实验力学最新章节_王时越著

2.3　测量不确定的评定

实验过程中获取的物理量数据总会带有一部分无法消除的偏差——随机性偏差，它们与测量系统、测量方式等因素有关，一个测量数据可能涉及一个或多个会产生随机性偏差的因素，这些因素对测量结果的影响有多大？如何表征这些影响？都是应该关心的问题。此外，测量得到的数据往往不是终极目标，我们往往希望找到这些数据背后不同物理量之间的关系或规律，为了找到这些关系或规律，通常可以用哪些方式来呈现实验数据呢？针对这些问题，本节将介绍不确定度的一些基本知识和几种常见的实验数据表达方式。

2.3.1　不确定度的定义

测量不确定度（简称“不确定度”）是用于表征合理地赋予被测量值分散性的非负参数。对此定义说明如下：

①此参数是具有统计意义的非负参数，可以是标准差或其倍数，或说明了置信水平的估计区间半宽。

②不确定度一般由若干个分量组成，其中一些是依据一系列测量数据的统计分布获得的实验标准差，另一些分量是基于经验或其他信息假定的概率分布给出的标准差。

2.3.2　不确定度评定方法

通常不确定度的评定可按如图2.12所示的流程进行。

图2.12　不确定度评定流程

1）几个与不确定度评定有关的概念

①标准不确定度（standard uncertainty）：用标准差表示的测量结果的不确定度。标准不确定度按照其评定方法的不同，可以分为A类评定和B类评定。A类评定（type A evalu ation of uncertainty）是指对样本观测值用统计分析的方法进行不确定度评定。B类评定（type B evaluation of uncertainty）是指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。

②合成标准不确定度（combined standard uncertainty）：用测量模型中各输入变量的标准不确定度来表示的输出量的标准不确定度。当输入量之间非独立时，应考虑这些输入量的相关性，即合成不确定度中会含有这些相关量的协方差项。

③扩展不确定度及包含因子（expanded uncertainty &coverage factor）：合成不确定度与一个大于1的因子（即包含因子）之积即为扩展不确定度。

④自由度（degrees of freedom）：方差计算中的独立项数，即总和的项数减去其中受约束的项数。

2）测量模型

在测量的过程中，被测量 Y 通常可以表示为输入量 X _i 的函数形式，且输入量 X _i 也可能是其他的被测量，这个函数可以是根据物理原理或经验建立的，此函数可作为测量模型。

Y = f （ X _i ）（2.18）

此处介绍的评定方法仅仅适用于线性函数或函数展开为泰勒级数后可以忽略高阶项的情况，若模型为非线性函数，需要考虑高阶项或使用其他方法（如MCM法）对其不确定度进行评定，否则会产生较大误差甚至错误。

