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为了评估电力电子系统的小信号稳定性，需要首先构建系统内部各电力电子变换器的小信号数学模型。由于电力电子变换器中包含功率开关器件及二极管等非线性元件，而这些非线性元件周期性地导通或关断将引起变换器功率电路结构在时间上的变化，因此电力电子变换器本身是一个非线性的时变系统。要建立电力电子变换器的数学模型，从理论上得到瞬态响应的精确解析解是较为困难的。因此在工程应用中，常常采用数学手段简化复杂的物理模型，从而获得近似的数学模型。
小信号分析法是适用于非线性系统线性化的一种较好的理论建模方法，也是目前电力电子变换器动态建模与分析的常用方法。其基本思想是：假设电力电子变换器运行在某一稳态工作点附近，当扰动信号很小时，在稳态工作点附近的电力电子变换器可以被近似看作一个线性系统，从而可以建立其小信号线性动态模型。目前，状态空间平均法是DC-DC变换器小信号建模最为常用的方法，于20世纪70年代提出，对电力电子系统的建模与动态特性研究影响深远。
状态空间平均法的主要思路是：根据开关器件的导通和关断，对变量在一个开关周期内进行平均，用周期平均值代替实际值，继而通过占空比加权得到状态平均方程，再经小信号扰动和线性化处理，得到DC-DC变换器的小信号线性模型。状态空间平均法需满足三个假设条件，即“小信号”假设、“低频”假设和“小纹波”假设。其中，“小信号”假设是指扰动信号的幅值远低于直流工作点；“低频”假设是指扰动频率远低于开关频率，这样可以近似认为各物理量在一个开关周期内基本维持恒定，用周期平均值代替瞬时值不会引起较大误差；“小纹波”假设则认为变换器中各状态变量和调制信号中的开关纹波远低于其直流量，可以忽略不计。
目前，应用状态空间平均法对某些特定DC-DC变换器（如Buck变换器和Boost变换器）进行小信号建模的详细过程在很多已出版的教材或专著中给出，因此下面将仅给出状态空间平均法的基本步骤和结论。需要指出的是，本书仅考虑工作在电流连续模式（Continuous Current Mode，CCM）下的电力电子变换器小信号模型。
（1）分段列写DC-DC变换器的状态方程
由于开关器件存在导通和关断两种工作状态，因此CCM下的DC-DC变换器一般在每个开关周期 T s 内都存在两个工作阶段。为此，需要首先对这两个工作阶段分别列写如下形式的状态方程与输出方程：
式中，
x
（
t
）为状态向量，一般取独立的电容电压和电感电流；
表示
x
（
t
）对
t
的导数；
u
（
t
）为输入向量，由变换器的输入变量构成，比如输入电压；
y
（
t
）为输出向量，由变换器的输出变量构成，比如输出电压或输出电流；
A
x
为状态矩阵；
B
x
为输入矩阵；
C
x
为输出矩阵；
E
x
为传递矩阵（
x
=1，2）。
（2）求稳态工作点
当DC-DC变换器满足三个假设条件时，根据状态空间平均法并分离各变量扰动后，其稳态工作点可以通过求解下式确定：
式中， X 、 U 和 Y 分别为 x （ t ）、 u （ t ）和 y （ t ）的直流分量向量，矩阵 A 、 B 、 C 和 E 由式（2.19）给出。
式中， D 为占空比 d （ t ）的稳态值。
（3）建立小信号状态方程与输出方程
根据状态空间平均方法并分离各变量扰动后，可得时域小信号状态方程与输出方程为
式中，带“
”的变量表示相应变量的小扰动。
将式（2.20）变换到 s 域即可求解得到状态向量和输出向量分别与输入向量和占空比间的关系式：
式中， I 为单位矩阵，其阶数与状态矩阵一致。
根据式（2.21）和式（2.22）即可得到DC-DC变换器各输入变量到输出变量间的传递函数表达式。
在建模时，由于不同类型的DC-DC变换器具有不同的电路结构与参数，因此上述基于状态空间平均的建模方法必须要针对每一种DC-DC变换器的特性单独分析，从而分别得到各自的解析模型。实际上，对于常见的、具有简单结构的DC-DC变换器，图2.8给出了一种CCM下的通用稳态和小信号等效电路模型。该模型不但可以直观反映出DC-DC变换器的小信号控制作用、直流电压变换作用以及低频传递函数特性，而且便于对各种DC-DC变换器的特性进行统一分析和比较。
