道路勘测设计最新章节_裴俊华著

任务2.4
缓和曲线

缓和曲线是道路平曲线形要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。在高速公路上，有时缓和曲线所占比例超过了直线和圆曲线，成为平面线形主要组成部分。在城市道路上，缓和曲线也被广泛使用。

1.缓和曲线的作用与性质

1）缓和曲线的作用

（1）曲率连续变化，便于车辆遵循

汽车转弯行驶的过程中，存在一条曲率连续变化的轨迹线。无论车速高低，这条轨迹线都是客观存在的。它的形式和长度则随行驶速度、曲率半径和驾驶员转动方向盘的快慢而定。在低速行驶时，驾驶员尚可利用路面的富余宽度将汽车保持在车道范围内，缓和曲线似乎没有必要。但在高速行驶时，汽车有可能超越自己的车道驶出一条很长的过渡性轨迹线。从安全性考虑，有必要设置一条驾驶员易于遵循的缓和曲线，使车辆在进入或离开圆曲线时不致侵入邻近的车道。

（2）离心加速度逐渐变化，旅客感觉舒适

汽车行驶在圆曲线上产生离心力，离心力的大小与圆曲线的曲率成正比。汽车由直线驶入圆曲线或由圆曲线驶入直线，曲率的突变会使乘客有不舒适的感觉。所以，应在曲率不同的直线和圆曲线、圆曲线和圆曲线之间，设置一条过渡性的曲线以缓和离心加速度的变化，使旅客感到舒适。

（3）超高及加宽逐渐变化，行车更加平稳

道路横断面从直线上的双坡断面过渡到圆曲线上的单坡断面和由直线上的正常宽度过渡到圆曲线上的加宽宽度，一般在缓和曲线长度内完成。为避免车辆在过渡行驶中急剧地左右摇摆，并保证路容的美观，需设置一定长度的缓和曲线。

（4）与圆曲线配合，增加线形美观

圆曲线与直线直接衔接，在连接处曲率突变，视觉上有不平顺的感觉。设置缓和曲线后，线形连续圆滑，增加线形的美观，同时从外观上看也感到安全（图2.4.1）。

图2.4.1 直线与曲线连接效果图

2）缓和曲线的性质

为研究汽车由直线进入圆曲线的行驶轨迹，假定汽车为等速行驶，驾驶员匀速转动方向盘。当方向盘转动角度为 φ 时，前轮相应转动角度为 ϕ ，它们之间的关系为：

其中， k 为小于1的系数。转动角度为：

式中 ω ——方向盘转动的角速度，rad/s;

t ——行驶时间，s。

汽车前轮的转向角为：

设汽车前后轮轴距为 d ，前轮转动 ϕ 后，汽车行驶轨迹的曲率半径为 r ，由图2.4.2可知：

图2.4.2 汽车转弯行驶

因 ϕ 很小，可近似地认为：

汽车以 v （m/s）等速行驶，经时间 t （s）后，其行驶距离 l （弧长）为：

由式（2.4.2）得：

代入式（2.4.3）得：

式中， v 、 d 、 k 、 ω 均为常数，令：

式中 l ——汽车自直线终点开始转弯，经 t 后行驶的弧长，m;

r ——汽车行驶 t 后在 l 处的曲率半径，m;

C ——常数。

式（2.4.5）为汽车以不变角速度转动方向盘等速行驶的轨迹，说明汽车匀速从直线驶入圆曲线或圆曲线驶入直线，其行驶轨迹的弧长与曲率半径之乘积为常数。这一性质与数学上的回旋线正好相符。

2.缓和曲线的形式

对于缓和曲线形式，虽然相关学者提出过三次抛物线、双纽线等形式，但由于回旋线具有形式简单、计算方便等优点，因此《公路路线设计规范》规定，我国公路设计中，缓和曲线采用回旋线。

1）回旋线的基本公式

回旋线是曲率随曲线长度成比例变化的曲线。这一性质与前面驾驶员以匀速转动方向盘汽车由直线驶入圆曲线或圆曲线驶入直线的轨迹线相符。其基本公式为：

式中 r ——回旋线上某点的曲率半径，m;

l ——回旋线上某点到原点的曲线长，m;

A ——回旋线参数。

回旋线参数 A 表征回旋线曲率变化的缓急程度，在回旋线内 r 是随 l 的变化而变化的。在回旋线起点，曲率为零，曲率半径为无穷，但在回旋线终点处， l = L _s , r = R ，则 RL _s = A ² 。

式中 R ——回旋线所连接的圆曲线半径，m;

L _s ——回旋线型缓和曲线长度，m。

2）回旋线的相似性

回旋线的曲率是连续变化的，而且其曲率的变化与曲线长度的变化呈线性关系。因此，可以认为回旋线的形状只有一种，只要改变参数 A 就能得到不同大小的回旋线， A 相当于回旋线的放大系数。

