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如果我说，其实我们并不特别清楚如何学习数学，你会怎么想？
尽管课堂上有严格的规则和练习，但是其背后的不确定性令人震惊。“我们对如何教孩子数学到底了解多少？”杰伊·凯斯宾·康在最近一篇关于数学教育现状的文章中提出了疑问，“答案是我们了解得并不多，而且我们知道的那一点儿东西也很有争议” [1] 。
他的这个说法令人震惊，因为数学是K–12教育（美国基础教育）学习的基本课程之一。特别是考虑到小学生对分数的理解预示着能否完成代数的学习，而能否完成代数学习是预示能否进入大学并完成大学学业的最重要因素。数学确实可以改变人生轨迹。
不过，我在10多年的数学教育历程中也发现了同样的问题。在建立和不断改进K–8（从幼儿园到八年级）数学学习平台（这个平台为数百万学生和数以万计的教师提供服务）的过程中，我切身体会到在建立数学思维等基本问题上，人们的怀疑和分歧有多么严重。
然而，10多年的经历让我确信一点：我们当年都有可能成为数学小能手。
10年前，我是不会相信这句话的。虽然我知道我成了数学小能手，而不是天生就是数学小能手，但我没有总结自己的经验。然而，出于各种原因，特别是新冠疫情期间，我踏上了高强度的学习之旅。作为一个乐观主义者，我愿意相信每个人与生俱来的能力。但我是一个持怀疑态度的乐观主义者，因此我只相信眼见为实。我认为我的经历是个案，能学好数学是得益于一种罕见的天生能力，因为这是社会的主流说法。虽然我通过努力勉强取得成功，但我仍然认为，能学好数学的人大多天赋异禀。
为什么我们对数学学习的认识很重要？因为我们最初的假设很重要，有的假设甚至会决定结果。假设会有意无意地影响我们的行为。大学一毕业，我就找到了一份用金融模型预测结果的工作。在接受培训时，我们被告知必须找到并探究分析模型中最敏感的假设，也就是说，如果改变这个变量，就会彻底改变模型得出的结果或答案。
深夜，我独自坐在工位上，处理那些电子表格，寻找最敏感的假设。我不时陷入沉思，思考在我生活的其他方面，哪些假设是最敏感的。如果我想喝更好的咖啡，吃正宗的印度菜，我能假设波士顿的咖啡馆和印度餐馆会改善餐品的品质吗？如果不能，那么我应该搬家吗？这些假设可以预测未来，因为它们可能在不经意间决定未来。
想一想，“谁能学好数学”和“我们如何教数学”是两个完全不同的问题。它们从截然不同的假设开始，表现为泾渭分明的两个项目。在一个项目中，我们是在分类，而在另一个项目中，我们是在教学。
为了理解“谁能学好数学”这个假设的重要性，接下来我要分享美国高中教育革命 [2] 中这个不为人知的故事。1890年，只有不到7%的美国儿童能上高中。 [3] 高中是富人的奢侈品，或者是通过入学考试才能享受的特权。能享受这个奢侈品的全是那些性别和种族都“正确”的人。然而，到1940年，美国儿童读高中的比例上升了10倍，达到了70%以上。 [4] 美国儿童教育发生的这个巨大变化大大改变了20—21世纪的文化、经济和政治，并对由美国领导的、延续至今的全球技术革命产生了重大影响。
这种转变的影响之深远，怎么形容都不为过。在美国和欧洲的历史上，孩子需要参加他们心仪高中组织的测试（其实就是“分类”），以确定他们是否足够优秀。在20世纪的前10年，美国检验了这种基于分类的假设。时代精神突然转变，许多教育领袖开始怀疑，学生能否通过高中教育出色地完成入学考试中评估过的那些任务，从而成为对社会更有贡献的人。
19世纪早期的教育领袖霍勒斯·曼提倡免费和普及教育（他没能在有生之年看到高中教育革命，但影响了它的筹划）。他认为，教育“是使众生平等的伟大的均衡器，是社会机器的平衡轮” [5] 。欧洲继续采用分类和测试的模式，而美国决定让“每个人”都接受教育，包括女孩。（然而，在大多数地方，“每个人”仍然只包括白人。整合教育系统的工作至今仍在继续。）通过对儿童和人力资本的投入，美国在技术和经济进步方面超越了当时的其他发达国家。事实证明，让所有学生，而不是挑选少数人接受高中教育，对所有人都有利。几十年后，欧洲也开始效仿。美国的高中教育革命，而不是欧洲的分类模式，成为世界上所有国家的默认教育模式。
让我们回到第一次促使我质疑自己的假设的那段经历。2012年，我辞去了快节奏的商业工作，与一群教育工作者一起创办了非营利性机构Zearn。虽然我在商界干了10多年，但我从未打算在这个行业待这么久。小时候，我告诉别人我想在美国红十字会工作，但我并不懂其中的意义；上大学时，我研究了社会部门和直接服务领域的职业。而在我希望从事的服务行业中，教育占有特殊的地位。
