下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
一个逻辑问题可用逻辑函数来描述，将表示原因的逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的值便被唯一地确定下来。这种输出与输入之间的逻辑关系，称为逻辑函数。逻辑函数的一般表达式可写为
逻辑函数的概念与普通代数中的函数一样，不过，在逻辑函数中，将自变量A、B、C等叫做输入变量或逻辑变量，将因变量Y或F叫做输出变量或逻辑函数，取值只能是“0”或是“1”， f 为某种对应的逻辑关系。
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有以下几个突出的特点：
1）逻辑变量（输入变量）和逻辑函数（输出变量）只能取两个值0和1。
2）逻辑函数与输入变量之间的关系是由“与”“或”“非”三种基本逻辑运算决定的。
3）逻辑函数的相等：要求很严格，对应于输入变量的任何一组取值组合，两个函数的值都应该相同，这两个逻辑函数才相等，否则为不相等。
数字逻辑系统中一个逻辑函数有五种表示方法，分别是逻辑真值表（简称真值表）、逻辑函数式（简称逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图和卡诺图。这五种逻辑描述方法可以相互转换。这里先介绍前四种。
真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。为避免遗漏，按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合2 n 。
【 例2-8 】三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。
解 ：第一步：设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A、B、C，并规定只能有同意或不同意两种意见；将表决结果设置为因变量Y，显然也只有两种情况。
第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C，设同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。对于因变量Y，设事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。
第三步：因此A、B、C为输入量，Y为输出量。根据题意及上述规定列出输入量与输出量之间关系的真值表见表2-4。
表2-4 例2-8真值表
由真值表可以看出，当自变量A、B、C取确定值后，因变量Y的值就完全确定了。所以，Y就是A、B、C的函数。A、B、C常称为输入逻辑变量，Y称为输出逻辑变量。
逻辑函数式就是用各逻辑变量相互间与、或、非逻辑运算组合表示的逻辑函数。书写逻辑函数式的方法是，把真值表中逻辑值为1的所有项相加（或），每一项中，A、B、C的关系为“与”，输入变量值为1时取原码，输入变量值为0时取反码。如上述三人多数表决通过的逻辑函数式为
逻辑图就是用规定的逻辑电路符号及它们之间的连线连接组成的电路图。根据逻辑函数式画逻辑图的方法是，逻辑乘用与门实现，逻辑加用或门实现，逻辑非用非门实现。图2-11为三人多数表决逻辑图。
波形图是逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列的图形，也称为时序图。图2-12为三人多数表决逻辑函数的波形图。
对同一逻辑函数，真值表、卡诺图和波形图具有唯一性；逻辑函数式和逻辑图可有多种不同的表达形式。下面介绍它们之间的转换。
图2-11 三人多数表决逻辑图
图2-12 三人多数表决逻辑函数的波形图
方法是将真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑函数式。例如，异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出
。
画出真值表的表格，将变量及变量的所有取值组合按照二进制递增的次序列入表格左边，真值表左边输入变量的取值组合是固定的，把真值表左边每一种输入变量的取值的所有状态组合逐一列出，代入逻辑函数式中，求出相应的函数值，填入表格右边对应的位置上，列成表格即得到该函数的真值表。
【
例2-9
】列出函数
的真值表。
解 ：该函数有2个变量，有4种取值的可能组合，将它们按顺序排列起来即可得出真值表，见表2-5。
表2-5
的真值表
把逻辑函数式中的每一种逻辑关系用相对应的逻辑符号表示出来即可得到该逻辑函数的逻辑图。
方法是，从输入端到输出端，逐级画出各个门电路的逻辑图，最后画出各个输出端的逻辑图。
【
例2-10
】画出逻辑函数
的逻辑图。
解 ：如图2-13所示。
图2-13 例2-10的逻辑图
从输入端开始逐级写出每个逻辑图形符号对应的逻辑运算，直至输出，就可以得到逻辑函数式。
