2.1 相关控制理论的基本概念与频域稳定判据

2.1.1 传递函数

一个线性定常控制系统的动态特性一般可以由下述 n 阶微分方程描述：

式中， x （ t ）和 y （ t ）分别为系统的输入和输出变量； a _j （ j =1，2，…， M ）与 b _l （ l =1，2，…， K ）分别为与系统结构和参数有关的常系数。

设 x （ t ）和 y （ t ）及其各阶导数在 t =0时的取值均为零，即零初始条件。若对式（2.1）中各项分别求拉普拉斯变换，即可得系统在 s 域下的动态方程为

式中， Y （ s ）=L［ y （ t ）］； X （ s ）=L［ x （ t ）］。

线性定常系统的传递函数 G （ s ）定义为零初始条件下，系统输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，即

传递函数可以表示系统将输入变量转换为输出变量的传递关系。一般来说，传递函数是一个关于复变量 s 的有理真分式，只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关。

下面介绍与传递函数定义相关的几个概念和术语。

（1）特征方程与特征根

若令传递函数 G （ s ）中的分母多项式等于0，即可得传递函数的特征方程为

该特征方程的所有解称为传递函数的特征根。

（2）零点和极点

传递函数 G （ s ）中的分子多项式和分母多项式经过因式分解后可表示为

式中， z _l 为分子多项式的零点，称为传递函数的零点； p _j 为分母多项式的零点，称为传递函数的极点，也是传递函数的特征根。

在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，称为传递函数的零极点分布图，图中一般用“○”表示零点，用“×”表示极点。

2.1.2 控制系统稳定性的概念与稳定判据

稳定是系统能够正常工作的首要条件。系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和电源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。如果系统不稳定，就会在任何微小扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。关于系统稳定性的定义有多种，上述定义是指系统在平衡状态的稳定性，由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出并沿用至今。根据李雅普诺夫稳定性理论，控制系统的稳定性定义如下：

若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

早在1868年，英国物理学家麦克斯韦在研究离心式调速器反馈系统的稳定性问题时，就提出了控制系统稳定的充分必要条件：系统特征根全部具有负实部或全部位于 s 平面虚轴的左侧。这一理论称为麦克斯韦稳定判据 ^［97］ ，它教会了人们通过求解特征根来判断控制系统稳定性。

然而，随着控制系统的日益复杂，系统特征方程的阶数明显增加，求解特征根的过程变得枯燥、困难且漫长。因此，在工程实践中，人们迫切希望找到一种不用通过求解特征根，就能快速判断控制系统稳定性的方法，于是就引出了经典控制理论中的几个频域稳定性判据。

1.柯西辐角原理

设控制系统的结构如图2.1所示，其闭环传递函数为

式中， T （ s ）为开环传递函数，也称为开环增益。

柯西辐角原理：设 s 平面上的一个闭合曲线 Γ 包围 F （ s ）的 Z 个零点和 P 个极点，则当 s 沿着闭合曲线 Γ 顺时针运动一周时， F （ s ）的闭合曲线包围原点的圈数 R 为

式中， R >0和 R <0分别表示 F （ s ）的闭合曲线逆时针和顺时针包围原点， R =0表示不包围原点。

根据麦克斯韦稳定判据，图2.1所示控制系统稳定要求 F （ s ）没有右半平面极点或 Φ （ s ）=1+ T （ s ）没有右半平面零点。由此可见，控制系统的稳定性与传递函数的右半平面零点或极点密切相关。为此， s 平面上的闭合曲线 Γ 可选择为图2.2所示曲线，由正虚轴、负虚轴和半径为无穷大的半圆弧组成。这样，如果所研究的传递函数有右半平面的零极点，那么它们必被此曲线所包围，该闭合曲线也称为奈氏路径。需要说明的是，图2.2给出的闭合曲线 Γ 没有考虑虚轴有零极点的情况，针对这一情况参考文献［98］给出了另一种形式的闭合曲线，这里不再赘述。

基于柯西辐角原理和图2.2所示的闭合曲线， F （ s ）的右半平面极点数 P 等于 F （ s ）的右半平面零点数 Z 与当 ω 从-∞到+∞变化时 F （ s ）的频率特性曲线逆时针包围原点的圈数 R 之和； Φ （ s ）的右半平面零点数 Z 等于 Φ （ s ）的右半平面极点数 P 减去当 ω 从-∞到+∞变化时 Φ （ s ）的频率特性曲线逆时针包围原点的圈数 R 。

2.奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据：控制系统稳定的充分必要条件是开环传递函数 T （ s ）的奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数 R 等于其右半平面极点数 P 。

