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如前所述，有必要将理想同步发电机的原始方程转化为常系数微分代数方程组。Park变换是实现上述目的的一种方法。在理想同步发电机中，定子侧的物理量采用的是静止的 abc 三相坐标系，转子侧的物理量采用的是以同步转速旋转的旋转坐标系。通过Park变换可以将 abc 三相坐标系下的电磁变量变换得到 dq 0坐标系下的电磁变量，在同一坐标系下对定子侧和转子侧物理量进行分析，达到将理想同步发电机的原始方程转化为常系数微分代数方程组的目的。
下面以同步发电机定子电流为例，介绍它的Park变换。同步发电机稳态对称运行时电枢磁势具有幅值不变、同步旋转的特点。因此可用同步转速旋转的矢量
表示电枢磁势。如果定子电流通过同步旋转的通用相量
表示，该通用相量在定子各相绕组轴线上的投影是相应绕组电流的瞬时值，那么通用相量
与矢量
在任何时刻相位相同、数值成比例，具体如图2.6所示。
根据双反应理论，电枢磁势可以分解为纵轴分量和横轴分量。依照电枢磁势的分解方法，把电流通用相量分解为纵轴分量 i d 和横轴分量 i q ，具体如下：
式中， θ 表示电流通用相量同 a 相绕组轴线的夹角。
通用相量
对于定子各相绕组轴线的投影即是各相电流的瞬时值，因此定子三相电流的瞬时值可以计算如下：
图2.6 定子电流通用相量
根据式（2.19）和式（2.20）可以得到：
如果定子三相电流平衡（ i a + i b + i c =0），此时三相电流实际上为两个独立的变量，仍然可以仅用一个通用相量代表三相电流。如果定子三相电流不平衡，此时三相电流为3个独立的变量，此时需要新增一个变量 i 0 ，它的表达式如下：
在此基础上，根据式（2.21）和式（2.22）就构成了一个完整的定子电流Park变换，它的数学表述如下：
式中， i d 、 i q 、 i 0 分别表示定子电流的 d 轴分量、 q 轴分量、0轴分量。需要注意的是， i d 、 i q 、 i 0 又可以视为定子等效绕组dd、等效绕组qq、等效0轴绕组中的电流。上述三个绕组随着转子一起旋转，因此定子等效绕组与转子绕组之间不存在相对运动，定子等效绕组与转子绕组之间的互感系数、定子等效绕组的自感系数都为常数。
在式（2.23）中，注意到 i 0 =（ i a + i b + i c ） / 3，因此对于三相平衡的定子电流而言， i 0 =0。在这种情况下，可以认为0轴绕组不存在，或者0轴绕组开路。如果定子三相电流不平衡，则0轴电流 i 0 ≠0。
式（2.23）可以简记为
其中：
作为属于同步发电机的一种坐标变换，Park变换具有如下数学上的特点：
1）Park变换中的矩阵 P 非奇异，即存在逆矩阵，因而Park变换存在逆变换，即 i abc = P -1 i dq0 ，具体如下所示：
2）Park变换不是正交变换。这是因为 P -1 ≠ P T ，即矩阵 P 不是正交矩阵，故它不满足正交变换的要求。
3）Park变换不仅适应于电流，也适用于电压、电势、磁链等物理量。
4）给定同步频率 f N = ω N / 2π，定子三相对称基频交流（频率为 f N ）、三相对称倍频交流（频率为2 f N ）、三相对称直流（频率为0）经过Park变换所得到的0轴分量都等于0（见表2.1）。上述三类定子电流的 d 轴分量和 q 轴分量具体如下：
①三相对称基频交流：
d
轴分量和
q
轴分量都是常数，即属于直流电流，或者说定子等效绕组dd、等效绕组qq中的电流为不衰减的直流。此时，
d
轴分量和
q
轴分量的二次方和等于相电流幅值
i
m
的二次方，即：
。需要注意的是，上述关系也适用于磁链、电压、电势。
②三相对称倍频交流与三相对称直流： d 轴分量和 q 轴分量属于基频交流，或者说定子等效绕组dd、等效绕组qq中的电流属于基频交流。但是需要注意的是，三相对称倍频交流与三相对称直流的 d 轴分量表达式存在不同之处，三相对称倍频交流与三相对称直流的 q 轴表达式也存在不同之处。
表2.1 不同频率的三相对称电流的 d 、 q 、0轴分量
由表可见，三相系统中的对称倍频交流和直流经过Park变换后，所得的 d 轴和 q 轴分量是基频电流，三相系统的对称基频交流则转化为 d 、 q 轴分量中的直流。由于变换可逆，也可以说， d 、 q 轴分量中的直流对应于 abc 三相系统的对称基频交流， d 、 q 轴分量中的基频交流则对应于 abc 系统的直流和倍频电流。
理想同步发电机的原始方程存在 abc 三相静止坐标系下的电磁变量。为了得到 dq 0坐标系统下的电磁方程，实现在同一坐标系下对定子侧和转子侧物理量进行分析，需要通过Park变换对原始方程进行处理，具体如下：
1. dq 0坐标系统的电压方程
