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根据柯西辐角原理，1/［1+ T 2 （ s ）］没有右半平面极点等价于阻抗比 T 2 （ s ）= Z o，1 （ s ） Y in，2 （ s ）= Z o，1 （ s ）/ Z in，2 （ s ）满足奈奎斯特稳定判据，其中， Z in，2 （ s ）=1/ Y in，2 （ s ）为负载变换器的输入阻抗。同时考虑到源变换器和负载变换器独立稳定运行时， T 2 （ s ）没有右半平面极点，因此级联直流系统的阻抗比判据可以描述为：当且仅当阻抗比 T 2 （ s ）的奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点时，系统稳定，反之则不稳定。需要指出的是，阻抗比 T 2 （ s ）也被Middlebrook教授定义为系统等效环路增益，这是由于系统的输入-输出关系式（3.1）可以基于 T 2 （ s ）描述为控制理论中的负反馈系统，其中 T 2 （ s ）为该负反馈系统的开环增益，如图3.3所示。
图3.3 基于等效环路增益的负反馈控制框图
阻抗比判据是两变换器级联直流系统稳定的充要条件。当阻抗比 T 2 （ s ）的奈奎斯特曲线穿过（-1，j0）点时，系统处于临界稳定状态。因此，（-1，j0）点为系统稳定性的临界点，而阻抗比 T 2 （ s ）的奈奎斯特曲线相对于临界点的位置即为系统偏离临界稳定的程度，可以反映系统的相对稳定性。为此，基于阻抗比 T 2 （ s ）可以定义直流系统的稳定裕度，如图3.4所示。其中， PM 为相角裕度， GM =-20lg| gm |为增益裕度，它们的计算公式分别为
式中， f 1 为截止频率； f 2 为穿越频率。
图3.4 级联直流系统的稳定裕度
根据阻抗比 T 2 （ s ）的相位裕度的定义，也可以根据 Z o，1 （ s ）和 Z in，2 （ s ）在伯德图上的交截情况评估系统稳定性，具体如下：
1）当 Z o，1 （ s ）和 Z in，2 （ s ）的幅频特性曲线不发生交截时，系统稳定。
2）当 Z o，1 （ s ）和 Z in，2 （ s ）的幅频特性曲线存在交截，但交截频率处 Z o，1 （ s ）和 Z in，2 （ s ）的相位差小于180°时，系统稳定；若相位差大于180°，系统不稳定，且此时的交截频率约等于系统的振荡频率。
阻抗比 T 2 （ s ）定义为源变换器与负载变换器的阻抗之比，实际上 T 2 （ s ）的倒数，即反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）也可以用以评估整个系统的稳定性，这是由于：
由式（3.8）可以看出：1/［1+ Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）］是否含有右半平面极点等价于系统特征方程是否有右半平面的根。结合奈奎斯特稳定判据可知：当且仅当反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）满足奈奎斯特稳定判据，即反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）的右半平面极点数与其奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数相同时，系统稳定。
不过，与阻抗比判据不同的是：当源变换器或负载变换器是非最小相位系统时，即使它们可以独立稳定运行， Z o，1 （ s ）或 Y in，2 （ s ）也会存在右半平面零点，这将导致反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）中存在右半平面极点。反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）的右半平面极点数计算方法为
式中，P{ }和Z{ }分别表示传递函数的右半平面极点数和零点数。
根据柯西辐角原理，由于 Z o，1 （ s ）没有右半平面极点，因此其右半平面零点数与其奈奎斯特曲线顺时针包围原点的圈数相同；同样地， Y in，2 （ s ）的右半平面零点数也等于其奈奎斯特曲线顺时针包围原点的圈数。需要说明的是，当反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）中存在右半平面极点时，系统稳定要求其奈奎斯特曲线必须包围（-1，j0）点。
