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实际同步发电机是复杂的电气设备，精确详细的建模分析十分复杂。为了简化分析，本书采用理想同步发电机的基本假设。因此，本节将首先介绍理想同步发电机的基本概念，然后在此基础上从电磁角度介绍理想同步发电机的原始方程。
对于理想同步发电机而言，它具有线性、对称、正弦、光滑等特征，即满足如下假设条件：
1）不计磁滞、涡流、磁路饱和等因素，且发电机铁心的导磁系数为常数。这意味着理想同步发电机的磁路为线性磁路，适用叠加原理。
2）发电机转子在结构上分别相对于纵轴（ d 轴）和横轴（ q 轴）对称。满足该条件的同步发电机既可能是凸极机，也可能是隐极机。
3）定子三相绕组结构相同，在空间上互差120°的电角度，它们在气隙中产生的磁动势为正弦分布的磁动势。
4）空载状态时，如果转子恒速旋转，则励磁绕组在定子绕组中产生的感应电动势为时间的正弦函数。
定子和转子表面光滑，即不考虑槽和通风沟对同步发电机相关电感系数的影响。图2.1给出了极对数为1的凸极式理想同步发电机。在此凸极式理想同步发电机中，转子侧存在三个绕组：励磁绕组、阻尼绕组D（ d 轴阻尼绕组）、阻尼绕组Q（ q 轴阻尼绕组）。其中励磁绕组存在外加电压；阻尼绕组D、阻尼绕组Q都是等值绕组，没有外加电压（即外加电压为0）。当理想同步发电机处于稳态运行时，阻尼绕组的电流为0。图2.1中的 α 为转子角，它是转子 d 轴与定子 a 相轴线的夹角。无特别说明，本书后续内容均采用如图2.1所示的理想同步发电机。值得注意的是，隐极式理想同步发电机可以视为凸极式理想同步发电机的特例，即 d 轴向和 q 轴向气隙磁通路径磁导相等的凸极式理想同步发电机。此外，由于上述理想同步发电机的极对数为1，故电气角度与对应的机械角度相等。因此，电气角速度与对应的机械角速度相等，它们都等于角频率。
图2.1 极对数为1的凸极式理想同步发电机
众所周知，诸如电压、电流、磁链、电势、转速等物理量都存在方向性。在构建理想同步发电机的电磁方程时，需要事先假定物理量的正方向。
如图2.1和图2.2所示，在本书中，如无特别说明，理想同步发电机物理量的正方向选取如下：
1.定子侧
1）每相绕组磁链正方向：该相绕组自身轴线的正方向。
2）每相绕组电流的正方向：若绕组电流产生的是正方向的磁链，则该电流为正方向的电流。
3）每相回路电流的正方向：从中性点流向同步发电机机端的电流为正方向的回路电流。
4）每相回路感应电动势的正方向：与每相回路电流的正方向相同，即正方向的回路电流流出的一端为回路感应电势的正极。
2.转子侧
1）转子转速的正方向：逆时针。
2）转子绕组磁链正方向：绕组自身轴线的正方向。
3）转子绕组电流的正方向：若绕组电流产生正方向的磁链，则该电流为正方向的电流。
4）转子轴线方向：转子 d 轴超前 q 轴90°的电角度。
5）回路感应电动势的正方向：与回路电流的正方向相同。
6）外加励磁电压：正方向的励磁电压提供正方向的励磁回路电流，即从外加励磁电压往励磁回路看进去，励磁电压与励磁电流构成关联参考方向。
图2.2 同步发电机绕组回路物理量的正方向选取
1.电压方程
根据前一节关于物理量正方向的选取情况，通过电磁感应定律以及KVL定律可以列写如下矩阵形式的理想同步发电机电压方程：
式中，
u
a
、
u
b
、
u
c
、
u
f
分别表示定子
a
相绕组、定子
b
相绕组、定子
c
相绕组、转子励磁绕组的端电压；
r
表示定子的一相电阻；
r
f
、
r
D
、
r
Q
分别表示励磁绕组、
d
轴阻尼绕组和
q
轴阻尼绕组的电阻；
ψ
a
、
ψ
b
、
ψ
c
分别表示定子
a
相绕组、定子
b
相绕组、定子
c
相绕组的总磁链，
；
ψ
f
、
ψ
D
、
ψ
Q
分别表示励磁绕组、
d
轴阻尼绕组和
q
轴阻尼绕组的总磁链，
；
i
a
、
i
b
、
i
c
分别表示定子
a
相绕组、定子
b
相绕组、定子
c
相绕组的电流；
i
f
、
i
D
、
i
Q
分别表示励磁绕组、
d
轴阻尼绕组和
q
轴阻尼绕组的电流。
式（2.1）可以进一步通过分块矩阵的形式进行简记，它的具体形式如下：
式中，
u
abc
=［
u
a
u
b
u
c
］
T
，
u
fDQ
=［
u
f
0 0］
T
，
i
abc
=［
i
a
i
b
i
c
］
T
，
i
fDQ
=［
