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圆曲线是道路平面线形的三大要素之一，亦是最常用的线形要素。《公路路线设计规范》规定，各级公路不论转角大小均应设置圆曲线。圆曲线设计的主要任务是：在满足技术标准的前提下，结合路线的等级、地形、地物及其他环境条件，充分考虑行车安全、行车速度、工程经济和线形舒顺的要求，选择适宜的曲线半径，并确定敷设圆曲线的各项曲线要素。本任务将主要介绍圆曲线半径的确定及圆曲线运用等问题。
各级公路与城市道路不论转角大小均应设置圆曲线，从圆曲线的使用特征分析，其主要特点如下：
①圆曲线上任意一点的曲率半径 R 为常数，故测设比缓和曲线简便。
②圆曲线上的每一点都在不断地改变方向，因而汽车在圆曲线上的行驶要受到离心力的作用，对行车的安全性、舒适性等产生不利影响，圆曲线半径越小、行驶速度越高，行车越不安全。
③视距条件差。汽车在圆曲线内侧行驶时，视线受到路堑边坡或其他障碍物的影响，视距条件差，容易发生交通事故。同时，汽车在平曲线上行驶时各轮轨迹半径不同，比在直线上行驶要多占用路面宽度。
④较大半径的长缓圆曲线具有线形美观、顺适、行车舒适等特点，是公路上常采用的线形。
汽车行驶稳定性是指汽车行驶过程中，在外部因素作用下，汽车尚能保持正常行驶状态和方向，不致失去控制而产生滑移、倾覆等现象的能力。
影响汽车行驶稳定性的因素主要有汽车本身的结构参数、驾驶员的操作技术以及道路与环境等外部因素的作用。
汽车在圆曲线上行驶时会产生离心力，其作用点在汽车的重心，方向水平背离圆心。一定质量的汽车其离心力大小与行驶速度的平方成正比，而与圆曲线半径成反比。
式中 F ——离心力，N;
R ——圆曲线半径，m;
v ——汽车行驶速度，m/s;
G ——汽车重力，N;
g ——重力加速度，9.8m/s 2 。
离心力对汽车在圆曲线上行驶的稳定性影响很大，它可能使汽车向外侧滑移或倾覆。为抵消或减小离心力的作用，保证汽车在圆曲线上稳定行驶，必须使圆曲线上路面做成外侧高、内侧低呈单向横坡的形式，称为横向超高。如图2.3.1所示，汽车行驶在设置了超高的圆曲线上时，其汽车重力的水平分力可抵消一部分离心力的作用，其余部分由汽车轮胎与路面之间的横向摩阻力与之平衡。
图2.3.1 汽车转弯时的受力分析
将离心力 F 与汽车重力 G 分解为平行于路面的横向力 X 和垂直于路面的竖向力 Y 。
因路面横向倾角 α 一般很小，则sin α ≈tan α = i h ,cos α ≈1，其中 i h 称为横向超高坡度（简称超高值）。
横向力 X 是汽车行驶的不稳定因素，竖向力是稳定因素。 X 值的大小，尚不能反映不同重力汽车的稳定程度。例如，5kN的横向力若作用在小汽车上，可能使其产生横向倾覆的危险，而作用在重型载重汽车上则可能是安全的。故采用横向力系数 μ 来衡量稳定性程度，其意义为单位车重的横向力。
用 V （km/h）代替上式中的 v （m/s），经换算得：
式中 R ——圆曲线半径，m;
μ ——横向力系数；
V ——汽车行驶速度，km/h;
i h ——横向超高坡度（超高值）。
式（2.3.2）表达了横向力系数与车速、圆曲线半径及超高值之间的关系。 μ 值越大，汽车在圆曲线上的稳定性越差。式（2.3.2）对确定圆曲线半径、超高值以及评价汽车在圆曲线上行驶时的安全性和舒适性有十分重要的意义。
汽车在具有超高的圆曲线上行驶时，由于横向力的作用，可能使汽车绕外侧车轮触地点产生向外横向倾覆的危险。为使汽车不产生倾覆，必须使倾覆力矩小于或等于稳定力矩。
因 Fi h 比 G 小得多，可略去不计，则有：
式中 b ——汽车轮距，m;
h g ——汽车重心高度，m。
将式（2.3.3）代入式（2.3.2）并整理，得：
用式（2.3.4）可计算汽车在圆曲线上行驶时，不产生横向倾覆的最小圆曲线半径 R 或最大允许行驶速度V。
汽车在圆曲线上行驶时，因横向力的存在，可能使汽车沿横向力的方向产生横向滑移。为使汽车不产生横向滑移，必须使横向力小于或等于轮胎和路面之间的横向摩阻力。
式中 φ h ——横向摩阻系数，一般 φ h =（0.6~0.7） φ ， φ 为附着系数。
将式（2.3.5）代入式（2.3.2）并整理，得：
用式（2.3.6）可计算出汽车在圆曲线上行驶时，不产生横向滑移的最小圆曲线半径 R 或最大允许行驶速度 V 。
由式（2.3.3）和式（2.3.5）可知，汽车在圆曲线上行驶时的横向稳定性主要取决于横向力系数
μ
值的大小。现代汽车在设计制造时，重心较低，一般
，而
，所以
即汽车在圆曲线上行驶时，在发生横向倾覆之前先产生横向滑移现象。因此，在道路设计中应保证汽车不产生横向滑移，同时也就保证了横向倾覆的稳定性。只要设计采用的