作为难民的孩子，我亲眼看见了良好的教育是如何改变生活的。当我的父母还是小孩子时，他们的生活很动荡。1947年夏天，随着印度摆脱殖民统治，英国匆忙计划的毁灭性分治（印度和巴基斯坦划界而治）导致1 400万人流离失所，估计有300万人死亡。 [6] 这是人类历史上最大的难民危机。作为孩子，看着全家人在印巴分治的余波中远渡重洋，我学到了3个关键的教训：第一，教育可以改变一个人的人生轨迹；第二，很多人很不幸，没有机会接受教育；第三，整个体系非常不公平。所以，当我有机会通过花费时间和精力来增加接受教育的可能性时，我抓住了这个机会。
我们创立Zearn是为了回答两个问题：第一个问题是，我们能否利用数字化工具继续推进高中教育革命，进一步普及优质教育？第二个问题是，科技如何在教学工作中发挥补充作用？在规划我们的发展方向时，我发现最有趣的答案回答的是我最初没有问过的问题，因此我开始质疑深藏在我的意识中但我并未意识到的几个假设。
没有任何手册告诉我该怎么做。我不得不另辟蹊径。在《瞬变》一书中，奇普·希思和丹·希思分享了一种在没有指令的情况下解决难题的模式。 [7] 他们使用的方法是研究“闪光点”，即克服重重困难的特殊案例。他们在书中写道，人们认为，越南农村儿童营养不良问题是贫困和卫生条件差的必然结果，因此在这些基础问题得到解决之前，儿童营养不良的情况是无法改善的。20世纪90年代，越南救助儿童会的负责人认为，这些观点是正确的，但毫无用处。他们不能等到贫困和卫生条件差的问题被解决之后，再去解决儿童营养不良问题。
研究小组通过观察发现，尽管生长环境相同，但有的孩子在茁壮成长，有的孩子却营养不良。他们发现健康儿童的父母在很多细微之处偏离了常规：虽然孩子每天吃的总量相同，但有的母亲每天让孩子吃4顿饭，而不是通常的2顿饭；亲手给孩子喂食，而不是让他们用公碗吃饭，也能让孩子更健康；给孩子们吃稻田里的虾蟹（被认为是儿童不宜的食物）和红薯叶（被认为是杂草），同样对健康有益。
我在寻找发展方向期间，也开始寻找闪光点。我认识的一些老师教过来自低收入社区，但是在州年度数学考试中取得优异成绩的学生。总的来说，财富和资源是预测教育能否有利于社会健康的重要指标。虽然以此作为指标很可悲，但我们从中看到了一个正向偏差：有人克服困难取得了非凡的成功。通过观察这些老师，我发现他们采用了一些微妙但非常有效的方法，帮助学生学习并热爱数学——就像吃些虾蟹和红薯叶可以获取营养一样，这些方法也起到了促进教育的作用。
请看下面这个问题：
你可能已经学会了用和我一样的方法来解答这个问题。首先，我会花几分钟，费力地找出面前这些分数的公分母。8、6、2、5的公倍数是多少？经过几次计算，我会得到120。然后，我还要做更多的计算，将所有分数转换为以120为分母的分数。我的计算过程如下。
但我遇到的一些老师在教授这个问题的解题思路时，使用的方法有所不同。就像越南父母用不同的方式喂养孩子产生了积极的健康结果一样，这些老师的教学方法也产生了正向偏差。他们关注的是引导学生深入理解这道数学题，因此首要目标并非让学生找出最小公倍数，尽管在必要的时候，他们的学生肯定可以准确地计算出最小公倍数，并用这个方法解决问题。他们知道，学生可以效仿老师的方法，花几分钟完成几十次计算，然后得出答案。他们还知道，学生无须了解自己到底在做什么，就能得出准确答案。但他们更知道，这是失败的教学。
这些老师在讲解这类问题时，首先会讨论分数的意义。他们会教导学生：“记住，分数是数字，不是象形符号。首先要确保你理解了这个问题，而不是直接照搬那些步骤。你可以使用图形或者给自己讲个故事，总之，你可以根据需要采用任何方法。”
一些老师在黑板上画了下面这样的图，把分数从毫无意义的符号变成了每个人都能理解的意思。
他们告诉学生，学数学时，理解至关重要；理解后，你甚至根本不需要计算。
这个不一样的方法让我惊愕不已，因为在上六年级时，为了留在数学优等班并最终学好斯奈德老师的数学课，我在卧室里练习时用的就是这样的方法。我的成绩落后得太多，我也不记得所有的步骤和技巧，所以我尝试了另一种策略——跳过步骤和技巧，在理解上下功夫。现在，我能说说自己当时是怎么做的了。为了理解数学题，我会通过画图或其他方法简化问题。虽然有时要花更长的时间，但我努力去理解，而不是只靠死记硬背。在我观摩过的重视理解的课堂里，孩子会发现数学是有意义的。他们被教导去寻找并理解这些意义，他们被教导应该期待做这样的事。这让我很兴奋。难怪这些孩子会成功，他们学习的是只有足够幸运的一部分人才能靠自己弄明白的“数感”。
