2.2 基本和复合逻辑运算

逻辑代数是用来处理逻辑运算的代数。所谓逻辑运算，就是按照人们事先设定好的规则，进行逻辑推理和逻辑判断。参与逻辑运算的变量称为逻辑变量，用字母来表示。

2.2.1 基本逻辑运算

逻辑代数中只有三种基本运算：与运算、或运算、非运算。

1.与运算

决定事情结果的条件全部具备时，事情才会发生，即“缺一不可”，这种因果关系称为与运算。与运算也叫逻辑乘或逻辑与。在图2-1a所示的电路图中，两个开关A、B和一盏灯Y串联到电源上，只有两个开关A、B同时闭合时灯泡Y才会亮。图2-1b为与运算逻辑关系。逻辑函数式可写为Y=A×B=A·B=AB。如果开关不通和灯不亮均用“0”表示，而开关接通和灯亮均用“1”表示（逻辑赋值），则可得到输入、输出的真值表如图2-1c所示。在数字电路中能实现与运算的电路称为与门，其逻辑符号如图2-1d所示。

2.或运算

决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生。我们把这种因果关系称为或运算。或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事情就会发生，即“有一即可”。

如图2-2a所示电路，两个开关A、B并联和一盏灯Y串联到电源上，两个开关中有一个或两个闭合时，灯泡Y都会亮。图2-2b为或运算逻辑关系。逻辑函数式可写为Y=A+B。如果开关不通和灯不亮均用“0”表示，而开关接通和灯亮均用“1”表示（逻辑赋值），则可得到输入、输出的真值表如图2-2c所示。在数字电路中能实现或运算的电路称为或门，其逻辑符号如图2-2d所示。

3.非运算

决定事情结果的条件不具备时，事情才会发生，这种因果关系称为逻辑非。在图2-3a所示的电路中，一个开关A和一盏灯Y并联到电源上，开关A断开时，灯泡Y则亮。其逻辑关系如图2-3b所示，若用逻辑函数式来描述，则可写为 ，其真值表如图2-3c所示，从真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为 ，即“输入、输出始终相反”，其逻辑符号如图2-3d所示。在数字电路中实现非运算的电路称为非门电路（反相器）。

2.2.2 复合逻辑运算

其他复杂的复合逻辑运算都建立在与、或、非三种基本逻辑运算基础之上。将基本逻辑运算进行各种组合，可以获得与非、或非、与或非、异或、同或等组合逻辑运算。

1.与非运算

与非运算是由与运算和非运算组合起来实现的。先进行与运算，把与运算的结果再进行非运算。与非运算的逻辑符号、真值表如图2-4a和b所示。逻辑函数式可以写成 。

从其真值表中可以看出，只有A、B都为1时，Y才为0。与非逻辑正好和与逻辑相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生”。

2.或非运算

或非运算是由或运算和非运算组合而成。或非运算的表达式可以写成 。

或非运算的逻辑符号、真值表如图2-5a和b所示。或非逻辑与或逻辑也正好相反。

3.与或非运算

与或非运算是把与运算、或运算和非运算组合起来实现的。先进行与运算，把与运算的结果进行或运算，最后进行非运算。根据实际需要可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。与或非运算的表达式可以写成 。与或非运算的逻辑符号、等效符号如图2-6a和b所示。

4.异或运算

异或运算是一种两变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或运算的逻辑符号、真值表如图2-7a和b所示。异或运算的表达式可以写成 。异或运算功能：输入相同时，输出为0；输入相异时，输出为1。

5.同或运算

同或运算的逻辑关系是，输入相同时，输出为1；输入相异时，输出为0。同或运算的表达式可以写成 。同或运算的逻辑符号和逻辑真值表如图2-8a和b所示。比较异或运算和同或运算真值表可知，异或函数与同或函数在逻辑上是互为反函数。

用与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成各种复杂逻辑运算，用与门、或门、非门三种最基本的门电路可以组合成具有不同功能的多种复合门，完成较复杂的逻辑功能。常用逻辑符号对照如图2-9所示。

注意：一次异或逻辑运算只有两个输入变量，多个变量的异或运算，必须两个、两个变量分别进行。例如A⊕B⊕C，先进行其中两个变量的异或运算，其结果再和第三个变量进行异或运算。以下的同或运算也具有同样的特点。常用的逻辑运算的逻辑函数式及其逻辑符号归纳见表2-1。请自行熟悉表中所示常用逻辑运算及其逻辑门符号。

思考与练习

2.2-1 “与”“或”“非”运算的规律是什么？

2.2-2 绘图表示用与非门实现与门、或门、非门的功能，并由此理解与非门的完备性。

2.2-3 试列出三变量与非、或非逻辑的真值表。

2.2-4 两个变量的异或运算和同或运算之间是什么关系？ 7DDtM4lO/2+FrZFTFIAg+0PmHTDoZ8F6tSm1fcA/iSqEmqrzETHM3x8/6iQfjrR4