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很多人都会用混乱和无序来形容我们的生活。事实上，混沌科学描述的是那些因行为不可预测而看上去无序和混乱的系统。然而，有趣的是，混沌科学最初是通过研究行星运动在这种大多数人眼中代表有序和可预测性的典范而发展起来的。我们理所当然地认为太阳会从东方升起，不仅明天是这样，在我们余生的每一天也都是这样。而且，由于我们可以精确地测算地球围绕太阳的运动以及月球围绕地球的运动，所以我们能够非常有把握地算出几天之后乃至我们一生中涨潮和发生日食的精确时间。
尽管如此，太阳系内各大行星未来的运动仍是不可预测的，因此充满了不确定性。
有序的故事始于科学复兴，也即标志着现代科学崛起的一系列事件。这场科学复兴以1543年哥白尼出版《天体运行论》为起点，牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》则为其终点。
牛顿在书中用著名的三大运动定律和万有引力定律，推导出了由德国天文学家开普勒发现的经验公式——行星环绕太阳运动的轨道是一个椭圆，而太阳处在这个椭圆的一个焦点上。 1 为了得出这个公式，牛顿忽略了现实中太阳系的复杂性，假设它只由两个受引力束缚的天体组成，即太阳和这颗行星。
牛顿给出的定律不存在任何随机或不确定的因素。只要知道一颗行星当下的位置和速度，以及将要作用在这颗行星上的力，你就可以计算出在未来任一时刻该行星的位置和速度。你可能还记得高中科学课堂上那些乏味的计算题：这就意味着，要在给定初始速度和仰角的情况下，计算出抛射物将飞出的确切距离。这就意味着，将牛顿定律应用于给定的一组初始条件，未来看上去似乎就是确定的。正因如此，牛顿定律据说是确定的。1814年，法国哲学家和数学家拉普拉斯在文章中提到一个假想的精灵，这个精灵可以利用牛顿决定论准确地预测未来。 2 拉普拉斯说：“假如一个智慧生物在某一时刻能够知晓所有推动自然世界运动的力量，以及自然世界中所有物体的位置，再假如这个智慧生物足够强大，能够对这些数据进行分析，那么它将可以用一个单一公式来描述宇宙中上至天体、下至原子的运动。对于这样的智慧生物来说，没有什么是不确定的，未来就像过去一样历历在目。”
这里提到的“单一公式”与牛顿定律相关。拉普拉斯正是自牛顿以来孜孜以求拓展椭圆轨道公式 3 的众多科学家之一，希望用新的公式来描述假想中有3个或更多受引力束缚的天体的太阳系的运行轨道，例如由太阳、地球和月球或太阳、地球、月球和木星构成的太阳系。使用者将具体的时间输入公式后，该公式将输出在这一时间点各行星的位置。
这个问题后来被称为 n 体引力问题。牛顿解决了二体问题（以太阳和地球为对象）。现在的挑战是找到 n =3或更大数值时的公式。拉普拉斯及与他同时代的科学家没能完成这个任务。发现这个公式成了众人追逐的目标，瑞典国王奥斯卡二世在庆祝自己的60岁生日时，下令要嘉奖任何能解决这个问题的人。
19世纪末，这个问题最终被法国总统雷蒙德·庞加莱的堂兄、物理学家和数学家亨利·庞加莱解决了。庞加莱提出的解决方案令科学界大为震惊。历史上的数学巨匠一直假设有这样一个公式存在，而庞加莱却证明了当 n =3或更大的数值时，这样的公式是不存在的。
“这样的公式不存在”是什么意思呢？借助计算机（当然，在庞加莱所处的时代不存在这种设备），我们通过求解牛顿方程，可以在屏幕上绘制出太阳系中3个天体的运行轨道，假设模拟的时限是100万年以上。原则上，人类或人工智能系统都可以建立一个比牛顿的椭圆轨道公式更复杂的数学公式来精确地描述上述天体的运行轨道。
