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1.概述
为了使得WPT系统输出具有快速的动态响应能力以及对外界扰动和系统内部参数变化具有一定的鲁棒性，需要设计闭环控制器对WPT系统的输出进行调节。
当前WPT系统的控制方法包括PID控制、H无穷控制、仿射非线性控制、模型逆控制、内模控制、滑模控制、模型预测控制以及自抗扰控制八大类。
2.PID控制方法
在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制。PID控制器以其结构简单、稳定性好及工作可靠等特点而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其他技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定。但是，PID控制仍存在的问题表现为：PID参数整定主要是依赖工程经验，直接在控制系统的试验中手动设置的，当频率、负载等参数变化引起系统动态特性变化时，PID参数就需要重新整定；即使PID控制器具有参数自整定功能，但由于PID参数整定过程没有成熟的稳定性分析方法，其可靠性仍有待提升；由于自身的特性，PID控制器能较好地控制二阶以下的对象，但面对一个高阶、非线性及具有各类不确定性的复杂过程时，控制仍有提升空间。
3.基于H无穷控制理论的控制器设计
先进控制理论可以分为频域法以及时域法两大类。其中H无穷控制属于频域法中的标志性技术。它通过构造不确定性系统，将系统的不确定性与标称系统进行分离，并引入H无穷范数来描述系统的不确定性，进一步深入研究了各类不确定性（外界干扰、噪声、参数不确定性）的处理方法。当前，在WPT系统中，H无穷控制主要用来处理系统中存在的外界扰动问题以及系统参数摄动（互感参数、负载参数摄动）问题，使得WPT系统在不确定性存在的情况下保持稳定性以及快速的动态响应能力。对WPT系统而言，H无穷控制主要有三大类应用，首先是混合灵敏度控制，其是后续所有H无穷控制设计方法的基础，主要用来处理外部扰动问题；第二类是 μ 综合控制，主要用来处理系统参数摄动问题；最后一类是利用线性矩阵不等式技术更精确地改善系统在参数不确定存在时的动态响应速度。
（1）混合灵敏度控制器
对于闭环控制系统而言，系统的抗扰能力、跟踪性能以及控制增益之间存在着相互矛盾的关系。例如，要求系统实现快速的动态响应，必然会造成抗扰能力的下降以及控制增益的提升，这显然是不利于控制系统的工程实现的。可采用基于混合灵敏度的H无穷控制器设计方法来平衡闭环WPT系统控制增益与跟踪性能的矛盾关系，使得系统在具有快速动态响应能力的同时控制增益也得到一定程度的约束。
根据H无穷控制理论的设计框架，首先选择系统的灵敏度函数 W p 以及 W u 。 W p 反映了对系统动态跟踪能力的限制，而 W u 反映了对系统控制增益的限制。进一步得到系统的控制指标函数如下：
式中， G 为开环WPT系统的传递函数； K 为控制器的传递函数； I 为合适维度的单位矩阵； d 为外界输入； T de 为包含系统性能指标的传递函数矩阵。
H无穷控制的目的便是寻找一控制器K，使得传递函数矩阵 T de 的H无穷范数低于某一给定值 γ （H无穷抑制水平），即
通过求解以下的代数里卡蒂方程
可得到H无穷控制器的表达式为
式中，{ A , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 }为闭环系统 T de 的状态空间实现。 X , Y 为代数里卡蒂方程（6）的解。
（2） μ 综合控制器
μ 综合控制方法在考虑外部干扰对闭环控制系统的影响之外，还考虑了系统内部参数摄动对闭环系统稳定性以及控制性能的影响，相较于H无穷控制器，通过合理设置控制器参数， μ 综合控制器有可能获得更好的鲁棒性能。
μ 综合控制技术通过引入结构奇异值（Structural Singular Value，SSV） μ 来描述参数不确定性对线性动态系统稳定性及性能的影响，并基于结构奇异值 μ 来寻找最优的H无穷控制器。
