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回想一下小学的数学课。大多数美国人都对限时乘法测验记忆犹新。
每周开展的这些测试要求你反复练习1~12的乘法，可能会让你倍感压力。它们把数学变成了到达终点前的冲刺。即使你学得很好，当面对一页乘法题时，你可能仍然会感到心跳加快，甚至恶心想吐。
请不要误解我的意思。对数学学习的一些关键部分，速度很重要，但速度并不代表一切。“速度是学好数学的决定性特征”这个误区扼杀了爱上数学的一切机会。
事实上，孩子们要想学好数学，不必追求速度最快。遗憾的是，对速度的价值，我们有一段从重视不够转向过度重视的历史。我将在本章后面的内容中详细介绍这段历史。考虑到现代数字化设备的计算能力，这种过分重视尤显荒谬。你可能听说过有人坚称智能手机比帮助宇航员登陆月球的大型计算机还要强大。这是一个保守的说法。一部现在已经过时的iPhone 6苹果手机可以同时引导1.2亿艘阿波罗计划时代的宇宙飞船登陆月球。 [1] 我们手中的普通设备拥有惊人的计算速度。
我们其实已经在依赖计算速度提供的基本服务了，如电力和电信基础设施。为我们带来了谷歌搜索的网页排名（PageRank）算法展示了机器快速完成数学计算的颠覆性力量。使用生成式人工智能（如ChatGPT聊天机器人程序）带来的不可思议的体验，主要依赖于数学模型和计算能力的突破。我们不再需要人类做快速计算。然而，我们确实需要有人慢慢地、有条不紊地、创造性地考虑如何使用快速计算能力来解决困难和有趣的问题。
请想一想建筑方式的演变。在人类历史的绝大部分时间里，我们依靠自身和动物的蛮力建造建筑。埃及的大金字塔和中国的长城等工程奇迹，都是在没有电机的情况下建造的。在工业革命之前，如果你是建筑项目的负责人，你会尽可能雇用最强壮的人，也许还会训练役畜来协助你。今天，我们依靠起重机、推土机等重型机械来建造摩天大楼，而且不需要聘请肌肉发达的人来操作它们。相反，你应该雇用能熟练使用起重机的人。
重视速度带来了另一个重大问题：它有可能降低严谨性。达特茅斯学院现任校长西恩·贝洛克主要的研究方向是人类的表现，特别是当人类未发挥出自己的潜力时的表现。贝洛克在《纽约时报》畅销书《窒息》中分享了她的发现：在解决更复杂的数学问题时，老练的学生的解题速度比新手慢，为的是防止在时间压力下产生恐慌和窒息感。
在一项研究中，物理学研究生、教授和完成了一门物理课的本科生，同时被要求在时间压力下解决物理问题。 [2] 题目很难，但学过那门课程的本科生也可以解决。研究人员认为，研究生和教授完成任务的速度和准确性会高于本科生，但结果让他们大吃一惊。研究生和教授的准确性确实很高，但解决问题花费的时间更长。具体来说，他们花费了更长的时间后才开始动手解题。研究生并没有恐慌，而是认识到草率行事可能会让他们走上错误的方向，导致徒劳无功。正是因为研究生和教授在解决具有物理背景的复杂数学问题上经验丰富，所以他们会反复阅读提示，放慢速度，斟酌从哪里开始及如何开始。他们在计算速度上追回了一些时间，但是完成任务的速度仍然比本科生慢。本科生则经常在匆忙中误解题意，导致得出错误答案。在解题时，知道什么时候慢下来是一个优势。
我在旁听Zearn Math的软件工程师努力解决棘手问题时，从来没有听到或看到有人像三年级学生快速背诵乘法表那样大声说出他们脑海中闪现的第一个想法。相反，他们会花一些时间讨论问题的各个方面，把复杂的问题用更简单的图形表现出来（例如，在白板上用图描述问题）。他们经常使用计算机做计算，但是他们也会通过分析问题、向其他工程师征求意见，以及测试各种可能的方案得出最终答案。计算机的快速计算能力很有用，但这只是解决问题的一个环节。
如果过分重视速度，可能就会或多或少地降低我们解决问题的能力。著名的心理学家、儿童数学学习研究专家吉姆·施蒂格勒研究了学生花时间解决难题的意愿差异。 [3] 在一项研究中，他和研究人员给一年级学生出了一道很难的数学题。美国学生平均用时不到30秒就放弃了；而日本的一年级学生（他们的数学考试成绩通常好于美国一年级学生）为了解题，苦思冥想了一个多小时。
教育科学研究院（IES）是美国教育部的一个部门，也是一个备受尊敬的教学效果仲裁机构。在综合了数千项研究成果后，该部门认为，为了支持学生学习数学，特别是支持那些学习数学有困难的学生，“经常开展限时活动来提高熟练度”