然而，如果将计算机的模拟时间延长到200万年，我们会发现这个公式无法描述上述天体在第2个100万年的运动轨迹。人工智能系统或许还可以建立一个更为复杂的公式来描述3个天体在200万年内的运动轨迹。但如果将模拟的时间延长到300万年，新的公式将再次失效。事实上，无论我们构建出多么复杂的公式来描述这3个天体在任意给定的有限时间内的运动，只要延长运动的时间，该公式终将会失效。在随机的长时间段内，三体问题无法由一个单一公式解决。这就是庞加莱的发现。
由此可以推导出，3个天体的运动轨迹永不重复。因为如果它们能够重复，我们就能找到一个在随机的长时间段内都可以演算出3个天体运动轨迹的公式。我们因此称3个天体的轨迹具有非周期性。庞加莱意识到这意味着太阳系中的行星运动从本质上看是不可预测的——天气也具有这一特征。通过研究行星运动，庞加莱发现了一个现在被称之为“混沌”的现象。因为混沌的存在，拉普拉斯的精灵无法用一个公式来预见任意一个时间点的未来。
通过查看计算机演示的 n =4时行星的运行轨道快照（见图1-1），我们可以获得一些关于行星混沌的基本理解。 4 这个方法可以明确和生动地展示庞加莱通过数学分析所理解到的可能发生的现象。在有限的时间阶段里，4个天体的运行轨道看似是椭圆形的，而人工智能系统可能会基于这段时间内的数据得出结论，在这些近似椭圆的轨道上，天体的运动会无限地延续下去。然而，在几乎没有预警的情况下，这些天体将进入螺旋轨道，并飞向无限远！早期描述这4个天体运行轨道的近似椭圆轨道的简单公式在后期完全失效了。
图1-1 4个受引力束缚的行星的运行轨道
在相当长一段时间内，如图（c）所示，这些行星沿着近似椭圆的路径相互绕行。然而，突然之间，仿佛凭空出现一般，这些行星开始沿着螺旋路径飞向无限远处。
图1-1揭示了混沌系统的一个特征，这个特征也适用于天气系统、经济系统乃至许多其他系统。正如前文所描述的菲什时刻，系统一直看似是可预测的，但是突然间，它发生了难以预测的变化。
地球有没有可能以这种方式从太阳系中弹射出去？这种情况一旦发生，那么全球变暖、金融崩溃和本书中讨论的所有其他问题都将变得无足轻重。我们要如何及时发现这种情况呢？答案是在计算机上制作一个太阳系的模拟模型，运行它，以便了解未来的情况。
但是，计算机模型在预测这类事件时是可以相信的吗？也许，就像菲什对天气的预测那样，这个模型会告诉我们不用担心。也许，它的预测结果是模拟的地球将持续围绕太阳周期性地运行，而我们可能在5年后发现现实中的地球正在被弹射出太阳系。
要解决这一合理的顾虑，首先要了解预测行星未来轨道的最大的不确定性。就这个案例来说，最大的不确定性与行星的精确定位有关。为了解决这个问题，我们可以将这个模型运行数百次，将每一次行星的起始位置都设置得略有不同，以反映这种不确定性。这种方法又被称为集合预测，这个概念我将在本书中多次提及。
令人欣慰的是，普林斯顿大学的研究人员已经运行过一个类似的集合预测，集合中的每个模型都表明，在未来的几十亿年里地球不会被抛出太阳系。 5 因此，这一潜在危机的概率可以被确定为无限接近于0（但严格说来，不等于0）。唯一值得注意的危险是，其中约1%的模型预测，水星运行轨道的偏心率可能会进一步增大，甚至在数十亿年里有可能与金星相撞。