设 M 为一线性关联的传递函数矩阵，在WPT系统控制器设计中，它一般是前文中包含系统性能指标的传递函数矩阵 T de ，此时，关于参数摄动块Δ的结构奇异值可以描述为
设 K μ （s）为待求解的控制器，通过定义虚拟的性能不确定性块Δ P ，与模型不确定性块Δ r 构成增广的不确定性矩阵：
进一步将闭环WPT系统转换为一个标准的 M -Δ结构，如图1所示。
μ 控制器设计的理念是在模型不确定性和外部扰动的作用下，同时考虑闭环系统的鲁棒稳定性与鲁棒性能的问题，综合出一个控制器 K μ （ s ），使得系统在最坏的情况下，在 ω ∈[0，∞]频域内满足
式（10）可转换为一优化问题，即寻找一个控制器，使得
的值达到最小，即
图1 标准的 M -Δ结构
系统的SSV往往难以直接求得，通常采用SSV的上界
进行替代，其中
D
为导入的定标矩阵。此时，上述优化问题可以进一步转化为
对于式（12）的求解通常采用 D -K 迭代的算法，其核心思想为：先固定定标矩阵 D 再利用 H ∞ 优化方法（如解代数Riccati方程）求出最优控制器 K μ （ s ），最小化表达式（11）；接着固定控制器 K μ （ s ），求最优的定标矩阵 D ，最小化表达式（11），如此交替进行，直到式（11）的值小于1且迭代结果的相邻误差小于设定值。 D -K 迭代算法的流程图如图2所示。
（3）基于线性矩阵不等式的控制器设计
从传递函数零极点分布的视角分析WPT系统可知，闭环WPT系统在复平面上的零极点分布情况唯一决定了闭环系统的控制性能。因此，只要能控制闭环WPT系统的零极点分布位置，就能对WPT系统的控制性能进行更精确的预先设置，使其满足需求的性能指标。
为实现操控零极点分布这一目的，前文所述的两种方法均难以直接地实现。在此，通过引入线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）技术，可将零极点操控问题转换为LMI的求解问题。通过LMI将闭环WPT系统的极点配置到了复平面上的一条形区域中从而改善系统性能，如图3所示。
图2 D -K 迭代算法的流程图
图3 闭环WPT系统的极点区域配置
首先在复平面上定义LMI -D 区域：
其中 L 与 P 为实数方阵。LMI -D 区域（13）对应的特征方程为
进一步引入鲁棒D稳定性理论以及相关技术引理：
定理1 闭环系统的鲁棒D稳定性。对于具有特征方程（14）的LMI -D 区域，如果存在一个对称正定矩阵 X cl ，使得如下LMI成立
则闭环系统关于有界参数不确定性是鲁棒D稳定的。其中“⊗”表示矩阵的Kronecker乘积，{ A cl ， B cl ， C cl ， D cl }为含不确定块的闭环WPT系统的状态空间实现。
引理1 对于具有有界参数不确定性的系统，对于给定的参数以及LMI -D 区域，如果存在对称正定矩阵 X cl 以及 ψ ，使得以下LMI成立
则所设定的LMI -D 区域是可达的。其中 P = P 1 T P 2 为一满秩的矩阵分解。
引理1用来判定给定LMI -D 区域是否合理，进一步利用定理1可推出控制器的表达式。基于MATLAB LMI工具箱，可以容易地求解LMI不等式，进而得到满足性能指标的H无穷控制器。
4.基于仿射非线性理论的控制器设计
非线性微分几何控制理论一直是控制理论界解决非线性系统控制问题的强有力手段，它利用基于李导数（Lie derivative）的反馈线性化技术，直接将非线性系统进行坐标变换，在构建的线性坐标系统中进行控制器设计与闭环系统分析，从而避免了在工作点处进行局部线性化的过程，可实现宽工作范围的非线性系统分析。
首先，利用仿射非线性原理，构造满足状态反馈精确线性化条件的WPT系统仿射非线性模型；其次，在验证满足精确线性化条件后，利用积分曲线求解坐标映射规律，将非线性动态模型映射到线性空间中；最后，通过设计线性反馈控制器并进行坐标反映射，为WPT系统设计非线性控制器，提高系统在工作点偏移时的动态性能。
通过对WPT系统的耦合模型实施精确线性化，首先求取 x 空间到 c 空间的逆映射，再利用 c 空间到 z 空间的变换等效为 x 空间直接到 z 空间的映射，如图4所示。
