1.4 力学定律

有一个凄美的传说。

一位已逾知天命之年的老头在路边邂逅了18岁的公主，因为老头才华横溢，被国王选中做公主的数学老师。时间久了，公主和老头产生了不伦之恋。国王知道后，一气之下将老头放逐，并禁止他们之间的任何交流。流离失所的老头身染沉疴，给公主寄去的十二封信如石沉大海，写完第十三封信就气绝身亡了。信中只有一个简单的数学公式：r=1−cos θ，国王看不懂，将全国的数学家请来，但无人能解开谜团。于是国王很放心，将这封信给了闷闷不乐的公主。公主收到信，立刻明白了恋人的意思。她用老头教给她的“坐标系”将这个方程画了出来——是一个心形图（图1.19）。

故事中的老头叫笛卡尔（1596—1650），出生于法国，是一位伟大的哲学家、数学家、物理学家，但是他有一点不好——身体不好。因此，上学后，老师们心疼笛卡尔，允许他在床上多躺一会，不必做早操。躺在床上的笛卡尔没有休息，他的脑海里总是翻腾着奇思怪想，久而久之成了一种习惯。据说坐标系就是他躺在床上想出来的。

从古埃及开始，东方智慧与西方智慧在战争后的一次次融合让人类在代数和几何上都取得了很大的成功，但在笛卡尔之前，它们仍是两门相对比较独立的学科。几何直观形象，代数精确抽象。能否把几何图形和代数结合起来，让代数中的每个数在几何上都有意义，同时也让几何中的形与代数中的数一一对应，是当时很多数学家们思考的问题。

据说有天笛卡尔躺在床上，突然看到角落里有只蜘蛛正在结网[图1.20（a）]，一下子醍醐灌顶。他想如果把蜘蛛看成一个点，而把墙角看成三个数轴，那么空间上的蜘蛛就可以用这三个数轴的坐标确定下来[图1.20（b）]；反之，如果确定了一个坐标，那么就可以确定这个点的位置。这就是最初的笛卡尔坐标系。通常情况下，建立二维坐标系足以满足平面分析需求[图1.20（c）]。

蜘蛛是活的，当蜘蛛网上落了一只苍蝇时，蜘蛛会从中心A点跑到苍蝇所在的B点处，饕餮一餐后又返回A点。尽管都是在AB之间活动，但是意义却不同，该如何在坐标系中表达呢？很简单，画个带箭头的线段就行了，记为 。线段长度表示大小，箭头表示方向，所以称之为“向量”。箭者，矢也，故而向量又称为“矢量”。根据伽利略的运动相对性原理，速度自然有大小、有方向，故而速度也是矢量。

对于一个矢量而言，它会遵守平行四边形法则。通常我们将矢量分解到两个垂直的坐标轴上，但有时也会分解到任意方向[图1.21（a）]。分解后的矢量称为“分量”。矢量的分解就像光照射后留下的影子[图1.21（b）]，因此也称为“投影”。

从古希腊开始，人们认为物体运动有两种最基本的方式：直线运动和圆周运动。我们可以通过以下实验来诠释。如图1.22所示，一个刚性小球被绳子拴住，在光滑的水平面上绕圆心旋转。很显然，小球的运动是圆周运动。如果剪断绳子，小球会沿着圆周的切线方向飞走——这是惯性导致的必然结果。

由此可见，圆周运动时的小球的速度方向始终与绳子垂直——方向不断改变，所以小球的运动并非匀速，不变的仅仅是速率而已。再根据惯性理论，速度改变就需要有外力作用，小球所受的外力来自绳子的牵引，称为“向心力”。换句话说，正是绳子提供了向心力，小球才会做圆周运动。既然圆周运动需要力的作用，那就不存在所谓的圆惯性。这也说明圆周运动并不是完美的，更不是匀速直线运动的归宿。根据这个实验，笛卡尔将惯性的表述修改为：物体总是保持静止或匀速直线运动，直到外力改变它。

仔细分析一下，小球的运动与天体运动非常相似——都是绕着某个点做圆周或椭圆运动，那么天体是否也受了某种“天上的力”的作用呢？答案是肯定的，不过我们不急于解释“天上的力”，“地上的力”仍有很多难题需要解决。惯性思想认为力能改变物体运动，但并没有解释如何改变。解决这一问题的是牛顿——史上伟大的物理学家。