这是我们第一次应用集合预测方法。由此可知，地球被抛出太阳系的概率极低。然而，类似的集合预测也告诉我们，地球有一定的概率会被一颗足以摧毁像伦敦这样的大城市的小行星撞击。正因如此，有关人士才会竭尽全力监测这一类小行星带来的威胁。 6
庞加莱去世后，哈佛大学的数学家乔治·伯克霍夫（George Birkhoff）接手了相关工作，成为世界上研究引力 n 体问题的权威专家。20世纪30年代，伯克霍夫招收了一位天赋颇高的学生洛伦茨。洛伦茨之前在附近的一所新英格兰常春藤盟校学习数学，当时正准备开始攻读硕士学位。洛伦茨在伯克霍夫的指导下研究的数学课题并非引力 n 体问题，而是与黎曼几何这一领域有关。然而，伯克霍夫的一些思想似乎影响了年轻的洛伦茨，在20世纪60年代初，后者得出了在混沌理论乃至整个科学领域最重大的发现之一，即混沌理论中的分形几何。
洛伦茨原本计划成为一名数学家，但第二次世界大战的爆发打乱了他的计划。他不得不考虑如何更好地运用他的数学才能为战事服务。由于从小就对天气变化很感兴趣，他报名参加了一门针对气象学家的战时培训课程，并成为太平洋战场上的一名随军气象预报员。
战后，洛伦茨本有回到哈佛继续研究数学的机会。然而，战时工作重新点燃了他对天气现象的兴趣。于是他转换了研究领域，到麻省理工学院攻读博士学位，研究一些战后立即兴起的以物理学为基础的天气预测新模型。在完成了麻省理工学院的博士学位和加州大学的博士后学位后，1956年，洛伦茨在麻省理工学院获得了一个终身职位。他的工作包括带领一组研究人员，探究是否有可能预测一个月或更长时间之后的天气状况。
当时，人们对天气的预测能力仅限于一两天之内。那个时代的一些顶尖的统计学家向洛伦茨指出，长时段的天气预测从原理上讲是一个易于攻克的问题。假设有个人想预测一个月后的天气状况，他只需翻找气象档案，从中找出一幅看上去与当天的气象图相似的气象图，即所谓的模拟法。这里所谓的对下一个月的天气预测，仅仅是找出模拟气象图后一个月出现在档案中的气象图而已。
这种方法在实践中并不奏效。不过，统计学家辩称，这仅仅是因为档案库不够大，不能提供足够近似的模拟图。他们表示档案库得到扩充之后，研究人员就会发现模拟法开始奏效。但洛伦茨对此持怀疑态度。洛伦茨认为，要让模拟预测以这种方式工作，天气必须像电影《土拨鼠之日》（ Groundhog Day ）所呈现的那样具有周期性。洛伦茨凭借直觉认为，计算天气的方程不会支持这种周期性。实际上，他的预感也正是庞加莱用三体引力问题所证明的判断。
天气变化与行星运动有两个重要区别。其中之一是与仅有少量的行星和卫星的太阳系不同，大气层是一个湍流流体，含有数以万亿计的大大小小的涡旋。 7 如果就此询问当时大多数的气象专家，他们会像洛伦茨一样，对大气是否会重复出现同一种状态持怀疑态度。然而，这些专家会辩解说，大气的非周期性是因为它是一个非常复杂的多维系统，其中含有众多上至行星级别、下至分子规模的相互作用的涡旋。换句话说，一直以来，人们认为，大气层的复杂程度是其不可预测性的根源。在当时的专家看来，随着天气方程的不断简化，这些简化的方程将会给出具有周期性和可预测的天气变化。
洛伦茨想尝试用他攻读博士期间开发的、以计算机为工具的天气预测模型来验证他的直觉，即天气不可能反复出现同一种状态。然而，这些模型的复杂性衍生了一个实际的问题。研究人员可以将一个模型运行至100年后，并得出结论说它所模拟的天气没有出现重复。但也许存在一种可能性，从101年至200年的天气恰好是对第1年至第100年的精确重复。 8 谁又能说得准呢？