A =1时的回旋线称为单位回旋线。根据相似性，可由单位回旋线要素计算任意回旋曲线的要素。在各要素中，又分长度要素（如切线长、曲线长、内移植、直角坐标等）和非长度要素（如缓和曲线角、弦偏角等），它们的计算方法为：

3.缓和曲线的最小长度及参数

1）缓和曲线的最小长度

缓和曲线应有足够的长度，从而满足车辆在缓和曲线上完成不同曲率的行驶过渡，以保障驾驶员能从容地转动方向盘、乘客感觉舒适、线形美观流畅，同时，圆曲线上的超高和加宽的过渡一般也在缓和曲线内平顺完成。基于此，应规定缓和曲线的最小长度。

（1）旅客感觉舒适

汽车在缓和曲线上行驶，其离心加速度随缓和曲线曲率的变化而变化，如变化过快会使乘客感到横向冲击。由离心力产生的离心加速度在时间内汽车从缓和曲线的起点到达缓和曲线终点，曲率半径 r 由∞均匀地变化到 R ，离心加速度由零均匀地增加到离心加速度的变化率为：

在等速行驶的情况下，则 t = L _s /v ，此时：

式中，离心加速度变化率 a _s 采用值，各国不尽相同。一般高速公路，英国采用0.3m/s ³ ，美国采用0.6m/s ³ ，我国一般控制在0.5~0.6m/s ³ 。若以 V （km/h）表示设计速度，则最小缓和曲线长度 L _s（min）的计算公式为：

（2）超高渐变率适中

应在缓和曲线上设置超高过渡段，若过渡段太短，则路面会急剧地由双坡变为单坡扭曲，对行车和路容均不利。

在超高过渡段上，路面外侧逐渐抬高，从而形成一个“附加坡度”。当圆曲线上的超高 s 值一定时，该附加坡度取决于过渡段长度。附加坡度（也称超高渐变率）太大和太小都不利，太大会使行车左右摇摆影响行车安全，太小对排水不利。《公路路线设计规范》规定了适中的超高渐变率，由此可导出计算过渡段最小长度的公式：

式中 B′ ——旋转轴至行车道（设路缘带时为路缘带）外侧边缘的宽度，m;

Δ _i ——超高坡度（超高值）与路拱坡度代数差，%；

P ——超高渐变率。

式（2.4.9）的推导和关于 P 的规定详见第四章。

（3）行驶时间不过短

缓和曲线不管其参数如何，都不可使车辆在缓和曲线上的行驶时间过短，过短会使驾驶员操作不便，甚至造成驾驶操纵的紧张和忙乱。一般认为，汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应达到3s，于是有：

式中 V ——汽车行驶速度，km/h。

根据影响缓和曲线长度的各项因素，《公路路线设计规范》制定了各级公路缓和曲线最小长度，如表2.4.1所示。《城市道路工程设计规范》规定了城市道路的最小缓和曲线长度，如表2.4.2所示。

表2.4.1 各级公路缓和曲线最小长度

表2.4.2 城市道路缓和曲线最小长度

《公路路线设计规范》规定的缓和曲线最小长度基本满足双车道公路以中线为旋转轴设置超高过渡的长度，但对以双车道边线为旋转轴，或者行车道数较多或较宽的公路，则可能超高所需过渡段长度会更长一些。因此，应视计算结果而采用其中较长的一个。

2）缓和曲线参数A值

缓和曲线参数 A 值决定了回旋线曲率变化的缓急程度。 A 的最小值应根据汽车在缓和曲线上缓和行驶的要求、行驶时间要求以及允许的超高渐变率要求等确定。《公路路线设计规范》规定了缓和曲线最小长度，由公式 RL _s = A ² 可知，也确定了最小参数 A 值。因此，在进行平面线形设计时，可选定缓和曲线长度，也可选定缓和曲线参数 A 值。

缓和曲线参数应与圆曲线半径相协调，研究认为：缓和曲线参数与连接的圆曲线半径 R 之间，只要保持 R / 3≤ A ≤ R ，便可获得视觉上协调、舒顺的线形。

不过上述关系只适用于 R 在各自范围之内。经验证明，当 R 在100m左右时，通常取 A = R ；如果 R <100m，则选择 A = R 或> R ，反之，在圆曲线半径较大时，可选择 A 在 R /3左右；如 R 超过3000m，即使 A < R /3，在视觉上也是没有问题的，如图2.4.3所示。当然，缓和曲线长度和回旋线参数的确定，还必须考虑到地形、排水和中间所夹圆曲线长度等因素。当限制较多时，方可选用极限值。