牛顿出生于1642年的圣诞节 ，是一个早产儿。他出生时只有大约1.35kg——连正常人的一半都不到。在所有人看来，这个孩子夭折不过是早晚的事，然而牛顿却坚强地活了下来，并且坚强地活到了84岁。

母亲再婚后，幼年的牛顿便和他的外婆一起生活。即便到了少年时期，也看不出牛顿有什么特别之处。他成绩平平，只是动手能力很强，时常做一些小物件，比如著名的“牛顿的风车”。19岁的牛顿告别家乡，前往剑桥大学深造。在大学4年里，他把一生想要干的事情都列在纸上，每一个都是当时最复杂的难题。1664年牛顿毕业，正当他想大显身手时，欧洲暴发了黑死病。牛顿只得回乡躲避瘟疫，成了无职待业的闲杂人等。赋闲在家的牛顿并没有闲着，他的大脑就像浩瀚的星空，灵感就像划过天际的流星，在转瞬即逝间便可将整个星空点燃。1665年5月，划过他大脑的那颗流星叫作“流数术”，也就是现在所说的微积分。

微积分

微积分的思想古来有之，最早可追溯到圆面积的计算。由于弧度的存在，圆面积难以计算，将其割成小块的正多边形就好算多了。三国时期，数学家刘徽（约225—约295）发明了非常精妙的算法——割圆术。

如图1.23所示，圆内接一个正6×2 n 边形。当n = 0时，正六边形的面积与圆面积误差较大（阴影部分）；当n = 1时，面积误差就小了很多；当n不断增大时，圆面积与正多边形面积之间的差值就越小；当n趋向无穷大时（记为∞），二者面积相等。割圆术体现的正是微分思想。根据割圆术，刘徽推算了圆面积公式：S = π r 2 。

上式中π为圆周率，即圆周与直径的比，它是一个常数。要想求得圆的面积，必须先求出π值。古代中国人很早就注意到π值的重要性，《周髀算经》 中就有“径一周三”的说法，即圆周率等于3。刘徽通过计算n = 5（正192边形）时的圆周率，得出圆周率约为3.14。后人在割圆术的基础上不断地得出更精确的圆周率，南北朝时期的祖冲之（429—500）精确计算了n = 12（正24576边形）时的圆周率，即我们常说的“圆周率在3.1415926到3.1415927之间”，这个精确值直到900年后才被西方改写。

祖冲之的儿子祖暅 （456—536）也是一位数学家。他曾推导球体积公式，提出“幂势既同，则积不容异”的原理，后人称为“祖暅原理”。幂者，面积也；势者，高度也；积者，体积也。也就是说，两个同高的物体，如果等高处的面积相等，那么体积相同。简单点说，水平方向上一刀横切——无论在哪切，如果切出来的两个面积是相等的（图1.24），那么两个体积也是相等的。也许你感到疑惑，面积与体积是两个不同的物理量，怎么会产生相同的结果呢？其实这与“将一条线段看成由无数个点组成”的道理是一样的，体积也可以看成由无数个面组成。

祖暅原理体现的正是积分思想。简单点说，点没有长度，线可以看成由无数个点组成；线没有宽度，面可以看成由无数条线组成；面没有高度，体可以看成由无数个面组成。祖暅根据这一原理推导出球体积公式，再推导出球面积公式：S = 4πr 2 。

古希腊人同样对圆周率的计算有深入的研究。阿基米德（公元前287—公元前212）利用圆内接正多边形（与割圆术相同）和圆外切正多边形两种不同的方法测算了π的数值，还推算了圆面积、球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积等公式。阿基米德的数学思想对人类产生了极其深远的影响，所以有学者认为假设有人要为历史上的数学家排个座次，如果前三名中没有阿基米德，那肯定是不科学的——另外两位是牛顿和高斯。