3）不确定度的来源

凡是对测量结果产生影响的因素，均是测量不确定度的来源。它们可能来自以下这些方面：

①被测量的定义不完整。

例如，在未明确测量的环境情况下，要求测定某试件截面尺寸的时候测准至μm量级，便会引起测量不确定度。

②被测量定义的复现不理想。

这种情况主要针对测量过程中某些条件设定不易满足造成的测量不确定度。

③取样代表性不够。

现实测量中，会遇到测量对象数量或其他方面的限制而造成能获取的样本数量较少的情况。

④对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善。

这是一种常见的引入测量不确定度的情况。

⑤模拟仪器的人员读数偏差。

观测者的观测视线和个人习惯的差异，在使用模拟仪器时会引入测量不确定度。

⑥测量中所使用仪器设备计量性能的局限性。

对每台测量仪器的灵敏度、鉴别力、分辨力、死区和稳定性等计量性能是有限制的，它们可能成为测量不确定度的来源。

⑦测量标准和标准物质提供的标准值不准确。

测量是将被测量与测量标准（或标准物质）提供的标准值进行比较的过程，提供的标准值的不确定度会被引入测量结果。

⑧引用常数或其他参量的不准确。

与标准物质等提供的标准值类似，引用常数或其他参量会给测量结果带入不确定度。

⑨测量方法和测量程序中的近似、假定。

在测量方法（程序）中为简便测量过程，在满足精度要求的前提下往往会在有些方面进行近似、假设，这是引起测量不确定度的原因之一。

⑩在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化。

这是比较常见的情况，测量过程中产生随机变化的因素是无法避免的。

1◈1修正值。

修正值一般是用来对系统误差进行补偿的，但其本身含有不确定度。

在测量不确定度来源的分析过程中，可从仪器设备、方法、环境、人员等方面全面地考虑，并对这些分量作预估，重点关注对测量结果影响较大的来源，尽量做到不遗漏、不重复。

4）标准不确定度的评定

在测量的过程中，往往会遇到很多需要对被测量进行多次（独立）重复观测的情况，通过获取的这些测得值，可以用算术平均值来表示该被测量期望值的最佳估计值，而被测量的估计值的标准不确定度可用算术平均值的标准差 s （ x ）表示为

此处， s （ x _k ）为样本标准差。后续的标准不确定度评定方法，无论是A类评定还是B类评定方法都是通过不同的方式“找到” s （ x _k ）或。

（1）A 类评定方法

基于样本观测值通过统计的方法找到 s （ x _k ）的常用方式有两种——贝塞尔公式法和极差法。

①贝塞尔公式法

此法是在拥有一定数量的样本数据前提下，根据方差的性质建立起单个样本标准差与样本均值的标准差之间的联系

从式（2.20）可知，与 s （ x _k ）有相同的自由度， υ = n -1（为样本均值，而非总体的期望值）。

②极差法

当样本数量较小时，贝塞尔公式法效果不佳，此时可以考虑用极差法。极差法的原理是用一组样本中的最大值与最小值之差（极差， R ）和样本的分布情况来近似的估计样本方差 s ² （ x _k ）或标准差 s （ x _k ）。在明确样本分布接近或符合正态分布的情况下，标准差 s （ x _k ）可按下式估算为

式中 R ——极差；

C ——极差系数（常见的 C 值见表2.5）。

表2.5　不同样本数量下的极差系数与自由度

（2）B 类评定方法

有的情况下，不一定了解具体的样本内容，但是知道样本的一些统计信息，如一定概率（置信水平） P 下的区间估计（置信区间）为此时如果知道样本的分布情况可以推算出的大小。 n

在日常的测量过程中，测量结果基本都服从或接近服从正态分布，以服从正态分布为例，根据数理统计知识很容易得到它们三者的关系为

式中 Ф （ k ）——正态分布 N （0，1）的分布函数；

k ——置信水平 P 的包含因子。

只要知道置信水平 P 和置信区间的半宽 a 和样本的分布情况都可以确定出标准不确定度的大小。为方便查阅将一些获取置信区间半宽 a 的途径和常见分布情况下的 k 值列出。

置信区间半宽 a 的常规途径如下：

①过去的测量数据。

②校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件。

③生产厂家的技术说明书。

④引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的参考数据。

⑤测量仪器的特性及相关资料等。

⑥检定规程、测试标准或校准规范中给出的数据。

⑦其他有用信息。

表2.6　正态分布下概率 P 与包含因子 k 的关系表

表2.7　非正态分布下概率 P =1时的包含因子 k 与B类不确定度的关系表

（3）合成标准不确定度

当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度可通过这些标准不确定度分量合成得到，称其为合成标准不确定度，一般用下式表示为

若令，则上式可表示为

式（2.24）称为标准不确定度传播公式，其中， u _c （ y ）为输出量估计值 y 的合成标准不确定度； u （ x _i ）为输入量估计值 x _i 的标准不确定度； a ₁ 为灵敏系数； ρ _ij 为 x _i ， x _j 的相关系数。

（4）扩展不确定度

扩展不确定度可以理解为是在一定的概率下被测量可能值的估计区间半宽，只是这个估计区间是根据合成不确定度这条“线索”获取的，扩展不确定度受合成不确定度 u _c 的影响较大。虽为估计区间，仍需了解被测量值的分布情况，再根据要求的概率大小确定出包含因子 k 的大小（与标准不确定度的B类评定方法中的 k 值确定方法一致）。此时扩展不确定度可表示为合成不确定 u _c 与 k 的乘积，即

U = ku _c （2.25）

除去正态分布外，t分布也是测量过程中常用到的一种分布形式，扩展不确定度会根据给定的置信水平 P 来表示，并记作 U _P ，如要求概率 P =99%时便记为 U ₉₉ 。同前述内容类似，可以得到