在图2.8所示等效电路模型中， v in 和 i in 分别为输入电压和输入电流， v o 和 i o 分别输出电压和输出电流，大写字母变量表示相应小写字母变量的稳态值， R 为电阻负载，下标e表示相应元件或传递函数的等效值。该等效电路的结构是由DC-DC变换器自身的如下功能进行设计的：
图2.8 CCM下，DC-DC变换器的通用稳态和小信号等效电路模型
（1）直流变换功能
等效电路中设计了电压比为1: M （ D ）的理想变压器，该理想变压器不但可以变换直流电，同时可以变换交流小信号。
（2）低通滤波作用
变换器中用于存储与转换能量的储能元件对高频开关的纹波具有滤波作用，同时对低频小信号的幅值与相位也会产生相应影响，因此在等效电路中用 L e 、 C e 及其串联等效电阻 R L e 和 R C e 组成的LC低通滤波器模拟这一功能。
（3）占空比的控制作用
等效电路中占空比
d
（
s
）的小信号分量
的控制作用是通过电压源
与电流源
共同体现的，其中
e
（
s
）和
j
（
s
）为控制传递函数，由变换器的元件参数及稳态工作点决定，不同变换器
e
（
s
）和
j
（
s
）不相同。
若要利用等效电路模拟DC-DC变换器的直流变换功能，只需要令图2.8中所有小信号分量全部为零，同时将电感短路、电容开路，即可得到：
若要利用等效电路模拟DC-DC变换器的小信号动态特性，只需要将图2.8中输入和输出电压、电流的稳态值置零，即可得到图2.9所示DC-DC变换器的通用小信号等效电路模型。表2.1给出了图2.10所示几种典型DC-DC变换器与图2.9对应的电路参数。
图2.9 CCM下，DC-DC变换器的通用小信号等效电路模型
图2.10 几种典型DC-DC变换器
表2.1 几种典型DC-DC变换器的通用小信号等效电路模型参数
根据图2.9可得
当DC-DC变换器采用输出电压 v o （ s ）控制时，如图2.11所示，从二端口网络角度来看， i in （ s ）和 v o （ s ）是该DC-DC变换器向其前后端口输出的变量，相应地， v in （ s ）和 i o （ s ）则是前端模块和后端模块分别向DC-DC变换器输入的变量。请注意，占空比 d （ s ）也是该DC-DC变换器电路拓扑本身的一个输入变量。此时，由式（2.24）可构建DC-DC变换器所有输入变量到输出变量间的传递函数表达式为
式中，
Y
in，op
（
s
）为开环输入导纳；
G
ii，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数；
G
di，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数；
G
vv，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数；
Z
o，op
（
s
）为开环输出阻抗；
G
dv，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数。这些传递函数的表达式由式（2. 26）给出。
图2.11 二端口网络视角下的DC-DC变换器
式（2.25）即为DC-DC变换器采用输出电压控制方式时的开环小信号模型。
当DC-DC变换器采用输出电流 i o （ s ）控制时， i in （ s ）和 i o （ s ）则是该DC-DC变换器的输出变量，相应地， v in （ s ）和 v o （ s ）则是其输入变量。此时，由式（2.24）可构建DC-DC变换器所有输入变量到输出变量间的传递函数表达式为
式中，
Y
tr，1，op
（
s
）为从
到
的开环转移导纳；
G
di，1，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数；
Y
tr，2，op
（
s
）为从
到
的开环转移导纳；
Y
o，op
（
s
）为开环输出导纳；
G
di，2，op
（
s
）为从
到
的开环传递函数。
式（2.27）中的六个传递函数表达式由式（2.28）给出。
式（2.27）即为DC-DC变换器采用输出电流控制方式时的开环小信号模型。
特别地，下面以图2.10a所示的Buck变换器为例，建立其开环小信号模型。
当Buck变换器采用输出电压控制方式时，将表2.1相关参数代入式（2.26）并整理可得此时Buck变换器开环小信号模型的六个传递函数分别为
式中，传递函数 G Buck （ s ）由式（2.30）给出。