顺便一提，上文的这个问题并不是什么古老的数学问题，而是美国国家教育进展评估（NAEP）中的一个问题。NAEP是一种针对四年级和八年级学生的代表性样本的教育评估工具，被称为“国家成绩单”，是我们了解美国学生数学成绩的重要方式。而在这道题目上，我们失败了：
75%的美国四年级学生答错了，其中41%的四年级学生选择了2/2，这是所有选项中最大的数，也是离1/2最远的值。如果按照图形来理解，没有学生会选择2/2作为正确答案。在正向偏差的课堂上，一个乏味的与实体无关的计算问题变成了一个更简单的推理问题。
为了寻找有效的学习策略，我需要学习多门学科，包括脑科学。我学到的知识使我更加坚信数学小能手是靠后天培养的，而不是天生的。近年来，认知科学及其相关领域取得了丰硕的研究成果，证明我们的大脑不是固定不变的，而是动态的——我们用“可塑性”一词来描述大脑做出改变的能力。
这与我的认知相悖。我曾认为大脑的能力是固定的：一个人要么聪明，要么不聪明；要么擅长写作或者数学，要么不擅长。我知道刻苦学习很重要。我靠勤奋完成了六年级的学业，我还目睹了父母为了让我和哥哥过上好日子，在美国重新接受医学培训的过程。然而，在内心深处，我仍然认为人的基础能力是固定的。但是在深入研究相关科研成果后，我发现事实恰恰相反。其实很简单，就像身体可以变得更健壮一样，大脑也可以变得更聪明。如果你每天做俯卧撑，你就能做越来越多的俯卧撑。你会很快超越自己及他人认为你能做到的极限，肌肉会变得更强壮。同样，大脑也可以变得更聪明。
请让我以宾夕法尼亚州新斯坦顿市的小男孩坦纳·科林斯的故事为例。 [8] 坦纳4岁时，大脑中长了一个高尔夫球大小的肿瘤，导致癫痫发作。上一年级的时候，他每天癫痫发作50次。医生切除了他1/6的大脑，包括右脑的整个视觉处理中心。出乎意料的是，坦纳依然茁壮成长。到12岁的时候，他的大脑与同龄儿童的大脑惊人地相似，而且他是一名全优生。
大脑的可塑性不仅能让孩子受益，成年人也能从中受益。在GPS（全球定位系统）出现之前，伦敦出租车司机必须做到能够在错综复杂的市区环境中自由穿行。 [9] 一项研究发现，他们在两点之间选择最快路线的能力惊人。事实上，这些出租车司机所面临的路线选择挑战刺激了大脑的发展；也就是说，他们的大脑因为工作而发生改变，导致记忆中枢的尺寸超过平均水平。
我们应该设计，并且也可以设计一个打造数学大脑的学习系统，而不是按照大脑是否已经做好学习数学的准备将孩子分类。如果我们提供适当的刺激和体验（相当于要求出租车司机在复杂的街区中寻找路线），孩子们就会迎难而上。
婴儿从咿呀学语过渡到能说完整的句子，并不会让我们感到惊讶。在婴儿还听不懂的时候，我们就开始和他们交谈，而且我们知道他们迟早会说话。人类有语言本能。但令我惊讶的是，我们还有数学本能，即与生俱来的数感。不仅人类会数数，灵长类动物、海豚，甚至鸟类（其大脑功能遭到了不公正的贬低）都能数数。
阻碍我们这一认识的一个因素是，长期以来我们一直被儿童心理学家让·皮亚杰的观点所影响。皮亚杰认为幼儿无法理解因果关系，不能进行逻辑思考。 [10] 皮亚杰指出，幼儿以自我为中心，很难从他人的角度考虑问题。他还认为，逻辑思维能力只能通过正规教育中的试错来获得。但是，前沿科学研究已经推翻了他的这些观点。从一开始，我们的大脑就是为数学而生的，能够理解数量、因果关系及复杂的代数思想，比如求解 x 。
事实上，加利福尼亚大学伯克利分校的一组研究人员比较了学龄前儿童与大学生求解 x 的能力，结果显示，学龄前儿童更胜一筹。 [11] 这项研究的结果还表明，学龄前儿童天生就理解多重因果关系的概念。研究人员向学龄前儿童和大学生展示了同一台机器（他们称之为“玩具”）。当在机器托盘上放置正确颜色或数量的积木时，机器会亮灯并发出声音。让机器亮灯的方法有两种。第一种方法是将一块蓝色积木放在托盘上，第二种方法是将一块橙色积木和一块紫色积木放在托盘上。研究人员要求每个小组利用积木使玩具亮灯，并让他们在玩游戏的同时完成实验。
每次玩游戏，学龄前儿童都比大学生做得好。虽然两个小组都能通过因果关系测试，确定蓝色积木可以让玩具亮灯，但学龄前儿童更有可能发现也可以通过两块不同颜色的积木来启动玩具。研究人员发现，大学生受到“单因单果思维”的影响，而学龄前儿童则更灵活，愿意考虑多重因果关系。
如果你仍然怀疑我们天生具有数学本能是没有科学依据的，就想一想鸽子和灵长类动物吧。鸽子不仅会数数，还能学习有关数字的抽象规则。事实证明，它们的能力与灵长类动物不相上下。 [12] 灵长类动物可以将屏幕上的物品由少到多排序，即使这些物品的大小和形状各不相同。 [13] 哪怕屏幕上出现的是不熟悉的物体，它们也可以完成这个任务。换句话说，不管对象是什么，灵长类动物都明确无误地知道5比2多。