是至关重要的。你可能要问，难道三年级的限时乘法测验不属于“限时活动”吗？是的，它们属于“限时活动”。
进一步研究教育科学研究院的结论，我们就会发现一个关于速度和数学的重要事实。如果你可以不假思索地完成部分解题过程，在解答给定问题时就可以节省一些脑力。换句话说，如果你不需要考虑每一步的计算，而是具备有效的计算方法，或者不用思考就知道很多计算结果，你就可以把更多的脑力用于学习新的数学知识或解决你面前的挑战。重复的限时活动是培养熟练度所需要的，因此也是数学学习的重要组成部分。
然而，如果孩子们经历的都是限时活动，就会失去做数学题的创造力和乐趣（甚至是严谨性）。让我们想象一个只练习音阶的钢琴学生。一般来说，即便是在初学阶段，钢琴学生也会接触一些旋律，以便他们能用所学的技巧演奏出有意义的东西。如果只练习音阶，你可能会很好地掌握音阶，但你会感觉钢琴练习和钢琴演奏本身枯燥而机械，你的钢琴演奏水平可能也不会有长足进步。
理解做数学题的速度或熟练度的重要性的另一个方法是将大脑和计算机做比较。购买计算机时，你需要决定购买多大的RAM（随机存取存储器）——RAM决定了计算机可以同时运行的程序数量。RAM和我们所说的人脑工作记忆有相似之处。在没有现代科学工具的19世纪90年代，美国哲学家威廉·詹姆斯对大脑的工作原理做了推测，并得出与后来的科学发现非常接近的结果。 [4] 他认为，大脑通过初级记忆和次级记忆发挥记忆功能，初级记忆持续几秒钟，将信息保存在我们的意识中，而次级记忆具有长期保持的性质，可以根据需要进入意识。詹姆斯的初级记忆就是我们现在所说的工作记忆。 [5]
从那时起，神经科学家和心理学家就开始深入研究记忆的运作原理。通常，次级记忆分为两种类型——外显记忆和程序性记忆。大脑的不同部分与记忆的不同部分相关联。20世纪50年代有一个著名的故事：一个名叫H. M. 的人，他的医生为了让他少受一些癫痫发作的痛苦，切除了他的一部分大脑。
手术导致了一种奇怪的健忘症：H. M. 可以与人对话并完成需要工作记忆的任务，但到了第二天，他就会忘记谈话的内容，也认不出见过的人。他的次级记忆受到了损伤，但并非全部消失。如果他在手术前见过你，那么他仍然知道你是谁。他只是不能储存新的外显记忆，比如名字或事实，但没有失去旧的外显记忆。此外，在手术前后，H. M. 都能建立新的程序性记忆，比如弹钢琴的指法、乘法表的内容或者投掷橄榄球的手法。简单来说，程序性记忆就是某个事情你知道怎么做，但你不能解释如何学会做这件事的。它就像是无意识的，因为非常熟练，所以你会觉得自然而然。但是，H. M.无法建立新的外显记忆，比如记住人名或地名。
从学前班到小学，美国的教育系统都致力于培养孩子们的工作记忆、外显记忆和程序性记忆。学前班的孩子的一天从井然有序的例行程序开始：把物品挂到小柜子里；洗手；把姓名牌翻过来，让老师知道你已经到校了；和老师打招呼，然后按照上午的环形队形坐好。每天上午都是如此。等孩子们的工作记忆掌握了这些一度难以掌握的多步指令后，这些任务就被转移到程序性记忆中。
当然，有时工作记忆会不起作用。例如你走进储物间找东西，但不记得要找什么（尽管不想承认，但我经常出现这种情况）；或者你的电脑宕机了，重启之后，你和电脑都要想一想之前在干什么。
在做家庭作业或试卷中的数学题时，学生们似乎知道一些零散的东西，但是不能将它们整合起来，这可能是他们的工作记忆超载了，超载也会导致宕机。为了简化预代数方程，七年级的学生可能需要计算6×7，再计算17 – 9。尽管这些都是核心问题的附属任务，但学生还是需要完成这些计算。如果为了得到答案42和8占用了学生太多的工作记忆，而且学生的RAM都在使用中，那么这个学生可能会感觉自己像是被困在封闭的空间里，茫然无措，会记不起方程简化到哪里了。
如果这个学生通过使用限时活动这种学习策略，提高了乘法和减法计算的熟练度，这些事实就会存储在他的程序性记忆中，回忆起这些事实就不那么费力了。程序性记忆会为学生的大脑解决这个问题留存足够的空间，工作记忆会被解放出来，让学生可以专注于需要解答的问题或参与新的数学学习。
这就是为什么提高对某些数学事实和步骤的熟练程度至关重要。速度很重要，只是它并不代表一切。
