1.3 二进制数的算术运算

二进制数加、减、乘、除四则运算，在数字系统中是经常遇到的，下面介绍无符号二进制数和有符号二进制数的算术运算。

1.3.1 无符号二进制数的算术运算

无符号二进制数算术运算规则与十进制数很相似，唯一的区别在于二进制数是“逢二进一，借一当二”，而不是十进制数的“逢十进一，借一当十”，其运算规则如下：

1）加法规则：0+0=0；0+1=1+0=1；1+1=［1］0（方括号中的1是进位位，表示两个1相加“逢二进一”）。

2）减法规则：0-0=1-1=0；1-0=1；0-1=［-1］1（方括号中的-1是借位位，表示0减1时不够减，向高位借位，“借一当二”）。

3）乘法规则：0×0=0；0×1=1×0=0；1×1=1。

4）除法规则：0÷1=0；1÷1=1。

多位数二进制数加、减、乘、除四则运算列竖式的计算过程如下：

可见，二进制数乘法运算可归结为“移位与加法”。二进制数除法运算可归结为“移位与减法”。在无符号二进制数减法运算中无法表示负数，故要求被减数必须大于减数。但在计算机中为了节省设备和简化运算，一般只有加法器而无减法器，这就需要将减法运算转化为加法运算，从而使得算术运算只需要加法和移位两种操作。如果使用有符号的二进制数，那么二进制数减法运算也可以转换为加法运算。因此，二进制数的算术运算可以统一为加法运算的形式，这为电路的简化带来了极大的方便。

1.3.2 有符号二进制数的算术运算

1.原码、反码和补码

数字系统只能识别和处理用0和1表示的二进制形式的数码。有符号二进制数包含符号和数值信息，符号位一般放在最高位，用0和1分别表示这个数是正数还是负数，数值位则表示该数的大小。用“+”“-”符号表示出来的数称为真值。将数的“+”“-”符号和数值数码化后的二进制数称为机器数。机器数表示形式有三种：原码、反码和补码。

计算机中实际用8位二进制代码表示一个字符，称为一个字节。若计算机的寄存器为8位（一个字节），则数的存储格式如图1-6所示。最高位（MSB）为符号位，若此符号位为0，则该数为正（+）；若符号位为1，则该数为负（-）。剩下的7位表示该数的绝对值大小。这种自然表示机器数的形式称为原码。原码表示简单、直观，但用原码进行减法运算时，首先需要比较两个数绝对值的大小，然后用绝对值大的数减去绝对值小的数求出差值，并以绝对值大的数的符号作为差值的符号。这个操作过程比较麻烦，还需使用数值比较电路和减法运算电路，不容易实现。计算机等数字系统均采用补码进行有符号二进制数的减法运算。为了计算减法方便，因此引入了反码和补码。

正数的原码、反码和补码完全相同。

负数的原码、反码和补码符号位都为1，反码的数值位是原码的逐位求反（即1变0，0变1），反码也因此而得名。补码数值位为其反码加1得到，或简称“逐位求反加1”。

例如：［+6］ _原码 =［+6］ _反码 =［+6］ _补码 =0 0110

［-6］ _原码 =1 0110［-6］ _反码 =1 1001［-6］ _补码 =1 1010

特殊：［+0］ _原码 =［+0］ _反码 =［+0］ _补码 =0 0000000

［-0］ _原码 =1 0000000［-0］ _反码 =1 1111111

［-0］ _补码 =1 1111111+1=0 0000000

所以有：［+0］ _补码 =［-0］ _补码 =0 0000000

表1-4列出了带符号的3位二进制数原码、反码、补码对应关系。

对于 n 位有符号的二进制数的原码、反码及补码所表示的二进制数的范围分别为

1）原码：-（2 ^{n -1} -1）～+（2 ^{n -1} -1）。

2）反码：-（2 ^{n -1} -1）～+（2 ^{n -1} -1）。

3）补码：-2 ^{n -1} ～+（2 ^{n -1} -1）。

2.补码运算

补码的原理可以用时钟调整来说明。如图1-7所示，如果要将时钟从9点拨到4点，可以向后拨5个格，9-5=4，也可以向前拨7个格，9+7=16。由于时钟是一个十二进制的计数体制，一个计数系统的计数基数称为“模”，超过模12以后的“进位”将自动消失，舍去进位（溢出）后，剩下的余数即为需要的结果，即16-12=4，也将表针拨回到了4点。这个例子说明，9-5的减法运算可以用9+7的加法运算代替。所以称7为-5对模12的补数，也称为补码（Complement）。

在数字系统中，有符号二进制数一律用补码进行存储和计算。通过引入补码，减法运算可以变为加法运算（减去一个正数相当于加上一个负数）。补码加、减运算规则如下：

［ X + Y ］ _补 =［ X ］ _补 +［ Y ］ _补

［ X-Y ］ _补 =［ X +（ -Y ）］ _补 =［ X ］ _补 +［ -Y ］ _补

{［ X ± Y ］ _补 } _补 =［ X ± Y ］ _原

进行二进制补码运算时，被加数和加数的补码的位数要相同，因此两个二进制数的补码采用相同的位数表示，即让两个二进制数的补码的符号位对齐。两个二进制数的补码相加时，方括号中的1是进位，在计算时自动舍去，因为上述运算是以4位二进制补码表示的，计算结果仍然保留4位。

3.溢出的判别

溢出的判别对有符号数的运算是非常重要的，它表明结果是否超出范围。“溢出”仅发生在两个同符号的数（两个正数或者两个负数）相加的情况下。如果两个正数相加的结果大于机器数所能表示的最大正数，称为正溢出；如果两个负数相加的结果小于机器数所能表示的最小负数，称为负溢出。

溢出判别的简便规则如下：

1）符号判断法：同符号数相加可能溢出，异符号数相加不会溢出。

2）进位判断法：若进位位和数的符号位取值相同，则运算没有产生溢出，否则发生溢出。

通过图1-8所示的实例来说明两个同符号的数溢出判别问题。

对于两个符号相同的数做加法运算，若进位位和数的符号位取值相同，则运算没有产生溢出，结果是正确的，如图1-8a、b所示；若进位位和数的符号位取值相反，则其运算产生了溢出，结果是错误的，如图1-8c、d所示。错误产生的原因在于4位二进制补码中有3位是数值位，所表示的范围为-8～+7。而图1-8c、d的计算结果分别为+9（1001为-7的补码）和-9（0111为+7的补码），均超过了该表示范围，因而产生了溢出。当产生溢出时，可通过扩展二进制数的位数来保证计算结果的正确性。

思考与练习

1.3-1 为什么说二进制数的加法运算是算术运算的基础？

1.3-2 二进制数的减法运算过程有什么规律？

1.3-3 说明反码与补码之间的关系。

1.3-4 说明溢出产生的原因。 qUIkd9WnPYtVw5JJtm0rNVyHZzWrVIVpJozwQlNIjXuUO9Ym2tJufEC+AQ/723yW