无论是鸟类和猴子，还是大学生和学龄前儿童，我们取得的关键发现都很明确：数学能力并不是一种罕见的天赋，而是一种本能。如果你在一生中的大部分时间里都认为自己或其他人没有学数学的能力，那么一些强大的数据集可以帮助你质疑这个结论。
2012年，我与一些人共同创立了非营利性数学学习平台Zearn Math。因为是非营利性的，所以Zearn Math平台上的资源都是免费的。这也让我们能够专注于“为所有人学习数学提供服务”这个长期目标，而不是利润这个短期目标。老师们喜欢我们平台的测试版数字化课程，会与同事分享这个网站，使其传播开来。2023年，美国1/4的小学生和超过100万的初中生活跃在这个平台上。换句话说，数百万学生在我们的网站上完成了140多亿道数学题。因此，我们掌握了庞大的数学学习数据。
通过数据，我们可以看到孩子们是否理解了尽管4比2大，但1/4比1/2小。通过这一平台，我们可以每周推送代码来更新课程，以更好地满足学生的需求。我们的产品经理和数据科学家可以梳理数据，回答学习数学的最有效方法是什么。我们不断地从数据中看到一些简单而深刻的东西：随着数学题越做越多，所有学生都在学习上有所收获。我们发现之前得分最低的学生取得的进步最大。为什么会这样呢？这是因为在此之前，他们受到各种阻碍，导致他们的学习能力没有发挥到极限。根据140多亿道被解答的数学题，我们可以得出这样的结论：我们都有数学本能，我们都可以拥有数学大脑。
我们还可以通过数学之外的数据来扩充我们的视野。当看到下面这张关于识字率随时间变化的图表时，我不禁想到生活在1850年的人们对阅读能力做出的假设。今天，我们理所当然地认为识字是可以教授的，但在历史上，识字是一种罕见的技能。是什么制度和理由导致识字能力在19世纪如此特殊呢？是什么导致我们将人分类而不是教育他们呢？最后，也是最有趣的问题是，我们为什么要做出改变？
请注意图1–1中曲线的坡度。
在1800—1900年里，识字率逐渐提高，但是在1900年之后的100多年里，曲线的坡度变大了。在曲线变陡的同时，地球上的人口也在爆炸式增长。
图1-1 全世界15岁及以上人口中识字的人和不识字的人的比例
资料来源：改编自OurWorldinData.org/literacy（CC BY 4.0协议）
另一组相关数据是美国与其他经济合作与发展组织成员国的学生的数学成绩。在2022年国际学生评估项目（PISA）这项国际考试中，美国高中生的阅读能力排名第9，科学能力排名第16，而数学排名第34。 [14] 简而言之，欧洲国家和亚洲国家学生学习数学的人数和学习的内容都比美国学生多，无论用什么方法分析，都会得出这样的结果。同样重要的是，现在排名靠前的许多国家，也就是所有表现优异的亚洲国家，在50年前都与排名靠前的国家相距甚远。既然他们能取得这样的成就，我们也能。我们都可以成为数学达人。
这是我在作为学生学习数学、将数学应用于量化专业，以及了解其他人如何学习数学的过程中获得的顿悟。尽管这个顿悟足以让我放弃成功的商业生涯，转而创办一家旨在普及优质数学教育的非营利性机构，但我仍然没有足够深入地推进自己的假设。一旦我做到了，世界就会变得不一样了。本书接下来的内容涵盖了我在这段旅程中学到的东西，以及你如何运用这些东西与我们共同创造让所有人都可以学习数学的未来。
[1] Jay Caspian Kang, “What Do We Really Know about Teaching Kids Math?,” New Yorker , November 18, 2022, https://www.newyorker.com/news/our-columnists/what-do-we-really-know-about-teaching-kids-math.
[2] Claudia Goldin and Lawrence F. Katz, The Race between Education and Technology (Cambridge, MA: Belknap Press, 2010).
[3] Goldin and Katz, The Race between Education and Technology .
[4] Goldin and Katz, The Race between Education and Technology .