i
f
i
D
i
Q
］
T
，
r
GS
=diag{
r r r
}，为定子电阻矩阵，
r
GR
=diag{
r
f
r
D
r
Q
}，为转子电阻矩阵。在本书中，对于任意的矩阵
，“·”表示此矩阵中的元素为矩阵
M
中相应元素对时间的导数。因此，在式（2.2）中，
。
由于磁链对时间的导数的存在，理想同步发电机的电压方程属于常系数的微分方程组。
2.磁链方程
由于各个绕组是互相耦合的，与各绕组相交链的磁通将包括本绕组电流所产生的磁通和由其他绕组的电流产生而与本绕组交链的那部分磁通。各绕组的磁链方程可用矩阵形式，具体如下所示：
其中，等式右边的方阵为电感矩阵，它的对角线元素表示相应绕组的自感，非对角线元素表示相应绕组之间的互感。例如， L aa 表示定子 a 相绕组的自感， L ab 表示定子 b 相绕组对定子 a 相绕组的互感， L ba 表示定子 a 相绕组对定子 b 相绕组的互感。需要注意的是，式（2.3）中的电感矩阵为对称矩阵，即绕组之间的互感具有互易性。从式（2.3）可以看出，同步发电机的绕组总磁链由自感磁链与互感磁链组成。以定子 a 相绕组为例，它的自感磁链为 L aa i a ，互感磁链包括 L ab i b 、 L ac i c 、 L af i f 、 L aD i D 、 L aQ i Q 。
式（2.3）可以进一步通过分块矩阵的形式进行简记，具体如下：
前述理想同步发电机中共有6个绕组，共涉及磁链、电流和电压等共18个物理量，而式（2.1）和式（2.3）共有12个方程，其中的电阻和电感作为已知量。一般给定各绕组电压（阻尼绕组的外加电压的数值为0，已经在相关方程中直接给出），因此式（2.1）和式（2.3）中的待求量为12个（6个绕组的磁链和电流）。
式（2.3）中存在绕组自感系数和绕组之间的互感系数。无论是隐极式理想同步发电机还是凸极式理想同步发电机，它们的一些电感系数随着转子旋转发生变化，这对理想同步发电机的电磁方程的求解带来重要影响。为了能够求解理想同步发电机的电磁方程，需要分析理想同步发电机自感和互感系数的变化规律。
1.定子各相绕组的自感系数
现以定子 a 相绕组为例介绍定子绕组自感系数的详细计算过程。给定 a 相绕组的电流和等效匝数分别为 i a 和 ω a ，其产生正弦分布的磁势 F a = ω a i a 。该磁势 F a 又可分解为 d 轴分量 F ad 和 q 轴分量 F aq ：
F ad = F a cos α
F aq = F a sin α
由磁势 F a 的 d 轴分量和 q 轴分量，可以进一步计算得到磁势 F a 在 d 轴向和 q 轴向产生的气隙磁通：
式中， λ ad 和 λ aq 分别表示沿 d 轴和 q 轴方向气隙磁通路径的磁导。
除此之外，磁势 F a 还会产生与 a 相绕组交链的漏磁通 Φ σa = λ sσ F a ，其中 λ sσ 为漏磁通路径的磁导。根据上述气隙磁通和漏磁通，可以计算得到电流 i a 产生的交链 a 相绕组的磁链：
因此，进一步计算定子 a 相绕组的自感系数如下：
式中，
由于定子绕组三相对称，同理计算可得定子 b 相和 c 相绕组的自感系数：
从式（2.7）和式（2.8）可以看出，当 λ ad 和 λ aq 相等时（即隐极式理想同步发电机），由于 l 2 =0，因此 L aa 、 L bb 、 L cc 为常数。当 λ ad 和 λ aq 不相等（即凸极式理想同步发电机），此时 l 2 不等于0，因此定子绕组的自感系数是转子角的周期函数，周期为180°（或者弧度制下为π）。图2.3给出了凸极式理想同步发电机自感系数 L aa 的变化曲线以及 L aa 取极值时的转子位置的示意图。
图2.3 L aa 的变化曲线以及 L aa 取极值时的转子位置的示意图
2.定子绕组间的互感系数
下面以定子 a 相绕组和 b 相绕组之间的互感系数为例，介绍定子绕组之间的互感系数的详细计算过程。定子 a 相电流产生的交链 b 相绕组的磁通包括气隙磁通和漏磁通两部分。考虑到 a 相绕组和 b 相绕组的轴线相差120°， a 相正向电流产生的磁通从反方向穿入 b 相绕组，因此，若给定两相绕组间的漏磁通路径磁导为 λ mσ ，则 a 相绕组和 b 相绕组之间的漏磁通为 Φ baσ = -λ mσ F a 。给定定子 b 相绕组的等效匝数为 ω b ，则定子 a 相电流产生的交链 b 相绕组的总磁链为