【 例2-11 】写出图2-14所示逻辑图的逻辑函数式。
图2-14 例2-11的逻辑图
解 ：该逻辑图是由基本的“与”“或”逻辑符号组成的，可由输入至输出逐步写出逻辑函数式：
L=AB+BC+AC
【 例2-12 】已知函数Y的逻辑图如图2-15所示，写出函数Y的逻辑函数式。
图2-15 例2-12的逻辑图
解 ：根据逻辑图逐级写出输出端逻辑函数式如下：
最后得到函数Y的表达式为
【
例2-13
】已知函数的连接表达式
。要求：列出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻辑图。
解 ：1）根据逻辑函数式，画出逻辑图如图2-16a所示。
2）将A、B、C的所有组合代入逻辑函数式中进行计算，得到真值表如图2-16b所示。
3）根据真值表，画出的波形图如图2-16c所示。
图2-16 例2-13图
逻辑函数的表示方法除了前面介绍的五种常用形式之外，还有两种标准形式：最小项表达式（标准与或式）和最大项表达式（标准或与式）。
（1）最小项的定义
如果一个逻辑函数的某个乘积项包含了逻辑函数的表达式整个域所有的变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准乘积项，通常也称为最小项。
一个变量A共有2
1
=2个最小项：A、
；
两个变量A、B共有2
2
=4个最小项：
、AB；
三个变量A、B、C共有2
3
=8个最小项：
、ABC。
依此类推， n 个变量一共有2 n 个最小项。
最小项的二进制表示：最小项用小写字母m
i
表示，其中，m是最小项通用符号，下标
i
称为编号。编号的方法为：最小项中的原变量取“1”，反变量取“0”，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数即为最小项的编号。一个最小项等于1，这时仅对应一种二进制变量值的组合。例如，三变量最小项
=1，这时A=1，B=0，C=1，对应的变量取值是101，它对应的十进制数是1×2
2
+0×2
1
+1×2
0
=4+0+1=5。因此该最小项
为m
5
。
（2）最大项的定义
设有
n
个逻辑变量组成的和项中每个变量以原变量形式或以反变量形式仅出现一次，此和项称为
n
个变量的最大项。由最大项的定义可知，
n
个变量可以构成2
n
个最大项。如有A、B两个变量时，共有2
2
=4个最大项，分别为
、A+B。
一般用M i 表示最大项，最大项的下标是使该最大项为“0”时，输入二进制码所对应的十进制数；或是将最小项直接变为或项时，最大项的下标是最小项的补数。例如m的下标为5，三位二进制数的最大数为7，所以最大项的下标是7-5=2。也就是说，最小项和与之对应的最大项下标之和等于二进制码的最大数。
有三个变量A、B、C时的最小项和最大项见表2-6。
表2-6 三变量最小项和最大项的表示方法
掌握最小项和最大项的性质，有助于逻辑函数式的化简和变换，下面对它们的性质加以介绍。
1）对于任意一个最小项，仅对应一组二进制变量值的组合等于1，而其他变量取值都使它的值为0。
2）任意两个不同的最小项的乘积恒为0。
3）全部最小项之和恒为1。
4）同变量数下标相同的最大项和最小项互为反函数，即
。例如：
=
。
5）最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性。例如，全部最小项之和恒等于1；那么，全部最大项之积恒等于0，其他性质可类推。
有了最小项的概念，就可以将任意一个逻辑函数式展成若干个最小项之和的形式，这一形式称为与或标准型。例如：
为了分析最小项的性质，表2-7列出3个变量的所有最小项的真值表。
表2-7 三变量最小项真值表
【
例2-14
】将逻辑函数
转换成最小项表达式。
解
：该函数为三变量函数，而表达式中每项只含有两个变量，不是最小项。要变为最小项，就应补齐缺少的变量，办法为将各项乘以1，如AB项乘以
。
逻辑函数的变换是指保持逻辑函数真值表不变的条件下，逻辑函数形式上的变换。一个逻辑函数式除了与或型及或与型之外，还有与非与非型、或非或非型及与或非型。逻辑函数的这五种表达形式可以相互转换。例如：
这些逻辑函数式都可以用相应的与门、或门、与非门、或非门以及与或非门来实现，其电路如图2-17所示。
图2-17 同一逻辑关系的五种逻辑函数式
由于受到器件供货的限制，在用电子元器件组成实际的逻辑电路时，应该根据元器件的资源情况决定采用哪一种类型，并将逻辑函数式变换成相应的形式。为了实现逻辑函数式的逻辑关系，要采用相应的具体电路，有时需要对逻辑函数式进行变换或化简。逻辑函数的变换是指保持逻辑函数真值表不变的条件下，逻辑函数形式上的变换，以顺应实际设计的需要。下面学习逻辑函数的化简。
思考与练习
2.5-1 叙述逻辑函数的建立步骤，以及逻辑函数的几种表示方法。
2.5-2 思考真值表、逻辑函数式、逻辑图和波形图四种形式逻辑转换关系。
2.5-3 真值表的含义是什么，归纳列出真值表的方法。
2.5-4 什么是逻辑函数的最小项表达式？