在思考这个问题时，洛伦茨想到在只需用很少的几个方程来描述的简化系统中是否会发现非周期性。他的这个想法源自哪里？它来自在计算机上运行简化的天气模型的实践经验，还是三体引力问题是非周期性的这一事实？洛伦茨在半传记性质的著作《混沌的本质》（ The Essence of Chaos ）中提到，尽管曾与伯克霍夫一起工作，但他对庞加莱的研究并不熟悉。 9 因此，我们只能推测，他是根据自己运行天气模型的经验提出这一假设的。
总而言之，洛伦茨是对的，而气象专家们是错的。洛伦茨不断进行简化，最终设计出一个仅以3个方程及3个变量为基础的流体运动数学模型，其中的3个变量通常被标记为 X 、 Y 和 Z 。这实际上是一组比三体引力问题更简单的方程，因为在三体引力问题中，每颗行星都需要6个变量来标定，即3个空间坐标位置和3个速度分量。
洛伦茨模型是如此理想化，以至于将其中的3个变量与特定的流体量联系起来不再有多大意义，尽管人们可以造出一个其运动由洛伦茨方程描述的水车。 10 因此，我们只需把 X 、 Y 和 Z 看成随时间变化的变量。在某个特定的时刻，这些变量可以由3个数字描述，例如， X =3.327， Y =5.674， Z =0.485。洛伦茨方程可以描述这些数字将如何随时间演变。这些方程使用了微积分这一先后由现代物理学之父牛顿和德国数学家、哲学家和工程师莱布尼茨独立发现的数学工具。借助微积分， X 、 Y 和 Z 的时间变化率可以用 X 、 Y 和 Z 的当前值和各种固定参数来描述（见图1-2）。对于牛顿或莱布尼茨来说，洛伦茨方程其实是很容易理解和识别的3个所谓的非线性微分方程。
图1-2 被当作艺术品展示的洛伦茨方程
“非线性”这个词在这里是至关重要的。非线性系统是指输出与输入不成正比的系统。假设你不是一个特别富有的人，如果你因为中彩票而赢得了100万美元，你一定会欣喜若狂。如果你赢得的是200万美元，你的兴奋程度会变得更高，但很可能达不到赢100万美元时的2倍。即使你有幸赢得了1 000万美元，你的兴奋程度也不可能相应地变为10倍。如果你恰好非常富有，那么把数额换成10亿美元起跳，上述判断依然成立！这就是非线性。一个人的幸福感（输出）并不与彩票的中奖金额（输入）成正比。就洛伦茨系统而言，如果 X 、 Y 、 Z 变量的值增加1倍，它们的时间变化率并不会随之倍增。人类个体也像洛伦茨方程那样是一个非线性系统。控制洛伦茨系统的方程如果是线性的，那么这个系统将可以被预测。
在20世纪60年代初的计算机上解这些方程是一项具有挑战性的任务。然而，由于只有3个变量，洛伦茨可以让这些模型运行足够长的时间，从而最终意识到模型的状态永远不会出现重复。我将在下一章中论述他是如何认识到这一点的，这个发现可称得上20世纪最伟大的科学发现之一。1963年，洛伦茨最广为人知的论文发表在《大气科学杂志》（ Journal of the Atmospheric Sciences ）上，宣告了“决定性的非周期流”。 11 如前所述，“非周期性”意味着不重复。由于这篇论文发表在一本如此“小众”的杂志上，又过了10多年，数学界才接触到它，混沌科学的爆发也因此被相应地推迟了。
但是，洛伦茨模型最著名的特征不是它的非周期性。它的知名度源于非周期性衍生的一个结果，而洛伦茨本人最初也没有完全理解这一特征。