理想同步发电机的定子各相绕组等效匝数应当相同，本节令 ω a = ω b = ω c = ω 。因此，定子 a 相绕组和 b 相绕组之间的互感系数为
式中，
同理可得：
从式（2.10）和式（2.11）可以看出，当 λ ad = λ aq （即隐极式理想同步发电机），由于 m 2 =0，因此定子绕组间互感系数为常数。当 λ ad ≠ λ aq （即凸极式理想同步发电机），此时 m 2 ≠0，定子绕组间互感系数是转子角的周期函数，变化周期为180°（或者弧度制下为π），其变化部分的幅值 m 2 与自感系数中变化部分的幅值 l 2 相等。由于通常 m 0 总大于 m 2 ，故定子绕组的相间互感系数恒小于0。图2.4给出了凸极式理想同步发电机互感系数 L ba 的变化曲线以及 L ba 取极值时的转子位置的示意图。
图2.4 L ba 的变化曲线以及 L ba 取极值时的转子位置的示意图
3.转子上各绕组的自感系数和互感系数
由于同步发电机的定子内缘为圆柱形，因此无论是凸极机还是隐极机，它们的转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁导不因转子位置的变化而变化，故转子励磁绕组、 d 轴阻尼绕组、 q 轴阻尼绕组的自感系数 L ff 、 L DD 和 L QQ 都是常数。以下分析将它们分别改记为 L f 、 L D 和 L Q 。下面以励磁绕组为例，介绍转子绕组的自感系数计算。给定励磁绕组的等效匝数 ω f 和电流 i f ，励磁绕组对其自身产生的磁链为
因此， L f 可以计算如下：
式中， λ σf 为励磁绕组漏磁通路径的磁导。
同理，转子绕组之间的互感磁通路径的磁导也不因转子位置的变化而变化，因此转子各绕组间的互感系数也是常数。需要进一步指出的是，由于转子上的纵轴向绕组（励磁绕组、 d 轴阻尼绕组）和横轴向绕组的轴线互相垂直，纵轴向绕组和横轴向绕组之间的互感系数为零，即 L fQ = L Qf = L DQ = L QD =0。
4.定子绕组和转子绕组间的互感系数
无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕组和转子绕组的相对位置有关。现以励磁绕组与定子 a 相绕组间的互感为例，当励磁绕组有电流 i f 时，其对 a 相绕组产生的互感磁链为
因此，可以计算它们之间的互感系数如下：
式中， m af = ωω f λ ad 。
同理可得：
从图2.5可见，互感系数 L af 的变化周期为360°（或者弧度制下为π）。其中，当转子 d 轴与 a 相绕组轴线重合（ α =0°）时，励磁绕组与定子 a 相绕组间的互感达到最大值；当 α =90°或 α =270°时，励磁绕组与定子 a 相绕组间的轴线互相垂直，故相应的互感为零；而当 α =180°时，这两个绕组的轴线反向，其互感系数达到最小值。
图2.5 L af 的变化曲线以及 L af 取极值时的转子位置的示意图
同理，定子各相绕组与纵轴阻尼绕组间的互感系数为
对于定子绕组和 q 轴阻尼绕组之间的互感系数，由于转子 d 轴落后于 q 轴90°，故它们的表达式如下：
综上所述，从上面理想同步发电机电感系数的表达式可以看出：
1）在凸极机和隐极机中，由于转子旋转导致转子角 α 随着时间做周期性变化，导致定子绕组与转子绕组之间的互感系数也呈现周期性变化，其变化周期为360°。
2）在凸极机中，由于 λ ad ≠ λ aq ，且转子与定子之间存在相对运动，导致定子绕组的自感系数、定子绕组之间的互感系数不是常数，它们都是周期性变化的。与此相反，在隐极机中，虽然转子与定子存在相对运动，但是由于 λ ad = λ aq ，因此定子绕组的自感系数、定子绕组之间的互感系数都是常数。
3）无论是凸极机还是隐极机，转子绕组的自感系数、转子绕组之间的互感系数都是常数，且 d 轴向转子绕组与 q 轴向转子绕组之间的互感系数等于0。
由此可见，凸极机和隐极机的一些互感系数随时间而呈现出周期性变化，且凸极机的部分自感系数也是周期性变化。理想同步发电机中存在随时间变化的电感系数，导致其磁链方程属于变系数代数方程组，所以理想同步发电机的原始方程属于典型的变系数微分代数方程组。与常系数微分代数方程组相比，变系数微分代数方程组的求解困难得多。为了便于求解，可以通过“坐标变换”的思想，将变系数微分代数方程组变换成常系数微分代数方程组。