图2.4.3 A 和 R 的关系

3）缓和曲线的省略

在直线和圆曲线之间设置缓和曲线后，圆曲线产生内移值 P ，在 L _s 一定的情况下， P 与圆曲线半径成反比；当 R 大到一定程度时， P 值甚微，即使直线与圆曲线直接相连，汽车也能完成曲率渐变行驶，因为在车道的富余宽度中已包含该内移值。所以，《公路路线设计规范》规定，在下列情况下可不设缓和曲线：

①在直线与圆曲线间，当圆曲线半径大于或等于“不设超高的最小半径”时；

②半径不同的同向圆曲线间，当小圆半径大于或等于“不设超高的最小半径”时；

③小圆半径大于表2.4.3中所列复曲线中小圆临界曲线半径，且符合下列条件之一时：

a.小圆曲线按规定设置相当于最小缓和曲线长度的冋旋线时，其大圆与小圆的内移值之差不超过0.10m;

b.设计速度大于或等于80km /时，大圆半径（ R ₁ ）与小圆半径（ R ₂ ）之比小于1.5;

c.设计速度小于80km/h时，大圆半径（ R ₁ ）与小圆半径（ R ₂ ）之比小于2。

《城市道路工程设计规范》规定的不设缓和曲线的最小圆曲线半径如表2.4.4所示。

表2.4.3 复曲线中小圆临界曲线半径

表2.4.4 城市道路不设缓和曲线的最小圆曲线半径

4.缓和曲线的运用

①缓和曲线作为平面线形要素之一，在线形设计中应作为主要线形要素加以应用，不能仅视为一种过渡的线形。设计时，要注意与直线和圆曲线相协调、配合，在线形组合和线形美观上产生良好的行车和视觉效果。

②缓和曲线参数宜根据地形条件及线形要求确定，并与圆曲线半径相协调。

③缓和曲线长度除满足最小缓和曲线长度外，还应考虑超高的要求，所选择的缓和曲线长度还应大于或等于超高缓和段的要求。

④两反向圆曲线相衔接或插入的直线长度不足时，可用缓和曲线将两反向圆曲线连接组合为S形曲线。

⑤两同向圆曲线相衔接或插入的直线长度不足时，可用缓和曲线将两同向圆曲线连接组合为卵形曲线。当受地形条件限制时，可用缓和曲线与圆曲线组成凸形曲线、复合曲线或C形曲线等形式。

5.缓和曲线的直坐标及要素计算

（1）切线角

如图2.4.4所示，设回旋线上任一点 P 的切线与起点ZH或HZ的切线的夹角称为切线角，用 β 表示。该角值与 P 点至起点的曲线长 l 所对的中心角相等。在 P 处取一段微分弧d l ，所对中心角为d β ，于是：

积分得：

当 l = l _s 时，以 β ₀ 代替 β ，式（2.4.11）可写成：

以角度来表示，则：

β ₀ 即为缓和曲线全长 l _s 所对的中心角即切线角，也称缓和曲线角。

图2.4.4 回旋形缓和曲线

图2.4.5 带有缓和曲线的圆曲线直角坐标

（2）缓和曲线的直角坐标表达式

如图2.4.5所示，根据缓和曲线角，构建缓和曲线参数方程，在数学实质上形成了以缓和曲线的起点为坐标原点，过该点的切线为 x 轴，过原点的半径为 y 轴的直角坐标系。在缓和曲线上，取任一点 P 的坐标为（ x , y ），则微分弧d l 在坐标轴上的投影为：

将式（2.4.14）中的cos β 、sin β 按级数展开为：

将 β = l ² /2 Rl _s 代入其中，式（2.4.14）可写成：

积分后略去高次项得：

式（2.4.15）即为缓和曲线的参数方程。当 l = l _s 时，即可得缓和曲线的终点坐标为：

（3）带有缓和曲线的圆曲线直角坐标

如图2.4.6所示，在同一坐标系下，按照几何关系求得带有缓和曲线的圆曲线上任意点 P 的坐标为（ x , y ）为：

或 &nbsp；为该点到点HY或YH点的曲线长，仅为圆曲线部分的长度。

式中 l ——测点至ZH点或HZ点曲线长；

l _s ——缓和曲线长；

β ₀ ——缓和曲线角。

图2.4.6 曲线的内移植与切线增长值

（4）缓和曲线要素计算

①曲线的内移值与切线增长值计算。

如图2.4.6所示，在直线与圆曲线之间插入缓和曲线时，必须将原有的圆曲线向内移动距离 P 才能使缓和曲线的起点位于直线方向上，这时切线增长了 q 。公路上，一般采用圆心不动的平行移动方法，即未设缓和曲线时的圆曲线为弧 FG ，其半径为（ R + P ）；插入两段缓和曲线 AC 和 BD 后，圆曲线向内移，其保留部分为弧 CMD ，半径为 R ，所对的圆心角为（ α -2 β ₀ ）。