第七章
层次分析法

第一节　基本概念

层次分析法（analytic hierarchy process，AHP）由美国科学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出，是用系统分析的方法，对评价对象依评价目的所确定的总评价目标进行连续性分解，得到各级（各层）评价目标，并以最下层评价目标作为衡量总评价目标达到程度的评价指标。基于相对测量理论，计算各指标的权重，最后，依据综合评分指标对评价对象进行评价，依其大小来确定评价对象的优劣排序。该法应用广泛，目前已被广泛应用于卫生事业管理和医疗决策等方面。

层次分析法能够使复杂的问题系统化，将决策过程规范化。不仅将以人的主观判断为主的定性分析定量化，而且可以帮助人们保持思维过程的一致性和有效性，是目前被广泛应用的一种综合评价方法。

模糊层次分析法（fussy analytic hierarchy process，FAHP）进一步将经典层次分析法与模糊集理论相结合，基于模糊集理论构建指标间比较矩阵，可以克服经典层次分析法在检验判断矩阵一致性时存在的局限性。

一、层次分析法

层次分析法的基本步骤见图7-1。

（一）构建目标树图

对总评价目标进行连续性分解以得到不同层次的评价目标，建立递进层次结构，并以最下层评价目标作为衡量总评价目标达到程度的评价指标，用目标树图将各层评价目标标示出来，即建立目标树图。

（二）构建成对比较判断优选矩阵并计算各级指标权重系数

成对比较矩阵的非对角线元素表示相应行列两指标比较的相对重要性。如 a _ij =3表示第 i 行指标的重要性是第 j 列指标的3倍。将 m 个评价指标关于某个评价目标的重要程度做两两比较判断获得 m 维矩阵A，通常通过求A计算各指标的初始权重，并将其归一化，即可得到该层次各评价指标的权重系数，具体方法见第二章（公式2-12）。一般地，判断矩阵应由目标问题相关领域的专家独立地给出。

（三）一致性检验

所谓一致性，是指成对比较的判断优选矩阵所体现的相互关系是否一致。如果一致，则矩阵元素的关系应满足：

其中， a _ij 和 a _jk 分别为成对比较判断优选矩阵的非对角元素，详见表2-9。所谓一致性检验，也就是检验权重系数是否符合逻辑。当判断矩阵的阶数≤2时，通常用一致性指数（consistent index，CI）检验各指标的相对优先顺序有无逻辑混乱。一般认为，当 CI ＜0.10时，可能无逻辑混乱，即计算得到的各项权重可以接受。

一致性指数的计算公式为：

其中，

式中， m 为受检验指标层的指标数； λ _max 为最大特征根； λ _i 为该层指标成对比较判断优选矩阵的特征根。 W _i 和 W _j 分别为第 i 层和第 j 层指标的权重。

当判断矩阵的阶数＞2时，用同阶平均随机一致性指标（random consistency index，RI）对 CI 进行修正，计算随机一致性率（consistent ratio，CR）：

表7-1为3～9阶判断矩阵对应的 RI 的理论值。

当随机一致性比率 CR 小于0.10时，通常认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，再次进行检验，直到通过一致性检验。

（四）计算组合权重

通过乘积法，计算子目标所包含各评价指标的组合权重系数，详见第二章。

（五）计算综合指标值

综合指标是各指标测量值的加权和，即：

式中 P _i 为第 i 个评价指标测量值， m 为评价指标的个数， C _i 为第 i 个评价指标的组合权重系数值。根据 GI 值的大小，即可对评价对象进行综合评估和优劣排序。

层次分析法的三个要素分别是层次结构、成对比较判断优选矩阵和一致性检验。首先，决策者需要将复杂的多准则决策问题进行逐级分解，得到各级（层）评价目标；其次，决策者必须根据专家的判断，成对比较同一层内评价指标的相对重要性，这样的比较要在所有层次的指标体系进行。由于比较是个人基于主观判断进行的，可能会出现一定程度的逻辑混乱，因此，一致性检验被认为是层次分析法的必要步骤。如果一致性检验不通过，则决策者应重新审查和修订比较矩阵，各层次一致性检验均通过后，则可以计算各评价对象的综合指标，并据此进行决策。

二、模糊层次分析法

模糊层次分析法是采用模糊集（fussy set）理论对判断矩阵进行优化的层次分析法，由荷兰科学家P.J.M van Laarhoven和W.Pedrycz于1983年提出。模糊层次分析法仍然采用成对比较矩阵，但考虑到决策者在建立判断矩阵时可能的不确定性，采用模糊二元关系或模糊数来定义语言描述的指标间比较关系的程度差别。与经典层次分析法相比，其关键的步骤在于模糊比较矩阵的构建。在模糊层次分析法中，利用模糊矩阵的构造改进了经典判断矩阵，避免重复的一致性检验。