洛伦茨曾经提到，他试着在计算机上重复一次模拟演算，目的是让计算机更快速地输出数据。他从之前通过计算机打印到纸上的数据中取出一些数值，并重新启动计算机，由这些数值开始重新初始化该模型。在喝完一杯咖啡后，洛伦茨注意到再次输出的 X 、 Y 和 Z 的值与计算机早些时候输出的原始值没有任何关系。洛伦茨所遇到的情况可见图1-3。起初，他以为计算机出了故障，因为早期的计算机内部的电子管经常发生故障。但他很快意识到这不是问题所在。真正的问题在于打印机没有以“机器精度”记录这些变量，只打印出它们的前几个数位。例如，假设其中的 X 量的精确值为 X =0.506 127，但打印机只会打印出 X =0.506。当用0.506而不是0.506 127启动模型时，这最终会导致 X 、 Y 和 Z 在一段时间后得出的数值产生很大差异。
图1-3 洛伦茨模型中的混沌状态
两个非常接近但并非全然一致的初始条件最终导致了完全不同的发展路径。混沌通常就是被这样描述的。然而，这种现象的背后还埋藏着更深层次的原理。
这种“对初始条件的敏感性”就是人们熟知的“蝴蝶效应”。然而，从某些角度来看，这实际上是一个不恰当的命名。蝴蝶是一种体形小巧的生物，显然比天气系统要小得多。而洛伦茨模型只有3个变量，不具备空间维度的概念。它如此简单，以至于无法对天气做出描述，当然也无法描述蝴蝶。具体地说，洛伦茨模型无法描述小尺度误差如何影响大尺度的天气系统。它所能做到的只是描述一个小振幅的误差如何演变成一个大振幅的误差。在第3章中，我将从由小尺度误差成长为大尺度误差的角度来研究蝴蝶效应。我们会发现某些比此处展示的混沌科学更令人震惊的事实。
从某种意义上说，图1-3与图1-1分别展示的混沌现象并没有太大不同。在图1-1中，那些行星的位置是不可预测的，而在图1-3中，洛伦茨方程中的抽象变量也是不可预测的。人们可能会好奇，在某种程度上，较早出现的庞加莱的理论是否可以描述洛伦茨提出的混沌现象？
答案是否定的。洛伦茨提出的混沌现象与庞加莱提出的混沌现象之间有一个非常重要的不同，现实世界中的流体是有黏性的。如果某种流体的黏性很大，那么它就会像糖浆一样黏稠。黏度是流体中的一种内摩擦，使其能抵抗流速的小范围梯度变化。实际上，黏度将流体速度的小范围变化转化为分子的随机运动，进而转变为热量。这个过程被称为能量耗散。现实世界中的所有流体，例如水或空气，都或多或少具有黏性。
想象一下，水箱中静止的水突然被一支桨猛烈地搅动。桨在移动时激起的动态漩涡会以桨为中心向外散开。然而，一旦停止搅动，由于黏度的影响，这些漩涡便会逐渐消失。流体恢复到静止状态，但由于黏度引起的能量耗散，它的温度要比以前稍微高一些。如果录制下这个过程并倒放，我们会看到一幅非常不真实的景象：在远离桨的流体中出现了一些微小的涡旋，它们不断地汇聚到桨上。在这个倒放的视频中，桨的运动看上去是由流体的轻度均匀冷却提供动力的。这个判断与热力学第二定律相悖，因为该定律指出均匀的低温热源是不可能以这种方式转化为功的。由于视频中逆转时间的运动是不可能发生的，控制黏性流体运动的方程在时间上是不可逆的，也就是说，视频和流体方程在时间维度上都只能往一个方向运行。
相比之下，行星运动控制的方程在时间上是可逆的。如果我们录制下行星绕太阳运动的视频并倒放，行星的运动不会违反物理定律。从某种意义上说，行星之所以按照这种方式围绕太阳旋转，只是凑巧而已。
洛伦茨认识到，将时间不可逆性纳入他的方程是至关重要的。他的判断是对的。 时间不可逆性对于生成混沌的几何形态至关重要，而这正是本书的核心之一。