除上述比值型稳定判据外，和式稳定判据也可以用于评估两变换器级联直流系统的小信号稳定性，例如阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）。将式（3.4）代入阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）可得
显然，阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）的分子多项式刚好为系统的特征多项式，因此当且仅当阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）没有右半平面零点时，系统稳定，反之则不稳定。需要指出的是，当负载变换器为非最小相位系统时， Z in，2 （ s ）存在右半平面极点，此时阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）也存在右半平面极点，且其数目与 Y in，2 （ s ）的右半平面零点数相同。因此，结合柯西辐角原理，系统小信号稳定要求：阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）的奈奎斯特曲线逆时针包围原点的圈数应等于 Y in，2 （ s ）的奈奎斯特曲线顺指针包围原点的圈数。
基于导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）的稳定判据是另一种和式判据，其中， Y o，1 （ s ）=1/ Z o，1 （ s ）为源变换器的输出导纳。将式（3.4）代入导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）有
显然，导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）的分子也刚好为系统的特征多项式，因此当且仅当导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）没有右半平面零点时，系统稳定，反之则不稳定。与阻抗和类似，当源变换器为非最小相位系统时， Y o，1 （ s ）存在右半平面极点，此时导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）也存在右半平面极点，且其数目与 Z o，1 （ s ）的右半平面零点数相同。因此，结合柯西辐角原理，当且仅当导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）的奈奎斯特曲线逆时针包围原点的圈数与 Z o，1 （ s ）的奈奎斯特曲线顺时针包围原点的圈数相同时，系统稳定，反之则不稳定。
从直流母线侧来看，图3.1所示级联直流系统可以认为是一个一端口等效网络，如图3.5所示，其中， i inj （ s ）是外部设备向直流母线注入的电流。于是母线阻抗 Z bus （ s ）定义为
图3.5 两变换器级联直流系统的母线阻抗
由式（3.12）可以看出：母线阻抗 Z bus （ s ）与导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）互为倒数，这表明母线阻抗 Z bus （ s ）的分子多项式为系统的特征多项式，因此系统稳定的充要条件是母线阻抗 Z bus （ s ）没有右半平面极点。与导纳和相同，当源变换器为非最小相位系统时， Y o，1 （ s ）存在右半平面极点，导致母线阻抗 Z bus （ s ）也存在右半平面零点，且其数目与 Z o，1 （ s ）的右半平面零点数相同。结合柯西辐角原理，当且仅当母线阻抗 Z bus （ s ）的奈奎斯特曲线顺时针包围原点的圈数等于 Z o，1 （ s ）的奈奎斯特曲线顺时针包围原点的圈数时，系统稳定，反之则不稳定。
特别地，当源变换器为最小相位系统时，两变换器级联直流系统的稳定性仅与 Z bus （ s ）的奈奎斯特曲线是否包围（0，j0）点有关，即不包围时系统稳定，反之则不稳定。在这种情况下，无源理论要求母线阻抗 Z bus （ s ）的奈奎斯特曲线不能进入 s 平面的左半平面，因此基于母线阻抗 Z bus （ s ）的无源判据可以表述为： Z bus （ s ）没有右半平面极点且对任意的 ω 均满足∠ Z bus （j ω ）∈［-90°，90°］或Re［ Z bus （j ω ）］≥0。需要指出的是，当源变换器为最小相位系统时，无源判据是两变换器级联直流系统稳定的充分非必要条件。