[5] Roslin Growe and Paula S. Montgomery, “Educational Equity in America: Is Education the Great Equalizer?,” Professional Educator 25,no. 2 (2003): 23–29.
[6] Guneeta Bhalla, “The Story of the 1947 Partition as Told by the People Who Were There,” Humanities 43, no. 3 (Summer 2022), https://www.neh.gov/article/story-1947-partition-told-people-who-were-there.
[7] Chip and Dan Heath, Switch: How to Change Things When Change Is Hard , 1st ed. (New York: Broadway Books, 2010).
[8] Amanda Grennell, “A Child Lost a Sixth of His Brain, Then Made an Amazing Comeback,” PBS NewsHour , August 2, 2018, https://www.pbs.org/newshour/science/this-child-lost-a-sixth-of-his-brain-the-rest-learned-to-pick-up-slack.
[9] Ferris Jabr, “Cache Cab: Taxi Drivers’ Brains Grow to Navigate London’s Streets,” Scientific American , December 8, 2011, https://www.scientificamerican.com/article/london-taxi-memory/.
[10] Jean Piaget, “Part I: Cognitive Development in Children: Piaget Development and Learning,” Journal of Research in Science Teaching 2 ,no. 3 (1964): 176–86, https://doi.org/10.1002/tea.3660020306.
[11] Alice Park, “Preschooler’s Innate Knowledge Means They Can Probably Do Algebra,” Time , March 20, 2014, https://time.com/28952/preschoolers-innate-knowledge-means-they-can-probably-do-algebra/.
[12] James Gorman, “How Smart Is This Bird? Let It Count the Ways,” New York Times , December 22, 2011, sec. Science, https://www.nytimes.com/2011/12/23/science/pigeons-can-learn-higher-math-as-well-monkeys-study-suggests.html.
[13] Jordana Cepelewicz, “Animals Can Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go?,” Quanta Magazine , August 9, 2021,https://www.quantamagazine.org/animals-can-count-and-use-zero-how-far-does-their-number-sense-go-20210809/.
[14] OECD, PISA 2022 Results (Volume I): The State of Learning and Equity in Education (Paris: OECD Publishing, 2023), https://doi.org/10.1787/53f23881-en.