当Buck变换器采用输出电流控制方式时，将表2.1相关参数代入式（2.28）并整理可得，此时Buck变换器开环小信号模型的六个传递函数分别为
从上述小信号模型来看，系统的输入-输出传递函数与占空比直接相关，那么当负载或输入电压等参数波动时，如果不对占空比进行相应调整，必将引起变换器输出量的变化。因此，实际的DC-DC变换器必须要引入闭环反馈控制，以实现对占空比自动调整，从而抑制扰动量对变换器输出的影响，同时使变换器自身具备较好的负载调整率、输入电压调整率等动态性能。为此，下面将进一步推导DC-DC变换器采用不同控制方式下的闭环小信号模型。
图2.12所示为DC-DC变换器采用输出电压单闭环控制时的控制框图，其中，
为输出电压的控制参考值；
H
v
（
s
）为输出电压采样模块的传递函数；
G
v
（
s
）为电压控制器的传递函数；
G
m
（
s
）为脉冲宽度调制（Plus Width Modulation，PWM）增益。
由图2.12可得，占空比 d （ s ）的小信号表达式为（通常认为控制参考值的扰动为零）：
图2.12 输出电压单闭环控制框图
将式（2. 32）代入式（2. 25）并消去
，可得单电压环控制方式下，DC-DC变换器的闭环小信号模型为
式中，
Y
in
（
s
）为闭环输入导纳；
G
ii
（
s
）为从
到
的闭环传递函数；
G
vv
（
s
）从
到
的闭环传递函数；
Z
o
（
s
）为闭环输出阻抗。这些传递函数如式（2. 34）所示，其中
T
op，v
（
s
）为单电压环控制回路的开环增益，其表达式由式（2. 35）给出。
式（2.33）也称为DC-DC变换器在单电压环控制下的闭环二端口小信号模型，其等效电路和结构图形式如图2.13所示。
图2.13 单电压环控制下DC-DC变换器的闭环二端口小信号模型
图2.14所示为DC-DC变换器采用输出电流单闭环控制时的控制框图，其中，
为输出电流的控制参考值；
H
i
（
s
）为输出电流采样模块的传递函数；
G
i
（
s
）为电流控制器的传递函数。此时，占空比
d
（
s
）的小信号表达式为
图2.14 输出电流单闭环控制框图
将式（2. 36）代入式（2. 27）并消去
，可得单电流环控制方式下DC-DC变换器的闭环小信号模型为
式中，
Y
tr，1
（
s
）为从
到
的闭环转移导纳；
Y
tr，2
（
s
）为从
到
的闭环转移导纳；
Y
o
（
s
）为闭环输出导纳。这些传递函数的解析表达式由式（2. 38）给出，其中
T
op，i
（
s
）为单电流环控制回路的开环增益，其表达式由式（2. 39）给出。
式（2.37）也称为DC-DC变换器在单电流环控制下的闭环二端口小信号模型，其等效电路和结构图形式如图2.15所示。
图2.16所示为DC-DC变换器采用基于输出电流的电压下垂控制时的控制框图，其中， H d （ s ）为下垂系数。此时，占空比 d （ s ）的小信号表达式为
图2.15 单电流环控制下DC-DC变换器的闭环二端口小信号模型
图2.16 下垂控制框图
将式（2. 40）代入式（2. 25）并消去
，即可得下垂控制方式下DC-DC变换器的闭环小信号模型。由于采用下垂控制的DC-DC变换器仍然向其后端模块提供输出电压，所以其闭环小信号模型与式（2. 33）的形式完全一致。但由于控制环路中增加了输出电流支路，因此闭环小信号模型中四个传递函数的解析表达式与式（2. 34）不完全相同，具体为
需要说明的是，对于采用下垂控制的DC-DC变换器，其小信号模型所对应的等效电路和结构图形式与图2.13完全相同。
图2.17所示为DC-DC变换器采用电压电流双闭环控制时的控制框图，其中 i L （ s ）为电感电流，此时占空比 d （ s ）的小信号表达式为
图2.17 电压电流双闭环控制框图
由图2.9可得
将式（2.43）代入式（2.42）并整理可得
将式（2. 44）代入式（2. 25）并消去
，即可得电压电流双闭环控制方式下DC-DC变换器的闭环小信号模型，其形式与式（2. 33）也完全一致。但由于控制环路中增加了电流内环，因此闭环小信号模型中四个传递函数的解析表达式与式（2. 34）完全不同，具体为
式中， T op，vi （ s ）为电压电流双闭环控制回路的开环增益，其表达式由式（2.46）给出。
需要说明的是，对于采用电压电流双闭环控制的DC-DC变换器，其小信号模型所对应的等效电路和结构图形式与图2.13也完全相同。