1.2.2 变速风力机的建模

1.空气动力学模型

基于能量守恒并应用伯努利方程，致动盘理论用一种简单的方式解释了从风中吸收动能的过程。假设空气是不可压缩的，流体运动是稳定的，并且认为一段给定的空气流管中被研究的变量值都相同，则可用动能定理描述风能的存在。以速度 V _w 穿过截面积 A ₁ 的风功率可以表示为

式中， ρ 为空气密度。

根据贝茨定律指出，气流穿过风力机的过程中，为风力机提供能量而减速。由于速度变化带来的气体密度和体积变化，让空气的流通出现阻力造成能量损耗，限制了风力机的效率。风力机从风中吸收到的功率可以表示为

式中， r 为风力机风轮的半径； C _p 为风能利用系数，其为一个无量纲的参数，表示风力机把风的动能转变为机械能的效率，为桨距角 β 和叶尖速比 λ 的函数。

叶尖速比 λ 是风电机组设计和性能评估中的一个关键参数，对于确定风电机组的运行效率和最佳工作点非常重要。叶尖速比定义为风轮叶片尖部的线速度与风速的比值：

式中， Ω _tur 为低速轴的旋转速度。

图1-4中的转矩 T _tur 可由式（1-2）吸收的功率和风力机的旋转速度得到，即

式中， C _t 为转矩系数。风能利用系数和转矩系数的关系通过下式表达：

使用以上得到的空气动力学模型，需要知道 C _p （ λ ）和 C _t （ λ ）的具体表达式。这些表达式主要取决于桨叶的几何特性。桨叶是根据风资源特性、风电机组额定功率、控制类型和风力机的运行模式而定制的。控制类型有桨距控制和失速控制，风力机的运行模式有变速运行和恒速运行。风能利用系数 C _p （ λ ）和转矩系数 C _t （ λ ）的计算只能通过气动弹性软件或实验测量手段获得，如图1-5所示。目前，气动弹性软件包括Bladed、OpenFAST等。

根据风能利用系数 C _p 和转矩系数 C _t 的曲线和数据，可通过多项式回归方法得到其解析表达式。风能利用系数 C _p 表示为关于叶尖速比 λ 和桨距角 β 的函数：

2.机械系统

一台风力机的各机械部件之间传递的力多且复杂，因此有必要选择合适的典型动态和对应特性参数进行研究。机械系统传动环节由桨叶、与桨叶相连的轮毂、与轮毂联轴的低速轴、连接低速轴和高速轴的齿轮箱以及与高速轴联轴的发电机组成。风力机在高速轴侧的旋转速度 Ω _t 和传动转矩 T _t 表示为

式中， N 为齿轮箱变速比； T _tur 为低速轴传动转矩。

建立传动链机械模型时，考虑二阶谐振频率比基本谐振频率高很多而且幅值小很多，因此仅需描述传动系统的基本谐振频率。一个双质量块机械模型足够模拟传动系统，如图1-6所示。传动模型的变量均变换到高速轴，方便后续分析风力机和发电机调度交互动态。惯量 J _t 表示的是风力机侧的惯性，惯量 J _m 表示的是发电机侧的惯性。这些惯量并不总能准确地表示风力机和发电机的惯性。如果基本谐振频率来自于桨叶，则风力机的部分惯性要表示在 J _m 里面。刚性系数 K _tm 和阻尼系数 D _tm 定义了两个质量块之间的柔性连接程度。对于质量块而言，这两个系数并不总是直接和高速轴相关，而是和基本谐振频率相关，而基本谐振频率也许来自于其他位置。此外， D _t 和 D _m 是摩擦系数，它们表示旋转运动摩擦造成的机械损耗。

根据图1-6所示的机械模型，双质量块机械模型的机械运动方程可表示为

通过忽略阻尼系数和摩擦系数，该模型可以进一步简化为只包含惯量系数 J _t 、 J _m 和刚性系数 K _tm 的模型。推导出的发电机转矩和转速之间的传递函数含有一个在 ω ₀₁ 处的极点和在 ω ₀₂ 处的零点，即

对于一台兆瓦级风力机来说，这个极点的频率通常在1～2Hz范围内。