在流体运动中看到的不可逆性远比在行星运动中看到的可逆性更常见。把一个玻璃杯摔到地上，它会摔成数百个碎片。这个过程不可能逆转。婴儿渐渐长大，最终成为一个成年人，这同样是一个不可逆转的过程。人们可以轻易地搅拌蛋液，但无法将其还原为蛋白和蛋黄。这样的例子还有很多。但是，什么才是这种不可逆性的根源？科学家被这个问题困扰了好几个世纪，因为牛顿提出的运动定律或薛定谔提出的量子力学方程本身是时间可逆的，正如电影既可以实现正向播放，也可以实现逆向播放。大多数科学家就此给出的解释是：宇宙一定始于大爆炸时期的一个异常有序的状态。也就是说，现实中的不可逆性是由特殊的宇宙初始条件引起的。在第11章中，我将尝试用混沌的几何形态对此给出一个不同的解释。
尽管庞加莱和洛伦茨在研究混沌时使用了牛顿提出的微积分，但微积分本身并不是混沌理论的必要构成部分。在结束本章之前，我想用一个非常简单的案例来说明何为混沌，这个案例由物理学家和生态学家罗伯特·梅推广，并应用于人口增长领域，而且没有使用微积分。
假设亚当和夏娃生下4个孩子，其中有两个男孩和两个女孩。在第二代，每一对成年男女也生育4个孩子，那么每一代的人口规模都将倍增，即2、4、8、16……在梅之前，人们普遍认为人口将会持续地增长，直到最终进入一个与有限的环境资源相适应的稳定状态，再不然就是呈现出周期性的波动。因此，当观察到某些物种的种群规模出现不规则波动时，以往的生态学家认为这一定是在外部因素的作用下环境资源发生了改变的缘故，比如说受到了气候的不规则波动的影响。
然而，通过一个非常简单的方程，梅证明了情况并非一定如此。 12 根据某一代的人口规模，梅的方程可以算出下一代的人口规模。 13 每一代的人口规模都可以用一个简单的计算器来计算，这个方程就是如此简单。梅的方程包含一个名为 a 的自由参数。它描述的是每一个成年人在人口增长的初期阶段平均生育后代的数量。以亚当和夏娃为例， a =2。然而，在人口规模扩大到一定程度后，其增长就要受到环境资源的限制。在这种情况下，人口可能会突然下降到较小的值，然后再次开始增长。梅所提出的一个发现是，如果 a 的值超过3.57，多代之后人口的增长将会进入混沌状态，即繁荣和衰退的周期会不规则地交替出现。这个发现有两个含义。首先，与洛伦茨模型中的变量一样，人口会在没有任何外部环境资源驱动的情况下非周期性地波动。其次，这些波动也像洛伦茨模型中的波动一样，非常难以预测，它们对人口规模的初始条件非常敏感。
以这种方式，混沌理论对生态学产生了重大的影响。事实上，经过这么多年，混沌理论几乎影响了科学的每一个分支，除了天文学、气象学和生态学，它也深刻影响了化学、工程学、生物学和社会科学。不过，在量子物理学领域，混沌理论还没有产生特别大的影响。 14 其中的原因很简单。控制量子力学体系发展的基本方程，即薛定谔方程，是一个线性方程。因此，这个领域并没有展示出我们之前讨论的对初始条件高度敏感的特性。有一种观点表示，因为人们期望行星运动、天气乃至人口动态应该在某种程度上受量子力学的支配，尽管实际上没人能证实这一点，混沌其实只是一个不确切的概念，而天气的不确定性最终要归因于量子的不确定性，而不是混沌。我的观点与之完全相反。 我相信混沌才是量子物理动力学方程的基础。行星系统和天气具有混沌特性，正是因为混沌是宇宙基本动力学的特性之一。 在下一章中，我将说明为什么我的观点是与薛定谔方程的线性特征相符合的。