然而，微积分光有思想是远远不够的。到了牛顿时代，动力学在数学上遇到了非常大的困难。一个没有外力作用的物体，它的速度是均匀的；一个做自由落体运动的物体，它的加速度是均匀的，但物体的运动并不总是这两种简单的形式，遇到复杂的运动形式该如何处理呢？换句话说，如何从这两种简单的形式出发，推算出更适合复杂情形的数学模型呢？

设有一个物体，它的运动方程是s = t 2 ，s表示位移，t表示时间。把它画到s - t坐标轴上[图1.25（a）]，在曲线上任意取两点，对应有t 0 和t 1 、s 0 和s 1 ，则计算t 0 到t 1 时刻的平均速度为：

设Δt = t 1 - t 0 ，Δs = s 1 - s 0 ，令Δt 逐渐减小，则Δt 内的平均速度与t 0 （或t 1 ）的瞬时速度就越接近。根据微分思想，当Δt→0，此时Δs→0，而Δs / Δt就等于t 0 （或t 1 ）的瞬时速度。

以上是求得某个点的瞬时速度，但每个点都如此去求会让数学失去魅力。数学要做的是建立瞬时速度v与时间t之间的方程，这个方程正是s = t 2 的微分方程v = 2t[图1.25（b）]。这是一个匀加速运动，再对速度进行微分，可得加速度方程a = 2 [图1.25（c）]。

积分是微分的逆运算。我们用积分来求一个不规则形状的面积。设有方程y=f ( x)，它的曲线如图1.26所示。求x=x a 和x = x b ，f (x)与x轴所围成的面积。与割圆术很相似，当n = 5时，误差很大；当n = 10时，误差就小很多了；继续切割，当n→∞时，面积就求出来了。

与微分类似，如果每个不规则面积都这样去求，数学也就失去了意义。积分运算的关键在于找出积分方程，假设g(x)就是f (x)的积分方程，那么阴影部分的面积等于g(b) - g(a)。

用方程v = 2t来验证一下，它的积分方程为s = t 2 ，阴影部分的面积S = 2 2 - 1 2 = 3，与几何方法求得的结果一致（图1.27）。

也许你会问，这种计算方式合规矩吗？我们刚学习除法时，第一要义便是除数不能为0，然而微分中Δt→0，Δs同样也会趋于0，难道0÷0还有意义吗？同样，在运用积分求面积时，无论怎么切割，只要n是一个确定值，计算出来的面积永远都是近似值，而不是真实值。

这个疑问归根到底是无穷大（∞）引起的，古希腊人称之为“无穷大量”，其倒数就是“无穷小量”。无穷大的概念大约起源于公元前1200年的古印度，最初并非用于数学，而是用于哲学或神学。当古希腊人将其应用到数学时，质疑就出现了。

芝诺（约公元前490—公元前430）是古希腊的哲学家，他认为物体运动的速度（瞬时速度）是不存在的。为了证明这点，他提出了不少运动悖论，最为有名的是阿喀琉斯 追乌龟。

乌龟在前面跑，阿喀琉斯在后面追（图1.28）。阿喀琉斯的速度比乌龟快很多，很显然，如果阿喀琉斯不在路旁边睡觉，他将在某个时间点追上乌龟，记为t 追 。然而，芝诺认为阿喀琉斯永远也追不上乌龟，如果这样计算，则有下面的结果。

第0次计算：乌龟在位置0，阿喀琉斯在后。

第1次计算：当阿喀琉斯跑到了位置0时，乌龟跑到了位置1，乌龟还在前。

……

第n次计算：当阿喀琉斯跑到乌龟的上一个位置n - 1时，乌龟跑到了位置n，乌龟仍然在前。

由于n可以无限增加，所以阿喀琉斯永远也追不上乌龟——无穷大量出现了危机。

无穷小量遇到同样的问题，当Δt→0时，则Δs→0，它们的比值就是瞬时速度。瞬时速度到底存不存在？Δt是不是0？如果是0，则不存在瞬时速度；如果不是0，那瞬时的“瞬”到底是多久呢？实际上，这是一个哲学问题，很多科学家对此望而却步，但是物理学的发展必须依靠数学。在牛顿看来，数学是一种方法，而不是证据，要想往前就必须将瞬时速度与哲学脱钩，因此建立了流数术——牛顿称变化率为“流数”，也就是今天的微分。