整合复杂性是一个有助于理解“是”和“不是”的术语。它的意思是，即使两件事看起来是对立的（悖论的定义），它们也有可能同时为真。整合复杂性很重要，因为它提醒我们要警惕将事实过于简单化。例如，能否学好数学完全取决于速度，或者反过来，速度与能否学好数学无关或对其有害。在讨论看待问题应多方权衡而不是采用非黑即白的思维方式的重要性时，许多人会提到整合复杂性这一概念。在本书的第一部分中，我都将依靠整合复杂性揭穿我们遇到的误区。
虽然我不是詹姆斯·韦布空间望远镜（JWST）发射和运行方面的专家，但我知道，这一壮举有助于我们理解整合复杂性。
JWST拍摄的第一批照片中，有一张是船底座星云的“宇宙悬崖”，非常漂亮，我的一个儿子把这张照片设置成了他电子设备的背景图片。JWST是美国航空航天局（NASA）、欧洲航天局（ESA）和加拿大航天局（CSA）共同努力的结果，是人类在数学和科学领域引以为豪的成就。
JWST有4个主要目标：（1）寻找大爆炸后宇宙中形成的第一批恒星和星系发出的光，（2）研究星系的形成和演化，（3）了解恒星和行星的形成，（4）研究行星系统和生命的起源。
那么，JWST怎么能找到大爆炸后第一批恒星和星系发出的光呢？宇宙大爆炸大约发生在138亿年前，所以要想实现以上目标，就需要观看遥远的过去。没错，这有点儿像时间旅行。光传播需要时间，例如太阳光到达地球需要8分钟多一点儿。这意味着当你欣赏日落时，你看到的是8分钟前的太阳。
同样，JWST观测的也是很久以前朝地球发射过来的光，目的是看到大爆炸后2.5亿年的宇宙是什么样子。
数以百计来自多个国家的科学家、数学家、工程师和技术人员携手，凭借有条不紊的工作（大多缓慢）和高超的数学水平（有时很快）创造了这个奇迹。关于JWST的第一次讨论始于1996年，然后研究人员在1999年开始了两项概念研究。由于JWST是建立在1999年还不存在的技术基础上的，它的构思和创造需要创新，所以启动了这两项概念研究。在计划开始时，人们不确定JWST这类大型空间望远镜能否建造得足够轻，使其可以被发射到太空中。NASA没有让一个团队来解决这个挑战，而是让两个团队开展研究。
22年后的2021年12月，在经历了10年的建造、组装后，JWST发射升空。但发射的计划工作早在12年前就开始了。此外，与哈勃空间望远镜不同的是，JWST将在远离地球的地方绕太阳运行，无法修复。计划过程面临着很多数学问题。
尽管有这种时间跨度很长的事例，但我们仍然经常认为，在数学领域，速度是学好数学的决定性因素。我们把自己绕进去了，以为起始速度决定了谁应该学数学。我们也很少费心去告诉学生，追求速度的重要目的是建立熟练度，而不是比谁完成简单计算的速度最快。也许很多人都看过太多讲述数学天才以闪电般的速度解决复杂问题的电影。误区一直存在，它是从哪里来的呢？
通常，我们不会从整合复杂性的角度讨论数学教育，也不会在必要的速度和熟练度与更具创造性和合作性的较慢方法之间取得平衡。但两者本应兼而有之，而不是非此即彼。这个问题可以追溯到“数学战争”，这个词出现在20世纪90年代，但这场“战争”在学校里已经打了至少50年。 [6] 在写这本书的时候，我很紧张，因为数学战争可能会卷土重来。对此，我们所有人都应该忧心忡忡，因为唯一的受害者是学生。
数学战争更像是第一次世界大战，而不是第二次世界大战。第二次世界大战是好人与坏人、国际反法西斯同盟与轴心国的较量。而描述第一次世界大战就困难得多。常见的解释是，一系列条约造成了“多米诺骨牌”效应，使多个大洲陷入战争。第一个多米诺骨牌倒下是因为一位大公被暗杀。战争结束时，有3 000多万人伤亡。与“一战”类似，数学战争也很复杂，没有容易识别的好人和坏人。事实上，许多教育工作者或STEM
工作者（比如我的软件工程师和技术专家团队）往往不清楚数学战争是关于什么的，涉及的问题也随着政治潮流起伏不定。此外，数学战争还会随着社交媒体名人吸睛的言论和派系的风云变幻而发生演变。与速度和数学有关的战争很简单：一方过分重视速度，另一方则对速度重视不足。
相关研究并没有公布在速度之战中谁是赢家。问题是，双方都不愿意接受研究提议的整合复杂性并取得适当的平衡。两大阵营都没有采取务实的方法，而是在纯粹的思想意识上争论不休，导致学生成为输家。毫无疑问，对立的双方对检讨自己的想法有什么实际用处并不感兴趣。2008年，美国数学咨询委员会在最终报告中点名了交战阵营，指出：“为了让学生为代数学习做好准备，课程必须同时培养概念理解、计算熟练度和解决问题的能力。争论这些数学知识谁更重要是错误的。这些能力是相互影响的，每一种能力都对掌握其他能力有促进作用。”
