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2022年8月12日，X市CDC收到来自辖区内某医疗卫生机构报告首例新型冠状病毒感染（COVID-19）病例，并于8月13日介入调查处置，之后辖区内报告病例数逐渐增多，至8月16日达到发病高峰（发病数13例），本次疫情结束时间为8月29日，最终累计发病78例，无病例死亡发生，具体流行曲线如图2-7所示。
图2-7 X市COVID-19确诊病例流行曲线
COVID-19的传染源主要是感染新型冠状病毒的人和动物，COVID-19的传播途径主要包括呼吸道飞沫传播和接触传播，消化道也可能是潜在传播途径之一，所有人都是易感人群。
新型冠状病毒潜伏期及潜隐期在不同研究中有所不同，一般为5天左右，最少仅有1天，最长为14天，潜伏期患者具有传染性，少数康复患者也可能携带病毒。
COVID-19临床症状主要为发热、呼吸困难、干咳、肌痛、疲倦，少数可见腹泻和呕吐等，但有相当一部分人群暴露后无明显症状。隐匿的感染者给传染源的发现带来很大困难，在对无症状感染者的横断面研究中，经常会将无症状与症状前感染者混淆。
患者的病程可分为三阶段：发病1～3天为第一阶段，此时患者处于疾病早期，通过胸部CT可发现细微病变；发病4～14天为第二阶段，此时患者处于疾病进展期，咳嗽、呼吸困难等症状加重，胸部CT出现渗出性病变且病变范围扩大；发病14～21天为第三阶段，此时患者处于恢复期，症状开始减轻，体温逐渐恢复正常。
此外，儿童、老年人、孕妇、有基础疾病者（如高血压、糖尿病、慢性阻塞性肺疾病等）是新型冠状病毒感染的高危人群，这些患者易转变为重症和危重症患者，病死率较高。免疫力强者感染后比免疫力差者更易康复。
根据文献综述以及现场调查的新型冠状病毒传播特征，构建易感者-潜伏期者-显性感染者-隐性感染者-移出者模型（SEIAR），即将人群分为：易感者（S）、潜伏/潜隐期者（E）、显性感染者（I）、隐性感染者（A）和移出者（R），该模型的流程图如图2-8所示。
图2-8 COVID-19的SEIAR模型框架图
该模型基于以下假设：
1.由于疾病呈暴发模式发生，人口出生和自然死亡在疾病流行期间不会引起人口基数较大改变，因此本模型未考虑人口出生和自然死亡对人群免疫状态及疾病传播的影响。
2.使用传染率系数 β 衡量显性感染者 I 对易感者 S 的传染力，同时考虑隐性感染者 A 的传染力仅为显性感染者 I 的 κ 倍（0＜ κ ＜1），此时传染率系数为 κβ ， t 时刻新感染人数为 βS （ I+κA ）。
3.潜伏期者 E 经过一个潜伏期后有2种结局，其中有一定比例 p 转变为隐性感染者 A ，而另一部分（1- p ）转变为显性感染者 I 。因此 t 时刻，从 E 发展为 A 速度与潜伏期人群 E 成正比，比例系数为 pω ′；从 E 发展为 I 的速度同样与 E 成正比，比例系数为（1- p ） ω 。 ω 为潜伏期系数， ω ′为潜隐期系数。
4.设显性感染者 I 由发病至移出时间间隔为 1/γ ，则 t 时刻由 I 变为 R 的人数为 γI 。设病死率为 f ，则 t 时刻死亡的病例数为 f I 。
5.设隐性感染者 A 的传染期为 1/γ ′，则 t 时刻由 A 变为 R 的人数为 γ ′ A 。
该SEIAR模型的微分方程数学表达式（式2-25，式2-26，式2-27，式2-28，式2-29）如下。