这种可以“看成0，却又不是0”的问题受到当时许多很有名望的人的猜疑和指责，并引发了第二次数学危机，当时英国红衣大主教就提出一个悖论。设有一个算式：

如果改写成：

则Sum = 0；如果改写成：

则Sum = 1。到底Sum等于几呢？牛顿也没有答案。

第二次数学危机直到19世纪才算彻底解除。1851年，德国著名的数学家魏尔斯特拉斯（1815—1897）给出了“极限”的数学定义，微积分也从边应用边怀疑走向了严格表达的一种数学方法。利用极限，我们来解释一下前文中的一些悖论。对于一个无穷小量而言，比0大，却永远小于任何给定的数值，也就不存在0÷0的问题了。在阿喀琉斯追乌龟的悖论中，芝诺说的“永远”根本就没有多远，只是以t 追 这个时间点为极限而已，即t - t 追 →0。而红衣大主教的悖论并不存在，尽管Sum的最终取值取决于n的实际值，但这个算式不是收敛的，并不能证明微积分是错误的。

根据牛顿的手稿来看，牛顿大约于1665年5月就发明了微积分，但没有发表出来。从1672年到1686年，德国数学家莱布尼茨（1646—1716）发表了好几篇关于几何曲线求解的论文，轰动了整个欧洲。牛顿听闻后，立刻站出来指责莱布尼茨，称他剽窃了自己的研究成果，而自己才是微积分的独家发明人，一时间众说纷纭，莫衷一是。究其原因，可能与莱布尼茨在发明微积分之前去了一趟英国有关。据说莱布尼茨本想拜访牛顿，但当时的牛顿不愿意与外界接触，莱布尼茨只从牛顿助手那里看到了一些手稿，不过这些手稿中是否包含微积分，现在已成了无头公案。总之，牛顿发明微积分是无可争议的，而莱布尼茨是第一个发表微积分的。按照现在的游戏规则，发明权无疑当属莱布尼茨。

原理上，两人差不多，但牛顿的出发点是运动力学，而莱布尼茨的出发点是几何计算。除此之外，两人使用的符号也不一样。我们依然以图1.27为例，牛顿用 表示流数（微分），用 示反流数（积分），很难看出二者与时间t的关系。相比牛顿，莱布尼茨更注重数学符号的表达形式，他用dt代替Δt，ds代替Δs，则 用∫表示积分，则s=∫vdt。这种表达形式为二阶微分提供了便利： 因此，今天的数学依然采用莱布尼茨所创立的符号。

实际上，微积分的出现并非偶然，当时欧洲很多数学家离发明微积分只差半个身位，比如牛顿的老师巴罗很早就敏锐地感觉到积分是微分的逆运算，但他并不了解其背后的物理含义，从而将这半个身位让与了牛顿。山雨欲来，哪片云彩都有可能下雨，因此莱布尼茨独立发明微积分是完全有可能的。退一步说，就算莱布尼茨“借鉴”了牛顿的微积分，也不能忽略他对微积分所作的贡献。

随着牛顿的名望越来越高，英国人纷纷卷入这场没有硝烟的战争。他们本能地站在牛顿的一边，对莱布尼茨口诛笔伐，甚至写文章辱骂——后来证实这些文章大多数都是牛顿亲手写的，只是托他人发表而已。然而，争论不是靠人头取胜的打群架，所以英国人也没能把莱布尼茨怎么样，反而招致欧洲大陆——特别是德国人的不满，最终“杀敌八百，自损一千”地排斥欧洲大陆的科学发展，闭门造车了一把……这些都是很多年后的事情，而此时——公元1665年，力学的故事仍在继续。

牛顿建立流数术的出发点是运动力学，建立之后提出了力学三大定律。

力学第一定律：一切物体在没有受到外力作用时，总保持匀速直线运动或静止状态。又称为“惯性定律”。

奇怪！这条定律不是伽利略提出来的吗？最多加上笛卡尔，与牛顿有什么关系呢？实际上，伽利略和笛卡尔都没有很好地回答一个问题：什么是力？是屁股被胖揍后留下的“疼”，还是手掌上留下的“红”呢？谁也说不清，科学家们还欠“力”一个定义。