Park变换将 a 、 b 、 c 三相变量转换为 d 、 q 、0轴分量。显然，只应对定子各量施行变换。令 u dq0 = Pu abc ， Ψ dq0 = PΨ GS 。其中， u dq0 =［ u d u q u 0 ］ T ， u d 、 u q 、 u 0 分别表示定子绕组端电压的 d 轴分量、 q 轴分量、0轴分量； Ψ dq0 =［ ψ d ψ q ψ 0 ］ T ， ψ d 、 ψ q 、 ψ 0 分别表示定子绕组磁链的 d 轴分量、 q 轴分量、0轴分量。
由式（2.2）可得
。然后在其等号左右两边同时左乘矩阵
P
，进而可以得到：
由于 r GS 为对角矩阵，因此有 Pr GS = r GS P ，所以可以对式（2.28）进一步处理得到：
由于 Ψ dq0 = PΨ GS ，因此在其等式左右两边对时间求导可以得到：
式中
将式（2.32）代入式（2.30）可以进一步得到：
将式（2.33）展开，并结合原始方程中的转子电压方程，进一步得到如下 dq 0坐标系下的理想同步发电机电压方程：
从式（2.34）可以看出，对于定子绕组端电压的0轴分量而言，它与其他绕组的电势与电流并无联系，因而它是独立的，在磁的意义上它与其他绕组是隔离的。在式（2.34）中， u d 和 u q 都存在如下两项：磁链对时间的导数、磁链与角速度的乘积，其中前一项被称为变压器电势，后一项被称为发电机电势。
对于三相对称运行而言，通过Park变换的物理意义在于实现了观察者的立场从静止不动的定子到同步旋转的转子上的转移。正是这一转变使得定子三相绕组可以被两个同转子一起旋转的等效绕组代替，此时三相的定子对称交流等效成了直流电流。正因为这样，可以通过一种直流电机模型对Park变换作出恰当的物理解释（见图2.7）。
图2.7 Park变换的物理解释
在图2.7中，同步发电机定子三相绕组位于直流电机旋转的电枢上，而磁极位于直流电机定子上，直流电机电刷与其磁极相对静止。同步发电机等效绕组dd和qq分别对应于图中直流电机电刷d-d间和电刷q-q间的电枢绕组。当电枢旋转时。虽然构成等效dd绕组和等效qq绕组的导体在不断变化，但是两个等效绕组的轴线始终分别位于 d 轴向和 q 轴向，且实际的导体对于磁场处在运动中，故导体内部产生切割电势（即发电机电势），其方向由右手定则确定（见图2.7b、c）。当磁链 ψ d 和 ψ q 随时间发生变化时，相应的绕组还会产生变压器电势，其正方向与该绕组电流的正方向相同。在此基础上，就可以写出式（2.34）的前两个等式。
2. dq 0坐标系统的磁链方程
对于定子磁链方程 Ψ GS = L SS i abc + L SR i fDQ ，在等号两边同时左乘矩阵 P ，可以得到：
由于 Ψ dq0 = PΨ GS ，且注意到 E = P -1 P ， E 为单位矩阵，则进一步有：
通过矩阵演算可得：
式中，
在此基础上，可以得到 dq 0坐标系下的理想同步发电机磁链方程，具体如下：
式（2.39）中，等式右边的方阵为 dq 0坐标系下的电感矩阵。 L d 为 d 轴同步电感，它对应于纵轴同步电抗 x d ； L q 为 q 轴同步电感，它对应于横轴同步电抗 x q ； L 0 为0轴电感，由于定子三相绕组对称，定子三相0轴电流在气隙中的合成磁动势为零，所以， L 0 只与漏自感和漏互感有关。 L d 、 L q 、 L 0 可以视为假想的等效绕组dd、等效绕组qq、等效0轴绕组的自感。从 dq 0坐标系下理想同步发电机的电感矩阵可以看出：
1）电感矩阵为常数矩阵。由于等效绕组dd和等效绕组qq的轴线总是分别与 d 轴和 q 轴一致，而两个轴向的磁导不随转子位置变化而变化，因此相关的电感系数与转子角无关。
2）电感矩阵不是对称矩阵。这说明定子等效绕组与转子绕组之间的互感系数不互易。从物理上讲，这是由于定子等效绕组是定子三相绕组的等效绕组，定子三相合成磁动势幅值为定子一相磁动势幅值的1.5倍。从数学上讲，这是因为Park变换不是正交变换。
3）等效绕组dd、等效绕组qq、等效0轴绕组之间的互感系数等于0，三个等效绕组之间不存在互感。此外，等效的0轴绕组与其他所有绕组之间的互感等于0。
习惯上将 dq 0坐标系下的同步发电机电磁方程称为同步发电机的基本方程，又称为Park方程，它是本书后续电力系统暂态分析的重要基础。
3. dq 0坐标系下的功率公式
在静止的 abc 三相坐标系中，理想同步发电机从其端口输出的三相瞬时功率 P abc 的计算公式如下：
在 dq 0坐标系下，理想同步发电机从其端口输出的三相瞬时功率 P dq0 的计算公式如下：
很明显，理想同步发电机的三相瞬时总功率在 dq 0坐标系和 abc 坐标系中的计算公式在形式上不尽相同，这也是由于Park变换不是正交变换导致的。