2.2.1 频域小信号阻抗描述

1.小信号的频域化处理

电力电子设备广泛应用于交流系统中，其电压和电流随时间呈周期性变化。小信号建模分析习惯于将时域线性化分析转换到频域，获得平衡点附近的线性化模型。

对于电力电子设备构成的新能源设备系统，平衡点的输入、输出及状态变量可以统一描述为正、余弦信号的形式，三相信号分别写作

式中， y _a （ t ）、 y _b （ t ）和 y _c （ t ）分别为a、b、c相交流信号； f ₁ 为基频频率； A _{k +} 、 A _{k -} 和 A _{k 0} 分别为三相交流信号在频率 kf ₁ 下的正、负、零序的幅值； φ _{k +} 、 φ _{k -} 和 φ _{k 0} 分别为正、负、零序的相位。

新能源设备在单相交流系统、三相平衡系统或三相不平衡系统等不同交流系统中运行，其主要区别在于交流信号所含序分量不同。正、负、零序分量可以通过对称分量法得到，其呈现周期性时变特征，可表示为含有多个频率的周期性时变正弦信号。

不失一般性，当一个三相交流信号满足狄利克雷条件时，可将其按照傅里叶级数展开为

式中， k 为正整数； a ₀ 为傅里叶级数直流分量； a _k 为傅里叶级数余弦分量； b _k 为傅里叶级数正弦分量。傅里叶级数展开式系数 a ₀ 、 a _k 和 b _k 可分别表示为

根据欧拉公式，式（2-4）所示的傅里叶级数可以用复指数形式表示为

式中， c ₀ = a ₀ ，为傅里叶级数直流分量； ，tan φ _k = -b _k / a _k ，分别为傅里叶级数频率 kf ₁ 交流分量的幅值和相位。

为方便反映周期信号频率 kf ₁ 交流分量的幅值和相位，即时域信号的频域结果，定义复傅里叶系数 F _k ，将频率为 kf ₁ 的周期信号以复指数形式表示，如下式所示：

由此，周期信号 f （ t ）可以表示为复指数形式的傅里叶级数表达式：

小信号变量具有多种表述形式，比如用复指数形式的傅里叶系数来表示。以电压小信号 v （ s ）为例， s =j2π f ，表示这是频率 f 的电压小信号，而 v （ s ）在数值上等于频率 f 的复傅里叶系数。由式（2-9）可知，复傅里叶系数 F _k 不含频率信息。在一般的谐波分析中，频域输入量与输出量的映射关系默认是同一谐波频率下发生的，所以不需要强调频率。不过，新能源设备中含有电力电子设备，在开关、调制和控制过程中，电气量与控制信号间的交互，在频域变换后引入了不同频率信号间的卷积运算，使得不同谐波频率信号之间呈现耦合关系。

2.Park变换与频移效应

新能源设备并网多采用矢量控制，通过Park变换和锁相环将三相正弦信号转换到 dq 坐标系下的直流信号，如图2-1所示。锁相环设备通过控制 q 轴电压 v _q 为0，使得锁相环相角 θ _PLL 跟踪电网相角 θ ₁ ，从而实现同步。在理想同步情况下， θ _PLL = θ ₁ 。

电路中的三相交流信号从静止坐标系下转换到 dq 坐标系时，其频率发生偏移，又称频移效应。以向新能源并网系统中注入正序扰动为例，频率为 f _p 的三相电压小信号分量表示为

式中， V _p 为正序电压幅值； ω _p =2π f _p ， f _p 为小信号的频率； φ _p 为相位。通过Park变换，将三相交流信号转换到 dq 直流信号，可得：

式中， θ _PLL = ω _PLL t ，为锁相环得到的相角。结合积化和差、和差化积公式，式（2-14）可表述为

通过上述分析可知，Park变换将静止三相坐标系下的变量转换到旋转 dq 坐标系下，小信号频率发生了偏移。根据频率偏移效应，注入三相正序扰动后的 dq 小信号频率为 f _p -f ₁ 。同理，可以推导出向系统注入频率为 f _n 的负序扰动后，经过Park变换后 dq 的小信号频率为 f _n + f ₁ 。

3.Park反变换与二倍频镜像频率耦合

正序三相正弦扰动信号 v _p （ f _p ）经Park变换后，形成 dq 坐标系下的电压小信号 v _dq （ f _p -f ₁ ），其为控制环节的输入量。经过变流器控制环节后输出为调制电压小信号 m _dq （ f _p -f ₁ ），可表示为

式中， m _{p , d} 和 m _{p , q} ， φ _{m , d} 和 φ _{m , q} 分别为调制电压小信号 d 轴分量与 q 轴分量的幅值与相位大小。

镜像频率耦合以两电平变流器为例，如图2-2所示。经过Park变换后的调制电压小信号 m _dq （ f _p -f ₁ ）会与直流电容电源 v _dc （ f _p -f ₁ ）相互作用，可得到三相桥臂输出电压小信号 v _g （ f _p , f _p -2 f ₁ ）。频率为 f _p 的变流器端电压可表示为

频率为 f _p 的电压分量存在频率为 f _p -2 f ₁ 的镜像耦合分量，可表示为

假设变流器主电路和控制环节完全对称， v _{p , d} 和 v _{p , q} 相同。此时，镜像耦合分量 ，输出电压小信号中仅含有扰动频率 f _p 的分量 。但是实际情况中上述假设并不成立，输出电压小信号中除含有扰动频率 f _p 外还含有频率 f _p -2 f ₁ ，这个频率就是所谓的二倍频镜像频率。同理，当电网中含有频率为 f _n 的负序三相扰动信号时，最终变流器输出的负序调制电压小信号中含有频率 f _n +2 f ₁ 。 LGWMHmW0AEQNs1g3xLoi9ep8+XK+yGGo5UWcoOIPNXV9wcqDngAYBEEiXn7JVIEs