图4 x 空间、 c 空间与 z 空间的坐标变换原理图
通过连续映射，得到 x 空间直接到 z 空间的坐标映射为
利用式（17），将系统化为Brunovsky标准型
其中
表示无偏差多变量控制器，{ k 11 , k 12 , k 21 , k 22 }为控制器参数， e i （ i =1,2）为跟踪误差。进一步得到系统的非线性控制律如下：
式中，
。系统的控制框图如图5所示。
图5 WPT系统精确线性化非线性控制框图
5.基于模型逆的控制器设计
相较于单变量（Single-Input Single-Output，SISO）系统，具有多个发射端以及多个接收端的WPT系统往往具有较高的模型阶数，采用H无穷控制器设计方法通常会得到一个高阶的控制器，不利于工程实现。利用WPT系统模态能量往往集中在低阶模态中的特点，采样基于模型逆的多输入多输出（Multi-Input Multi-Output，MIMO）WPT系统控制器的设计方法，利用低阶的控制器矩阵实现了对高阶MIMO-WPT系统的控制。
首先，对给定的WPT系统传递函数矩阵 G （ s ），在考虑各传能通道的回路交互效应后，按式（21）计算可得到系统的等效传递函数矩阵（Equivalent Transfer Function Matrix，ETFM）。
对于考虑了回路交互作用的多激励端WPT系统
，其带有积分动作的控制目标可以分解成矩阵
内每个元素的独立控制目标，即
式中， G C （ s ）=[ g c, ij （ s ）] p × q 。 G C （ s ）是对应于 G （ s ）的多变量控制器。
由式（22）可得到控制器 g c, ij 的表达式
式中， k α , j （ j =1，2，…， q ）为引入的调节因子。通过对式（23）进行Maclaurin级数展开，并保留低阶项，可得到具有PI形式的控制器表达式。进一步将各个子控制器集中在如下的控制器矩阵中
其中
式（24）即为基于模型逆的控制器矩阵，因为其控制器矩阵内部含有（降阶后的）原系统模型的信息。
6.基于内模原理的控制器设计
WPT系统在进行原边控制的过程中，需要从副边采集输出电压/电流等信息。在原/副边进行无线通信的过程中，通信时延难免会对闭环系统的控制性能产生影响。利用内模原理进行控制器设计，可以抑制通信时延对闭环系统控制性能的不利影响，实现对参考信号的快速跟踪。
假设已经得到包含时延项的WPT系统模型 M （ s ），可解耦成如下形式：
式中， M + （ s ）包含系统的时延部分以及非最小相位部分， M -（ s ）包含系统的最小相位部分。
控制器可按如下形式给出：
式中， f （ s ）为引入的 n 阶低通滤波器，其引入目的是保证 Q （ s ）的有理性； λ 为滤波器时间常数，与跟踪性能以及闭环系统鲁棒性有关。进一步可得到反馈控制器如下：
由式（28）可知，控制器中包含原系统的传递函数模型，因此被称为内模控制器。通过控制器 C （ s ）分子项的作用可有效消除通信时延的影响，并获得良好的闭环系统跟踪性能。
7.滑模控制器设计
为了提升WPT系统在最大效率跟踪过程中的动态性能，可采用基于离散滑模控制的控制器设计方法。
被控对象为接收端额外引入的Buck-boost变换器，如图6所示。其中Controller1负责系统最大效率跟踪，Controller2为一滑模控制器，负责稳定输出电压。
首先对DC/DC变换器进行动态建模，得到系统的状态空间模型。进一步，设计系统的滑模面为
式中， α 1 , α 2 , α 3 为滑模系数，为保证闭环系统稳定性以及滑模面的可达性，滑模系数需满足如下条件：
进一步，系统的滑模控制律可以表示为
式中，
。
8.模型预测控制器设计
模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）是一种基于最优化理论的控制方法。通过对控制序列在有限时域内进行滚动优化，实现当前时刻最优的控制输入，保证闭环系统良好的动态特性。可基于MPC控制技术，为WPT系统副边DC/DC变换器设计MPC控制器，使得WPT系统具有快速的动态响应能力。