需要说明的是，奈奎斯特稳定判据中的圈数 R 是基于 ω 从-∞到+∞变化时 T （ s ）的闭合曲线计算的。由于 T （ s ）的奈奎斯特曲线关于实轴对称，因此在实际中可以只绘制 ω 从0到+∞变化时的 T （ s ），此时得到的曲线定义为 T （ s ）的半闭合曲线 Γ _FH ，于是，圈数 R 的计算公式如下：

式中， N 为 Γ _FH 穿越（-1，j0）点左侧负实轴的等效次数； N ₊ 为 Γ _FH 从上向下穿越（正穿越）（-1，j0）点左侧负实轴的次数； N _-为 Γ _FH 从下向上穿越（负穿越）（-1，j0）点左侧负实轴的次数。

根据奈奎斯特稳定判据，当控制系统开环稳定，即开环传递函数 T （ s ）没有右半平面极点时，控制系统闭环稳定的充分必要条件可进一步简化为： T （ s ）的奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点。相反地，若开环传递函数 T （ s ）的右半平面极点数 P 不等于0，那么控制系统稳定必然要求 T （ s ）的奈奎斯特曲线包围（-1，j0）点，且逆时针包围的圈数 R 等于 P 。

3.对数频率稳定判据

奈奎斯特稳定判据是基于开环传递函数 T （ s ）在复平面的半闭合曲线 Γ _FH 来判定控制系统的闭环稳定性，由于奈奎斯特曲线也可以转换为伯德图，因此相对应地也可以从 T （ s ）的对数频率特性上评估系统稳定性，其关键在于确定穿越次数 N 或 N ₊ 和 N _-。

图2.3给出了一个典型传递函数的幅相特性曲线 Γ _FH 与对数频率特性曲线 L （ ω ）和 φ （ ω ），通过对比可得穿越次数的计算方法如下：

1）正穿越一次： Γ _FH 由上向下穿越（-1，j0）点左侧的负实轴一次，等价于 L （ ω ）>0时， φ （ ω ）由下向上穿越（2 k +1）π线一次，其中， k 为整数。

2）负穿越一次： Γ _FH 由下向上穿越（-1，j0）点左侧的负实轴一次，等价于 L （ ω ）>0时， φ （ ω ）由上向下穿越（2 k +1）π线一次。

3）正穿越半次： Γ _FH 由上向下止于或起于（-1，j0）点左侧的负实轴，等价于 L （ ω ）>0时， φ （ ω ）由下向上止于或起于（2 k +1）π线。

4）负穿越半次： Γ _FH 由下向上止于或起于（-1，j0）点左侧的负实轴，等价于 L （ ω ）>0时， φ （ ω ）由上向下止于或起于（2 k +1）π线。

2.1.3 稳定裕度

在奈奎斯特稳定判据中，（-1，j0）点称为临界点，幅相特性曲线 Γ _FH 偏离临界点的程度可以反映出系统的相对稳定性，即稳定裕度。控制系统的稳定裕度常用幅值裕度 GM 和相角裕度 PM 来度量。

1.幅值裕度 GM

设 ω _x 为系统的穿越频率，则系统的开环传递函数 T （ s ）在 ω _x 处的相角为

相应地，系统在极坐标系和对数坐标系下的幅值裕度 GM 分别定义为

幅值裕度 GM 的含义为：对于一个闭环稳定系统，如果其开环幅频特性再增大 GM 倍，则系统将处于临界稳定状态；对于一个闭环不稳定的系统，幅值裕度指出了为使系统临界稳定，开环幅频特性应当减小到原来的1/ GM 。

当系统开环传递函数的奈奎斯特曲线与负实轴不相交，或其对数频率特性曲线与（2 k +1）π线不相交，则系统的幅值裕度 GM 为无穷大。

2.相角裕度 PM

设 ω _c 为系统的截止频率，则系统的开环传递函数 T （ s ）在 ω _c 处的幅值为

相应地，系统的相角裕度 PM 定义为

相角裕度 PM 的含义为：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 PM 度，则系统将处于临界稳定状态。

图2.4给出了稳定和不稳定系统分别在极坐标系和对数坐标系下的稳定裕度示意图。需要说明的是：这里均假设系统的开环传递函数 T （ s ）没有右半平面极点，即系统开环稳定。而对于具有不稳定开环传递函数的非最小相位系统，除非 T （ s ）的奈奎斯特曲线包围（-1，j0）点，否则不能满足稳定条件。因此，这种稳定的非最小相位系统将具有负的相角裕度和幅值裕度。