类数据特征为数据取值呈现倍数关系，而不像身高类数据，是连续性一点点递增。
几何均数是所有x相乘，然后开n次方（n为这组数据的个数），见式3.2，计算较为复杂，一般是通过软件来计算。G是针对正偏态资料集中趋势的描述。适用范围是对数正态分布资料或等比资料。注意，计算几何均数时变量值不可以为0，也不可以同时出现正负值，因为根号下不可以为0和负数。如果全部是负数是可以的，因为可以将所有负号去除后再计算几何均数，计算后再把负号加上即可。
4．众数（mode）
众数是指一组数据中，出现频次最多的那个数，如“1、3、3、3、5、7”，其中“3”出现次数最多，因此众数为3。需要注意，众数不仅仅针对数值变量，等级变量和分类变量也是可以计算众数的。
有集中就有离散，前面谈了数值变量数据集中趋势的描述指标，同样其离散趋势也有特定的指标加以描述。
1．极差（range，R）
既然离散反映的是数据的分散性，那么可以用一组数据中的最大值减去最小值，得到数据分布的最大区间，这个指标就是极差，又称为全距。
极差这个指标非常容易理解，但因为最大值和最小值往往是由试验误差导致的，因此，极差很不稳定，使用时需要加以甄别。
2．四分位数间距（quartile，Q）
既然极差指标的缺点是由最大值和最小值不稳定导致的，那么能否消除其影响呢？人们将数据平均分为四等份，用上四分位数Q U （P 75 ）与下四分位数Q L （P 25 ）之差，来反映离散趋势，这就是四分位数间距指标。极差与四分位数间距示意图，如图3.2所示。
图3.2 极差与四分位数间距示意图
百分位数（percentile，P x ）是指一组数据从小到大排序，位次居于第百分之多少位的数，如某班同学有100人，按照身高从矮到高排序，小强身高176cm，站在第80个，则该班身高数据的P 80 为176cm。P 50 （中位数）、P 25 、P 75 均属于百分位数。
大家注意，百分位数既可以计算集中趋势（如P 50 ），也可以用于计算离散趋势（如四分位数间距）。
四分位数间距（Q）很容易理解，比极差要稳定得多，但是也有缺点，即在一组数据中，不管样本量多大，仅用到两个值P 75 和P 25 来反映整组数据的离散趋势，可能会出现以点概面、以偏概全的错误。如果引入一个指标，可以把每个数据的离散趋势算出来并求和，那么这个指标就完美了。
3．方差（σ 2 ）
鉴于上述情况，人们设计了离均差和，见式3.3。我们发现离均差和永远等于0，我们计算指标是用于比较的，但是任何一组数据的离均差和均为0，则无法比较。为什么为0呢？因为会出现正负抵消的情况。例如，数据“1、2、3”，它们的离均差分别为-1、0和+1，所以离均差和就等于0了。
继续改进公式。如果让原始数据的离均差取平方后再求和，就可以消除正负抵消的影响。于是就有了离均差平方和（sum of squares of deviation from mean，SS），见式3.4。
此时貌似已经完美了，可是如果一组数据的样本量100人，另一组数据的样本量20人，要计算离均差平方和，人多的数据离散性肯定大，样本量的影响不容忽视。为了更好地比较不同样本量数据集的离散性，我们可以让SS除以各自的样本量n，见式3.5，于是就得到了总体方差这个指标。
4．标准差（σ）
方差这个指标考虑了每个数据的离散趋势，消除了负号及样本量的影响，然而，因为采用了平方去除负号，导致离散趋势被夸大。有些人可能会认为，既然所有数据都进行了平方处理，那么放大效应对所有数据都是一致的，实际上并非如此。因为每个数据点与均值之差的平方值是不同的，这导致了真实的数据关系被扭曲了。
例如，小明的零花钱每月有20元，小强的零花钱每月有30元，小强的零花钱每月比小明多10元；如果都进行平方处理，小明的零花钱是400元，小强的零花钱是900元，小强的零花钱比小明多了500元，这完全扭曲了两人真实的零花钱差距。你肯定会问，那我们怎么办呢？很简单，再开方，让平方变成一个“过场”，作用就是消除负号，于是得到了总体标准差，见式3.6。
前面涉及的极差、四分位数间距、离均差平方和及方差等，没有哪个指标堪比标准差，既然给予其标准差的名称，说明其是一个非常完美的指标。为什么只要符合对称分布，都用样本标准差（s）来描述其离散趋势呢？你是否记得，在很多文章的统计表中都有x ± s的表示方法呢？原因就在这里。
重申一下，总体标准差用σ表示，样本标准差用s表示，样本标准差计算时分母取（n - 1）用来校正。标准差用于对称或正态分布数据离散趋势的描述。
5．变异系数（Coefficient of Variation，CV）
需要注意的是，当遇到度量衡单位不一样的数据，以及单位一样但均数相差较大的数据时，离散趋势比较不可以用标准差。
例如，某班级身高数据均值为160.0cm，标准差为5.0cm，体重数据均值为50kg，标准差为4.0kg，请问身高和体重数据哪个离散性大呢？此时单位分别是cm和kg，是没法比较的。
可是不管单位如何，离散趋势是存在的，正如抓一把沙子撒地上，再抓一把花生撒地上，沙子和花生是不同的物品，可是它们落地上，离散趋势都是有的，我们比的就是离散趋势。但是单位不同怎么办呢？
思考一下，我们把蚂蚁比喻为大力士，因为蚂蚁可以举起一粒大米的重量，我们成年人可以举起50千克的大米，为什么不说人类是大力士呢？美国昆虫学家研究发现，蚂蚁可以举起自身体重400倍的重量，而人类及其他动物都望尘莫及，所以不能只看举多重，还要看自身有多重。
因此，当度量衡单位不一致，进行数据离散趋势比较时，我们用各自的离散趋势标准差除以各自的均数，这样不仅可以消除度量衡单位不一致的影响，还可以得到相对于其自身而言，离散趋势所占的比例，从而实现可比，这就是变异系数，见式3.7。
对于上述数据，很明显身高变异系数5/160小于4/50，因此身高的变异程度（离散趋势）小于体重。
对于数值变量而言，不谈集中趋势，直接谈离散趋势是没有意义的。离散趋势本身就是为了说明集中趋势的代表程度而存在的。就像太阳照射下的某个物体，只有先有太阳照射到的阳面，才有其背后的阴面，所以阴面是依附阳面而生的，离散趋势也是依附集中趋势而生的指标。