图6 WPT系统的控制结构
首先基于Beccuti线性化方法建立DC/DC变换器的线性模型。进一步假设系统具有 z 周期的采样延时，建立系统的输出预测方程为
式中， H p 为输出预测时域。
假设控制时域为 H c ，可得到如下矩阵形式的预测方程：
式（33）中各项系数矩阵的展开表达式详见参考文献[21]。
进一步建立以下的代价函数：
其中
式中， W u 与 W y 为对角误差加权矩阵； y r 为DC/DC变换器的参考输入电压， u r 为DC/DC变换器的参考占空比。
通过求解式（34），可以得到系统的控制律为
DC/DC变换器控制模块结构如图7所示。U_set表示DC/DC变换器的输入电压。
图7 DC/DC变换器控制模块结构
9.基于自抗扰控制的控制器设计
自抗扰控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）算法是一种基于扰动观测器的控制算法，旨在有效抑制系统中的各种扰动对系统性能的影响。其主要思想是通过引入一个扰动观测器来估计系统中的扰动，然后利用这个估计值来抑制扰动对系统的影响。不同控制算法的性能对比见表1。
表1 不同控制算法的性能对比
（续）
进一步，在传统ADRC算法的框架之上，分别发展出了有限时间抗扰控制（Finite-Time Disturbance Rejection Control，FT-DRC）、无模型复合抗扰控制（Model-Free Composite Disturbance Rejection Control，MFC-DRC）、精确抗扰控制（Precise Disturbance Rejection Control，PDRC）。其设计的核心理念都在于引入了某种形式的状态观测器来对WPT系统存在的未知扰动以及参数不确定性进行观测，进一步设计控制器对扰动进行补偿。
其中FT-DRC算法引入了一种有限时间扩张状态观测器（Finite-Time Extended State Observer，FESO），保证了观测状态在有限时间内收敛；MFC-DRC引入了一种自适应扩张状态观测器（Adaptive Extended State Observer，AESO）来观测系统参数偏移引起的输出变化；PDRC引入了一种传递函数形式的线性观测器，保证了观测器与控制器的独立性，使得控制器动态不受观测器动态的影响。
WPT系统副边DC/DC变换器ADRC框架如图8所示。在利用扰动观测器得到扰动观测值以后，利用控制器对扰动进行补偿，从而得到稳定的输出电压。
图8 WPT系统副边DC/DC变换器ADRC框架
此外，对于原边主动控制，还有量化反馈控制（Quantitative Feedback Theory,QFT） [19] 以及基于PI的多变量解耦控制等控制器设计方法 [16] ；对于副边DC/DC变换器控制，还有无源PI [25] 、鲁棒自适应控制等控制器设计方法 [26] 。表1详细比较了不同控制器的特性，可为工程设计提供参考。
10.小结
WPT系统的控制器设计主要包含以下八类方法：①基于PID的控制器设计方法。其控制器结构简单，调参便捷，但对一些系统非线性以及不确定性较强的场合难以达到满意的控制效果。②基于H无穷控制的设计方法。主要用来处理WPT系统因外部扰动或参数摄动引起输出不稳定问题。③基于内模思想的设计方法，其主要作用是解决通信延时问题。④基于模型逆的控制方法，主要用于解决MIMO-WPT系统的多变量控制问题。⑤基于非线性系统精确反馈线性化的设计方法。其主要功能在于实现宽范围的系统输出控制器以及实现更快的输出动态响应速度。⑥基于滑模控制的控制器设计方法。通过引入滑模面来提升系统的动态响应速度。⑦基于MPC的控制器设计方法。其主要功能是从数学优化的角度提升系统的动态响应速度。⑧基于ADRC框架的控制器设计方法。其主要功能在于提升系统对抗外部扰动的能力。其中，基于先进控制理论的控制器性能对比见表1。在工程应用中，应根据实际工程需求合理选择控制器，保证系统的输出响应满足所需求的性能指标。