该模型将总人群（N）分为易感者（S）、潜伏期者（E）、显性感染者（I）、隐性感染者（A）、移出者（R）5 类。即 N （ t ）= S （ t ）+ E （ t ）+ I （ t ）+ A （ t ）+ R （ t ）。其中，d S / dt 、 dE / dt 、 dI / dt 、 dA / dt 、 dR / dt 分别表示 t 时刻S、E、I、A、R各类人群的变化速率。
根据模型原理可知，该数学模型共有8个参数和6个变量。参数分别为 β （传染率系数）、 ω （潜伏期系数）、 ω ′（潜隐期系数）、 γ （显性感染者移出率系数）、 γ ′（隐性感染者移出率系数）、 κ （与显性感染者相比隐性感染者传染力的大小系数）、 p （隐性感染者比例）、 f （病死率）。变量共有6个，分别为 N （总人口数）、 S （易感者）、 E （潜伏期者）、 I （显性感染者）、 A （隐性感染者）、 R （移出者）。模型参数估计与变量初始值的取值情况详见表2-1。
表2-1 COVID-19的SEIAR模型各参数定义及取值方法
如前所述，基本再生数（ R 0 ）、有效再生数（ R e ）和实时再生数（ R t ）都是评估传染病传播能力的常用指标，其中， R 0 表示在全人群易感的情况下，1个传染源在其传染期内预期直接传染的新病例数，反映了病原体自身的传染能力。 R e 和 R t 则表示在一定的干预措施、社会、经济、自然因素等影响下，1个传染源在其传染期内预期直接传染的新病例数，反映了在特定人群中的实际传播情况。即 R 0 代表理论上或理想状态下传染病的传播能力，而 R e 和 R t 则反映实际情况下传染病在人群中的传播情况。本次疫情，CDC在疫情初期就介入干预，因此使用有效再生数（ R e ）评估X市COVID-19的传播能力。
使用下一代矩阵法（the next-generation matrix method，NGM）计算该SEIAR模型的 R e ，计算具体思路及过程如下。
将所有仓室分为两类：第一类是未被传染的，包括易感者（ S ）、移出者（ R ）；第二类是被传染的，包括潜伏期者（ E ）、显性感染者（ I ）及隐性感染者（ A ）。
根据模型的微分方程，并将第二类仓室的导数向量拆分成两部分：第一部分 F 是新产生的病例，第二部分 V 表示不同患病状态之间的相互转化（式2-30）。
将向量 F 和 V 关于各传染性仓室（I、E）求导数，得到相应的Jacobi矩阵 F 、 V ，并在此基础上求解 V -1 （式2-31，式2-32，式2-33）。
计算 FV -1 的最大特征值 λ max （ FV -1 ），计算 R e 。求解得到的 R e 数学表达式见式2-34。
R e 指在政府干预及人群自我行为调整影响下，易感人群中单个个体在其整个感染期间所引起的继发感染的预期数量。当 R e ＜1时，每个受感染的个体平均会产生少于一个新的受感染个体，因此预测病原体将从人群中清除。如果 R e ＞1，则病原体能够侵入易感种群，造成传播，通常 R e 越大预示着病原体的传播能力越强。
模型的拟合及传播能力评估结果如图2-9所示，病例数在疫情暴发的第5天达到了高峰，然后开始逐渐下降。因此，疫情以第5天为分界线分为上升（第1～5天）和下降（第5～18天）两个阶段，分段进行模拟。 R e 值在第5天达到13.46，即一个感染者在潜伏期内平均可以传染给13个易感者。第5天后的 R e 值为0.58，降低到1以下，说明此时传播已经被阻断。前后两个阶段 R e 下降了95.69%，表明疫情逐渐得到有效控制。
图2-9 X市SEIAR模型拟合结果
两个阶段使用实际数据由SEIAR模型拟合后结果的 R 2 分别为0.941 （ P =0.002）和0.780（ P ＜0.001）， P 值皆小于0.05，证明SEIAR模型拟合效果较好。
（陈田木 王笑笑 章涛）