其基本步骤包括：

（一）构建目标树图

方法同经典层次分析法。

（二）构建模糊比较矩阵与模糊一致性矩阵

构造模糊比较矩阵最常用的方法包括比较指标的模糊二元关系，判断矩阵的单值元素简要概括了被比较指标间的相对重要性；另一种是构建多值元素即模糊数元素矩阵来反映指标间相对重要性，通过模糊数来反映指标相对重要性的模糊性与不确定性，主要有三角模糊数与梯形模糊数。在此主要介绍反映模糊二元关系的模糊矩阵构建方法。

令A=（ a _ij ） _{m × m} 为满足条件0≤ a _ij ≤1模糊矩阵；当 a _ij + a _ji =1时，则此类矩阵为模糊互补矩阵，若满足 a _ij = a _ik - a _jk +0.5则称模糊矩阵为模糊一致性矩阵。模糊一致矩阵中当 a _ij =0.5，表示指标 i 和指标 j 相对于上一个层次重要性一样；0≤ a _ij ＜0.5，表示指标 i 比指标 j 不重要， a _ij 值越小，相对重要性越低；若0.5＜ a _ij ≤1，表示指标 i 比指标 j 重要，值越大，相对重要性越高。

对模糊互补矩阵A按行分别求和，记为 ，采用公式（7-7）变换可得模糊一致性矩阵。

对于任意 i ， j （ i ， j =1，2，…， m ），满足 ，说明元素 i 和 j 相比较的重要性互补于元素 j 和 i 相比较的重要性。而且，若从A中删除任意行及其对应列，变换后的矩阵仍为模糊一致矩阵，因此，可随时对已经设计好的模糊一致矩阵按需调整而不影响其一致性。

（三）计算单层次指标模糊权重

单层次指标权重是指同一层次内各评价指标对于上一层次相应指标的相对重要性排序。设同一级内的指标数为 m ，可通过下式计算第 i 个指标相对于上一层指标的模糊数权重向量：

其中， i ， j =1，2，…， m ，参数需满足 α ≥（ m -1） / 2，常取 α =（ m -1） / 2。

（四）计算指标组合权重系数

结合各级指标对应权重，计算各个评价指标的组合权重系数，方法同经典层次分析法。

（五）计算备选方案的综合评价指标

结合评价指标的观测值，可按公式（7-6）计算综合评价指标；也可采用隶属度函数法，先将指标测量值转换为目标评价分级的隶属度，结合等级赋值，计算评价得分，再结合组合权重系数计算综合评价等级（详见例7-2）。

第二节　应用实例

一、层次分析法用于医院医疗质量评价

例7-1 武俊青等学者用层次分析法对某年某市4所医院的医院工作质量进行评价，评价的主要内容包括医疗质量、医疗工作量和医疗工作效率3个方面共7个指标。其分析步骤如下：

（一）构建目标树图

将总目标医院工作质量分解为医疗质量、医疗工作量和医疗工作效率等3个子目标，然后再分解为二级评价指标，形成目标树图，如图7-2所示。

（二）计算各指标相对权重

例如：第一层指标成对比较判断优选矩阵见表7-2。

计算初始权重系数 ，即矩阵行成分的几何均数，以医疗质量为例： ，同理，医疗工作量和医疗工作效率的初始权重系数分别为1.000 0和0.550 3。归一化后的权重，以医疗质量为例，归一化权重为1.817 1/（1.817 1+1+0.550 3）=0.539 6，结果见表7-2。

以同样的方法可计算出医疗质量层、医疗工作量层及医疗工作效率层所含各指标的权重，结果见表7-3。

（三）一致性检验

各层子目标成对比较判断矩阵的特征根 λ _i 按公式（7-4）计算。例如：第一层成对比较判断矩阵的特征根分别为： λ ₁ =3.009 2， λ ₂ =3.008 8， λ ₃ =3.009 1。

最大特征根为3.009 2， CI =（3.009 2-3）/2=0.004 6， CI ＜0.1， CR =0.004 6/0.58=0.007 9， CR ＜0.1，可认为该指标权重系数符合一致性原则。

（四）计算评价指标组合权重系数

计算最下层（方案层）各评价指标的组合权重系数 C _i 。

例如，一级指标医疗质量的权重为0.539 6，对应的二级指标治疗有效率的权重为0.539 6，其组合权重系数 C ₁ 为0.539 6×0.539 6=0.291 2，依此病死率的组合权重系数 C ₂ 为0.539 6×0.297 0=0.160 3，急诊占比的组合权重系数 C ₃ 为0.088 2，见表7-3。