很明显，两个阵营都没有听取美国数学咨询委员会的意见。
其他发达国家数学学生的学习成绩通常优于美国学生，这在一定程度上是因为成绩好的学生能够在两个阵营之间找到平衡。这些国家的数学教学目标是培养足够的数学事实熟练度，解放工作记忆，使学生能够解决有趣的问题，同时引导学生像老练的物理学研究生一样放慢速度，解决复杂的问题。
与大多数战争一样，数学战争也有其历史根源。虽然很少有人提及，但至关重要的是，在过于热情地偏袒某一方之前，必须明确这一方的出发点是应该还是不应该教授数学。20世纪初，约翰·杜威的门生、现代数学教学法的创始人之一威廉·赫德·克伯屈认为数学是“智力上的奢侈品”，“对日常生活所必需的思维方式有害无益”
[7]
。与克伯屈同时代的戴维·斯内登（哥伦比亚大学教育学院教授，后来担任马萨诸塞州教育委员会委员）称代数“对90%的男孩和99%的女孩来说，是一门几乎毫无价值的非功能性学科”
。不管数学战争中的对手是否意识到，他们的一些观点最初是由生活在另一个世纪和另一个世界的人提出的，那些人反对精英之外的人接受高等数学教育。
加利福尼亚大学伯克利分校的艾伦·H. 舍恩菲尔德教授记录了100多年来人们对学习数学的看法所发生的拉锯式变化，以及由此导致的教学内容和教学方式的变化。例如，由于早期的反数学联盟影响了政策和教学，选修代数的学生比例从1909年的57%急剧下降到1955年的不足25%。 [8]
在第二次世界大战期间，支持数学与反对数学的两个阵营最初的结盟破裂了。政治领导人注意到军队新兵在接受簿记和射击训练时，需要基本的数学能力。随后，在20世纪50年代的冷战期间，出现了一次全面的数学恐慌，这场恐慌让全社会开始关注数学概念的学习，并再次推动了高等数学的发展。在此期间，代数重新进入了高中课程，而微积分更是第一次被纳入高中课程。从那以后，每隔20~30年（20世纪70年代和90年代，也许还有21世纪20年代），数学战争就会打响（希望不会再次发生）。
尽管两个阵营都不认为数学对“99%的女孩”来说毫无价值，但是对现实世界，尤其是现实世界STEM领域中的人来说，他们的立场往往是奇怪和难以理解的。例如，每次数学战争中都会出现的一场战斗是“步骤熟练度”与“概念理解”之间的争论。“步骤熟练度”的意思是，当被问到43×9等于多少时，你知道如何做乘法运算。通俗地说，乘法运算就是把数字堆叠起来，然后进位得到乘积。
概念理解是指你知道需要做什么。如果我问你43×9的乘积是比430大还是比430小，以及你是如何得出结论的，你可能会说：“比430小，因为43×10 = 430，所以43×9的乘积正好比430小43，即387。”这就是概念理解。
关于数学的这种争论就好像英语老师在争论是会读“步骤”和“概念”这些词重要，还是知道这些词的意思重要。或者，就像医生在争论是为你的心脏保证氧气和血液供应重要，还是为你的大脑保证氧气和血液供应重要。显然，两者都重要。将对数学、阅读或生存来说都至关重要的两个部分相互对立起来是毫无意义的。数学老师、家长、开创小型公司的创业者及幼儿园里的孩子都知道，你既需要知道如何做数学题，也需要知道你所做的数学题是什么意思。
影响（通常是负面影响）了几乎所有数学认同的速度误区就源于这种混乱。要么是我们没有花足够的时间安排限时活动来保证我们学习高级数学的能力，要么是我们参加了太多限时测试，以致我们对数学深恶痛绝。我们很少听到有人说数学战争并非出于恶意，但是知道这一点很关键。这些数学战争大多源于混乱的思想意识，在过去100年里，它决定了教育的发展。
几年前，一位名叫希拉的数学老师邀请我去加利福尼亚北部的几所小学参观。我们用一整天的时间走访了数十间教室，现场观摩了数学教学。那些授课老师及希拉的努力和奉献让我肃然起敬。
在一天的教学观摩结束后，我们来到教师休息室，找了一张桌子坐下。希拉打开电脑，调出一个电子表格，然后静静地坐在那里。我试图弄清楚她屏幕上显示出的表格的内容。那是一组图表，似乎显示了数百名学生回答所有乘法事实所需的时间。我不知道她向我展示这些信息的目的是什么。
于是我说：“谢谢你分享这些数据。需要我做什么吗？”
希拉告诉我，她好不容易才收集到这些数据。她说，他们想方设法地帮助孩子记住这些数学事实，包括使用歌曲、卡片和有奖竞赛等。然而，尽管付出这么多努力，结果却不尽如人意。数据表明，在被问到6×6或者9×9等于多少时，很多孩子可以在3~4秒内准确地给出答案。她想知道，他们还能做些什么来帮助这些孩子在2秒内说出答案。