根据式（3.5）、式（3.8）、式（3.10）～式（3.12）可得
式中，R{ }表示右半平面根的个数。
由式（3.13）可以看出：系统特征方程是否存在右半平面的根可由等效环路增益（阻抗比） T 2 （ s ）= Z o，1 （ s ）/ Z in，2 （ s ）、反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）、阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）、导纳和 Y o，1 （ s ）+ Y in，2 （ s ）与母线阻抗 Z bus （ s ）中的任意一个进行确定，因此上述五种稳定判据在控制理论上完全等价。但这些稳定判据在实际应用时又各有特点，表3.1总结了它们在不同方面的对比情况，详细分析如下。
表3.1 级联直流系统的稳定判据对比
1）从稳定判据构造的视角来看，基于系统特征方程的稳定判据是从整个系统的闭环输入-输出传递函数推导得到的；阻抗比判据、反阻抗比判据、阻抗和判据与导纳和判据是通过将整个系统在直流母线处划分为两个子系统（或两个变换器）进而构造出来的；而母线阻抗判据则是从直流母线处将整个系统视为一个一端口网络从而提出的。
2）从是否需要对变换器分类的角度来看，基于系统特征方程的稳定判据、阻抗比判据和反阻抗比判据均需要确定变换器的类型，即是源变换器还是负载变换器，但剩余三种稳定判据则无需事先确定变换器类型。
3）上述几种稳定判据都需要对两个变换器的端口阻抗进行传递函数计算，若阻抗计算后，传递函数中的一个右半平面极点与一个右半平面零点完全相等，那么这个右半平面零点或极点对系统稳定性的影响将会被抵消，从而导致对系统稳定性作出误判。若能避免传递函数表达式中右半平面的零点和极点同时存在，就能从根本上避免零极点对消对系统稳定性的影响。由于系统特征方程仅仅是一个多项式，不存在分母，因此不可能发生零极点对消。在比值型判据中，由于 Z o，1 （ s ）和 Y in，2 （ s ）均没有右半平面极点，因此阻抗比 Z o，1 （ s ）/ Z in，2 （ s ）没有右半平面极点，反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）没有右半平面零点，这意味着两种稳定判据都不会出现右半平面零极点对消的可能。剩余三种稳定判据则可能会出现零极点对消，以阻抗和判据为例进行分析，由式（3.10）可以看出，当负载变换器为非最小相位系统时， N in，2 （ s ）一定存在右半平面零点，这导致阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）一定存在右半平面极点，当这一右半平面极点与阻抗和分子多项式（即系统特征多项式）的右半平面零点相同时，阻抗和 Z o，1 （ s ）+ Z in，2 （ s ）的奈奎斯特曲线或伯德图均无法反映出对消的右半平面零点，此时基于阻抗和的稳定性评估结果将可能出错。
4）除了评估系统的小信号稳定性外，还期望基于阻抗的稳定判据可以评价系统的稳定裕度，以确定系统的相对稳定性。在经典控制理论中，稳定裕度是基于稳定的开环增益进行定义的，这要求阻抗判据一定不能存在右半平面极点。同时，开环增益的分子多项式最高次数不能高于分母多项式。显然，只有阻抗比判据满足上述要求，因此可以基于阻抗比定义两变换器级联直流系统的稳定裕度，具体方法已在3.2.1节给出。
5）在实际工程应用中，由于系统的“灰箱”或“黑箱”属性，导致基于传递函数的阻抗精确建模难以实现，此时基于端口阻抗测量的扫频方法能有效替代阻抗建模进行系统稳定性分析。这种情况下，几类稳定判据评估系统稳定性的可实现性与复杂程度不尽相同。其中，系统特征方程需要拆解两个变换器阻抗的分子和分母，但基于扫频数据无法完成阻抗的分子分母拆分，因此不适用于“灰箱”或“黑箱”系统。基于 Z o，1 （ s ）和 Y in，2 （ s ）的阻抗扫频数据可以计算得到阻抗比 Z o，1 （ s ） Y in，2 （ s ），进而绘制其奈奎斯特曲线并对系统稳定性进行评估。根据3.2.3节～3.2.5节，阻抗和判据、导纳和判据与母线阻抗判据不但需要绘制对应的阻抗和、导纳和与母线阻抗的奈奎斯特曲线，还需要单独绘制其中一个变换器阻抗的频率特性曲线以分析右半平面零极点数，相较于阻抗比判据略复杂。根据3.2.2节，基于反阻抗比判据的稳定性评估最复杂，这是由于该判据需要同时绘制 Z o，1 （ s ）、 Y in，2 （ s ）和反阻抗比 Z in，2 （ s ）/ Z o，1 （ s ）的奈奎斯特曲线进行分析。