（五）计算综合指标

结合各医院评价指标的实测值和对应组合权重系数 C _i （表7-3），计算综合得分，并据此对工作质量进行排序。

4所医院各指标的实测数据见表7-4。由于高优指标和低优指标对医院质量的贡献方向不同，如高优指标治疗有效率越高，而低优指标病死率越低，都说明医院质量越高。因此，基于各指标期望值（算术均数取整）对各指标进行同趋势化，得同趋势化后指标 P _i 。（低优指标 P _i =期望值/实际值，高优指标： P _i =实际值/期望值）。基于公式（7-6）计算每个医院的各指标的加权和，即为综合得分。例如，甲医院的综合得分为：

GI =0.291 2×95.3/93+0.160 3×1.6/2+0.088 2×5.63/5+0.198 0×1 305.2/1 050+0.099×27.17/20+0.108 9×5 910/5 050+0.054 5×99.9/93=1.092 6

所有医院计算结果见表7-4。结果表明，各医院的医院工作质量排序为乙（1.212 0）最优，其次为丙（1.130 8），甲（1.092 6）和丁（0.958 6）。

二、模糊层次分析法用于起搏器寿命风险评估

例7-2 程云章等学者基于模糊层次分析法建立了起搏器的寿命风险评估体系，评价主要包括电参数、患者特质和医院手术水平3个一级指标及其下属9个二级指标。分析步骤如下：

（一）构建目标树图

详见图7-3。

（二）构建模糊判断矩阵

以电参数指标层为例，模糊判断矩阵见表7-5。其构造原则为两对比指标间重要性相同时，矩阵元素值为0.5，因素 i 比因素 j 重要时记为1，反之，记为0。这样的矩阵即为模糊互补矩阵。按公式（7-7）可将模糊互补矩阵转换为模糊一致性互补矩阵，见表7-6。

例如，起搏阈值与感知电流相比， ；起搏阈值与阻抗相比， 。

（三）计算各层指标的权重

以电参数层6个二级评价指标为例，按公式（7-8）计算每个指标的权重如下：

同理，患者特质层两个指标的权重分别为0.75，0.25；上一层，即一级评价指标电参数，患者特质和医院手术水平的权重分别为0.333 3，0.278 0和0.388 6。

（四）计算指标的组合权重系数

计算各评价指标的组合权重系数 C _i ，结果见表7-7。

（五）综合指标计算

收集植入起搏器的各电参数指标和相应的患者特质，及实施医院的手术水平分级等指标数据后，在指标同趋势化的基础上计算综合指标，对待评起搏器进行风险排序。

为了建立统一的风险评价体系，也可以根据指标与寿命的关系，采用隶属函数方法，将各指标按照预先确定的阈值转化为［0，1］区间上的隶属度值。低优指标数值越大，则相应寿命越短，基于隶属度函数定义越大的指标值对应［0，1］区间上越小的隶属度值，例如，电参数指标中起搏阈值，感知电流，脉宽，起搏电压等均属于低优指标；高优指标数值越大，寿命越长，基于隶属度函数定义越大的指标值对应［0，1］区间上越大的隶属度值，例如，电池容量，基础心率和医生手术水平等属于高优指标；中间型指标值过高和过低均会降低产品寿命，因此，基于隶属度函数定义极大极小方向的指标值对应［0，1］区间上更小的隶属度值，中间范围的指标值对应越大的隶属度值。3种情况下的隶属度函数参见本实例来源文献。

将每个指标转换为对应的隶属度值 f _i 后，结合各自的组合权重系数 C _i 可采用公式 L =Σ C _i f _i 计算寿命风险评分。根据综合评价结果将起搏器寿命风险划分为5个等级：高风险（0，0.5］，较高风险（0.5，0.65］，中等风险（0.65，0.75］，较低风险（0.75，0.85］和低风险（0.85，1］。采用隶属函数方法建立的寿命评价系统为同类产品的寿命风险评价提供了一个综合客观分析和主观分析的可供参考的统一标准。

层次分析法以其系统性和直观性等优点，在多准则决策相关的领域得到了广泛应用，但判断矩阵构造的不确定性和一致性检验的复杂性也影响了其使用；模糊层次分析法将层次分析法与模糊集理论相结合，克服判断矩阵构造可能不一致的局限，一定程度上可以优化经典层次分析法并拓宽其实际应用领域。近年来，模糊层次分析法中模糊比较矩阵的构造方法，除本文采用的模糊二值关系外，基于三角模糊数或梯形模糊数的模糊矩阵构造方法以及相应的指标权重确定方法均得到了广泛应用，不仅丰富了层次分析法的理论体系，也拓宽了其应用领域。

（余小金　杨土保） HOHxg+C4/wBGzI4EJIbt3J3o1A80HXGenvABTcXmWko60GngOzo8GyMy/JXRu3M1