我停顿了一下，然后问她：“这很重要吗？”
希拉没有听明白我的问题。为了澄清我的意思，我更加具体地问道：“为什么要把学生回答9×9等于多少的用时从3~4秒减少至2秒，这很重要吗？”
她看着我，好像我问她为什么认为地球是圆的一样。“就应该这样啊！”她说，“他们必须能不假思索地说出这些数学事实，才能在未来的数学学习中取得成功。不假思索意味着在2秒甚至更短的时间内回忆起来。就应该这样！”
我问她是否有研究证明，不假思索地回忆起数学事实的阈值应该是2秒而不是3秒，甚至5秒。她答不上来。后来，我做了一些调查，看看是否有因果研究能够证明在3秒还是2秒内回想起数学事实对现实生活很重要，但一无所获。
希拉是一位敬业且有才华的教育工作者，她找到了为数十个班级和数百名学生提供教学服务的方法。然而，她的真诚却被“速度决定一切”这个错误的前提引入了歧途。她深信能不假思索地回忆起所有乘法事实是学生在未来取得成功的关键，而不假思索意味着在2秒或更短时间内说出这些事实。她把速度误区发挥到了极致。
也许你和我一样，因为在早期数学教育中经历了没完没了的限时测试，导致无法在规定的时间内完成数学测试。老师说：“时间到。”而你还有一些题目没做。当听到老师说把笔放下时，你因为题目还没做完而心慌意乱。又因为没能按时完成，所以你得了低分。
由于这次“失败”，你可能学到了一些教训：
1.如果我不能在1分钟内得出问题的答案，那就不值得付出努力。别人可以在1分钟内解决这个问题，所以这个问题适合他们，而不适合我。
2. 我在数学方面肯定很笨，不应该继续学这些东西，因为我太慢了。
3. 不可能像培养其他学科能力或者像在体育运动中培养身体能力那样培养数学和推理能力；如果你做数学题的速度很慢，那就没有做数学题的意义了。
4. 决定成功的因素是记住一些武断的规则和事实，而不是推理或批判性思维。
所有这些错误结论都会导致数学焦虑症和厌恶数学，会让我们停止尝试，于是这变成了一个自证预言——我们越相信自己数学不好，就越逃避数学，数学水平就越差。
我知道限时测试和速度具有情境价值。我们在Zearn Math上就使用了限时策略，因为通过平台的测试和用户的学习数据表明，限时测试和速度对学生很重要。除了需要提高熟练度，每天上课的时间也是固定的，如果没有限时测试和严格的截止时间，学生可能永远也完不成任何任务。我也知道快速工作的能力可以让人及时把该做的事情做完——打字快的人比打字慢的人有优势，企业中的工作任务和报纸发行有严格的截止时间，科学家必须争分夺秒地研制疫苗。
但是，如果把速度设为主要目标，很多孩子就会被排除在外，永远也不会发展出至关重要的职业技能，无论他们最终从事什么职业。
我们需要牢记下面这些与速度误区相悖的现实：
1. 数学是生活中为数不多的没有武断规则、需要记忆的东西相对较少的领域之一。从许多方面看，它是一个开放的系统，鼓励思考和探索。
2. 与普遍看法相反，数学是一项团队运动。解决难题的方法是缓慢的合作，而不是个人尽可能快地完成自己的工作。
3. 数学的核心就是推理或批判性思维。这需要时间，尤其是当我们处理大问题的时候。它需要我们鼓起勇气，冷静下来，把问题分解成几个小问题，逐一解决后再把它们重新整合起来，得出正确的解决方案。
4. 数学可能很难，而难的事情需要时间。但是难并不意味着不可能、任务繁重或产生焦虑。像许多值得做的事情一样，数学需要我们付出努力。
研究表明，接受困难并乐于迎难而上是一种有利于学习数学、攀岩或获得任何有价值技能的心态。速度误区制造出了另一种现实，让我们认为，因为我们没有与生俱来的神奇速度，所以我们应该彻底避开数学（或者尽量少花心思）。我们从没有想过我们应该提升速度，尽管这可能很困难。阅读莎士比亚的作品很困难，学习瑜伽很困难，演奏乐器也很困难，但几乎每个人都可以克服这些困难，并从中获得极大的乐趣和益处。
记住上述内容有助于避免固定型思维模式，而固定型思维模式会导致我们认为数学极其困难、无聊，还会导致焦虑。研究表明，学生对完成特定学术任务的能力有两种看法。 [9] 第一种看法是增进倾向的：学生相信自己的能力是可塑的，付出努力就会提高能力。第二种看法是实体倾向的：学生认为能力是固定的，付出努力也无法提高能力。
