在OW-PMSM控制系统中,通过坐标变换,电磁转矩方程得到简化,定子电感矩阵常数化、对角化,使定子的磁链方程解耦,从而可以使交流电机的控制像直流电机控制一样简单。图2-3为电机建模时常用的坐标系,其中,三相静止坐标系(ABC坐标系)的三个轴分别与电机的三相绕组重合,A轴作为参考轴;两相静止坐标系(αβ0坐标系)的α轴与A轴重合,β轴超前α轴90°;同步旋转坐标系(dq0坐标系)与转子同步旋转,q轴超前d轴90°,且定义d轴与A轴的夹角 θ e 为转子电角度。
图2-3 电机建模常用坐标系
在OW-PMSM系统控制策略的研究过程中,电机定子电流或电压通常需要在不同坐标系之间进行转换,下面用矩阵的方式介绍三种坐标系之间的转换关系。首先,从ABC坐标系变换至αβ0坐标系的变换矩阵为
从αβ0坐标系变换至ABC坐标系的变换矩阵为
从αβ0坐标系变换至dq0坐标系的变换矩阵为
从dq0坐标系变换至αβ0坐标系的变换矩阵为
联立式(2.3)和式(2.5)可以得到从ABC坐标系变换至dq0坐标系的变换矩阵:
同理,从dq0坐标系变换至ABC坐标系的变换矩阵为
传统PMSM系统中三相绕组连接于中性点,零序电流没有通路。但是在共直流母线OW-PMSM系统中,电机三相绕组中性点打开,转子永磁体磁链中存在三次谐波分量,导致三相反电动势中也存在三次谐波分量,从而产生零序电流。因此,在共直流母线OW-PMSM系统中需要考虑零序电流的影响,并对电机系统重新建模分析。
考虑到转子磁链中的三次谐波分量,转子磁链方程可表示为
式中, ψ f 为转子永磁体磁链基波分量; ψ f3 为转子永磁体磁链三次谐波分量。
在式(2.9)的基础上,将ABC坐标系下的磁链方程经过克拉克(Clarke)变换与帕克(Park)变换后可得到dq0坐标系下的磁链方程如下:
式中, ψ d 、 ψ q 、 ψ 0 分别为d轴、q轴和零轴上的磁链; i d 、 i q 、 i 0 为d轴、q轴和零轴上的定子电流; L d 、 L q 、 L 0 为定子绕组在d轴、q轴和零轴上的电感。对于表贴式电机, L d = L q = L ,零轴电感计算公式为 L 0 = L -2 M 。
OW-PMSM的电压方程揭示了电动机端电压与绕组电流之间的关系,三相静止坐标系中OW-PMSM的电压方程为
式中, u a 、 u b 、 u c 分别为电动机三相绕组的端电压; R 为三相绕组的内阻; e a 、 e b 、 e c 分别为电动机在运行过程中三相绕组中的反电动势,其具体的表达式为
式中, P 为永磁体的极对数; ω m 为电动机转子的机械角速度。
同理,利用坐标变换理论可以得OW-PMSM在同步旋转坐标系中的电压方程,如下所示。
式中, u d 、 u q 、 u 0 为三相绕组端电压 u a 、 u b 、 u c 经坐标变换得到的同步旋转坐标系中的端电压,并且 i 0 、 u 0 和 e 0 满足如下公式:
式中, u 0 为零轴上的电压; ω e 为电气角速度; e 0 为三次谐波反电动势。
此外,OW-PMSM的电压方程也可表示为
式中, u dq0 为OW-PMSM的电压; u dq0-1 和 u dq0-2 分别为图2-1中逆变器1和逆变器2的电压。
在共直流母线OW-PMSM系统中,零序电流的产生主要来自两个方面:①双逆变器在三相绕组上产生共模电压;②系统反电动势中存在三次谐波分量。OW-PMSM系统中的零序电流等效回路如图2-4所示。
图2-4 OW-PMSM系统中的零序电流等效回路
因此,零序电压方程可以表示为
如图2-4所示,零序回路由OW-PMSM和两个逆变器组成,主要包含定子电阻( R )、零序电感( L 0 )和三次谐波零序反电动势。 u 01 和 u 02 表示双逆变器产生的共模电压。由此可见,零序回路的电压源由 u 01 、 u 02 和零序反电动势组成,零序电流的大小与回路的电压源、电阻和电感直接相关。由式(2.16)看出,可以通过控制两个逆变器输出的共模电压差来抵消零序反电动势,从而抑制零序电流。
另外,OW-PMSM系统的电磁转矩方程为
对于表贴式OW-PMSM, L d = L q = L ,式(2.17)可化简为