自古以来，基本物理量的定义一直很令人头疼，比如最基本的物理量——质量，它就像生活中一个烂熟的字，提起笔后却忘记第一笔从哪下手。伽利略对质量的概念就很含糊不清，以至于在《对话》和《新对话》中，经常将质量与重量混淆。第一次提出质量概念的是哲学家培根（1561—1626），他将质量定义为：“物体所含物质之量”。但这个表述存在很大问题，因为“物质”一词也是含糊不清的。牛顿无疑借鉴了前人的表述，认为质量等于密度与体积的乘积。但密度又是什么呢？密度是指定体积内质量的量度。这样一来，牛顿用密度定义了质量，而质量又需要用密度来定义——这是一个先有蛋还是先有鸡的问题。不过，牛顿并没有在这个问题上纠缠，直接给了质量的计算方式：与重量成正比。这是一个非常好的办法，对于那些无法用文字精确表达的物理量，用数学公式表达是最简洁不过的。

力该如何用数学公式表达？笛卡尔在研究物体运动时发现，物体的运动与其质量有关，因此提出一个新的物理量，它等于质量与速率的乘积，即p=mv——现代物理学中“动量”的雏形。几十年后，惠更斯根据小球碰撞实验，发现笛卡尔所提出的物理量会突然减小或增大，甚至凭空消失，换成现在的物理术语叫作“不守恒”。由于不守恒，笛卡尔的物理量受到莱布尼茨的极力反对。莱布尼茨认为描述物体最好的量是质量乘速率的平方，即E=mv 2 ——现代物理学中“动能”的雏形。他将这个物理量称为“活力”，将笛卡尔的物理量称为“死力”。活力与死力谁更有资格进入物理学，科学家们争论了百年之久。

牛顿发展了笛卡尔的“死力”，把速率改成了速度，称其为“运动的量”。速度是矢量，那么运动的量也就成了矢量，矢量遵守平行四边形法则，也就守恒了。

有了动量，定义力就方便了很多。假设一个质量为m的物体以速度v运动，在外力F的作用下，速度v发生改变，动量p也会发生改变，则：

又p=mv，可得：

力学第二定律：物体加速度的大小与作用力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与作用力的方向相同。又称为“加速度定律”。

力学第三定律：作用力和反作用力分别作用在两个物体上，它们的大小相等、方向相反，作用在同一直线上，且同时消失、同时存在，性质相同。又称为“作用力与反作用力定律”。

需要特别强调的是，作用力与反作用力不是一对平衡力[图1.29（a）]。平衡力指的是作用在同一个物体上的力，而作用力与反作用力指的是作用在不同物体上的力[图1.29（b）]。

古希腊人对作用力与反作用力的思考由来已久。亚里士多德在讨论物体运动时指出，动物走路时脚必须挨着地面，必须对地面施加力；与此同时，地面也会对动物施加力，这两个力是相等的。可以看出，这两个相等的力就是作用力与反作用力，但他没有创造新概念，而是用“相互作用”来表述。

通过以上表述，我们可以看出亚里士多德认为物体运动有两个必要条件，一是施加力——这与“力是维持物体运动的原因”的思想是一致的，二是相互作用的力必须相互接触，比如走路脚要接触地面，吹灯嘴要接触空气、空气要接触灯火。

能让物体运动的还有重力，在亚里士多德看来，重力是物质固有的属性，与其他的力不可同日而语。但是我们来做一个实验，就能发现亚里士多德的谬误。

如图1.30所示，空中有个小球，因为重力自由落体。等落到桌面上后，小球受桌面的支撑力而变得静止，小球对桌面的压力和桌面对小球的支撑力是一对作用力与反作用力，而小球的压力正是来自小球的重力，即压力与重力是相同的。

从上述实验可以看出，重力也是力 ，它并不比其他的力高一头。再延伸一点，地球上的物体有重力，太阳会不会产生“重力”呢？换句话说，地球绕日运动的力是否来源于太阳产生的某种“重力”呢？我们终于回到“什么是宇宙的第一动力”这个问题上来了。 3TgJXN87MhOBaQ4P/96R5k93nr5NyORKuxh8Pe1Nvk1gZyz0DRRbsDW0XspSs5Xo