实体倾向的看法会让速度不如同龄人的学生认为自己数学不好，而且这种看法永远不会改变。持有增进倾向看法的学生则认为，即使很难做完试题，或者解不出答案，他们也能通过练习提升自己。我将在第二部分的内容中探讨这种更加乐观和现实的倾向性。这种倾向有助于孩子们取得成功，无论他们解决问题需要花费多少时间。
[1] Alexis C. Madrigal, “Your Smart Toaster Can’t Hold a Candle to the Apollo Computer,” Atlantic , July 16, 2019, https://www.theatlantic.com/science/archive/2019/07/underappreciated-power-apollo-computer/594121/.
[2] Sian Beilock, Choke (New York: Atria Books, 2011), https://www.simonandschuster.com/books/Choke/Sian-Beilock/9781416596189.
[3] Alix Spiegel, “Struggle for Smarts? How Eastern and Western Cultures Tackle Learning,” NPR Morning Edition , accessed July 20,2023, https://www.npr.org/sections/health-shots/2012/11/12/164793058/struggle-for-smarts-how-eastern-and-western-cultures-tackle-learning.
[4] William James, The Principles of Psychology (New York: Cosimo,2007).
[5] Nathan S. Rose et al., “Similarities and Differences between Working Memory and Long-Term Memory: Evidence from the Levels-of-Processing Span Task,” Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition 36, no. 2 (2010): 471–83, https://doi.org/10.1037/a0018405.
[6] Alan H. Schoenfeld, “The Math Wars,” Educational Policy 18, no.1 (January 1, 2004): 253–86, https://doi.org/10.1177/0895904803260042.
[7] Jay Caspian Kang, “How Math Became an Object of the Culture Wars,” New Yorker , November 15, 2022, https://www.newyorker.com/news/our-columnists/how-math-became-an-object-of-the-culture-wars.
[8] “America’s Maths Wars,” Economist , November 6, 2021, https://www.economist.com/united-states/2021/11/06/americas-maths-wars.
[9] Aneeta Rattan, Catherine Good, and Carol S. Dweck, “ ‘It’s Ok — Not Everyone Can Be Good at Math’: Instructors with an Entity Theory Comfort (and Demotivate) Students,” Journal of Experimental Social Psychology 48, no. 3 (May 1, 2012): 731–37, https://doi.org/10.1016/j.jesp.2011.12.012.