μ
值满足式（2.3.5）条件，一般在满载情况下能保证横向行车的稳定性，但装载过高时可能发生倾覆现象。
行驶在曲线上的汽车由于受离心力作用，其稳定性受到影响，而离心力的大小又与圆曲线半径密切相关，半径越小越不利。所以，在选择圆曲线半径时应尽可能采用较大的值，只有在地形或其他条件受到限制时才可使用较小的曲线半径。为了行车的安全与舒适，《公路工程技术标准》规定了圆曲线半径在不同情况下的最小值。
由式（2.3.2）得：
式中 R ——圆曲线半径，m;
V ——行驶速度，km/h;
μ ——横向力系数；
i h ——超高值，设超高时为“+”，不设超高时为“-”。
在车速 V 一定的情况下，最小半径 R min 取决于容许的最大横向力系数 μ max 和该圆曲线的最大超高值 i h（max） 。
横向力的存在对行车产生种种不利影响， μ 越大越不利，表现在以下4个方面：
①危及行车安全。汽车能在圆曲线上行驶的基本前提是轮胎不在路面上滑移，要求横向力系数 μ 低于轮胎与路面之间所能提供的横向摩阻系数 φ h 。
φ h 与车速、路面及轮胎等有关。一般在干燥路面上， φ h 为0.4~0.8；在潮湿的沥青路面上汽车高速行驶时， φ h 降低到0.25~0.40；路面结冰和积雪时， φ h 降低到0.2以下；在光滑的冰面上， φ h 可降到0.06（不加防滑链）。
②增加驾驶操纵的困难。圆曲线上行驶的汽车在横向力作用下，弹性轮胎会产生横向变形，使轮胎的中间平面与轮迹前进方向形成一个横向偏移角（图2.3.2），其存在增加了汽车在方向操纵上的困难。特别是车速较高时，如横向偏移角超过5°，一般驾驶员就不易保持驾驶方向的稳定。
图2.3.2 汽车轮胎的横向偏移角
③增加燃料消耗和轮胎磨损。 μ 的存在使轮胎和路面之间的摩阻力增加，车辆的燃油消耗和轮胎磨损增加。表2.3.1所示为不同横向力系数下的实测损耗值。
表2.3.1 实测损耗值
续表
④旅行不舒适。 μ 值过大，汽车不能连续稳定行驶，有时还需要减速。在圆曲线半径小的曲线上，驾驶员要尽量大回转，易离开车道发生事故。当 μ 超过一定数值时，驾驶员要采用增加汽车稳定性的措施，增加了驾驶员在圆曲线行驶中的紧张。 μ 值增大还会使乘客感到不舒适。据试验，乘客随 μ 的变化其心理反应如下：当 μ <0.10时，感觉不到有曲线存在，很平稳；当 μ =0.15时，稍感到有曲线存在，尚平稳；当 μ =0.20时，已感到有曲线存在，稍感不稳定；当 μ =0.35时，感到有曲线存在，不稳定；当 μ ≥0.40时，非常不稳定，有倾覆的危险感。
综上所述， μ 的采用值关系到行车的安全、经济与舒适。为计算最小圆曲线半径，应考虑各方面因素采用一个合适的 μ 值。一般情况下， μ max =0.10~0.16，车速高时取低值，车速低时取高值。
由式（2.3.2）可知，在车速一定时，半径越小，横向力系数越大。统计资料表明，在圆曲线半径小的路段，驾驶员通常会降低车速，以保证安全。但半径大于400m的圆曲线对运行速度影响不大。
在车速较高的情况下，为了平衡离心力要用较大的超高，但道路上行驶车辆的速度差异较大，特别是在混合交通的道路上，不仅要照顾快车，也要考虑慢车的安全。对于慢车，乃至因故暂停在弯道上的车辆，其离心力接近或等于0。如超高值过大，超出轮胎与路面间的横向摩阻系数，车辆有沿路面最大合成坡度下滑的危险。因此，最大超高率不应大于轮胎与路面间的横向摩阻系数。
式中 φ w ——一年中气候恶劣季节路面的横向摩阻系数。
确定最大超高值 i h（max） ，除考虑道路所在地区的气候条件外，还必须给驾驶员和乘客以心理上的安全感。对重山区、城市附近、交叉口以及有相当数量非机动车行驶的道路，最大超高应比一般道路小些。
《公路路线设计规范》对各级公路的最大超高规定：一般地区的高速公路、一级公路为8%或10%；二、三、四级公路为8%；积雪冰冻地区的各级公路均为6%；城镇区域各级公路均为4%。二、三、四级公路接近城镇且混合交通量大的路段，车速受到限制和城市道路设计速度为80km/h时，最大超高取6%；当设计速度为60km/h时，最大超高取4%；当设计速度为40km/h、30km/h、20km/h时，最大超高取2%。
汽车在圆曲线上行驶时保持稳定的必要条件是汽车所受横向力被轮胎与路面之间的摩阻力抵消。若横向力大于摩阻力，则汽车出现横向滑移。因此，在设计时应控制横向力系数 μ 不超过摩阻系数 φ h 。
《公路工程技术标准》根据不同横向力系数及超高值，对不同等级的公路规定了圆曲线的极限最小半径、一般最小半径和不设超高的最小半径。
极限最小半径是指为保证车辆按设计速度安全行驶所规定的圆曲线半径最小值。《公路工程技术标准》规定的 i h =6%~10%、 μ =0.1~0.17，将超高值和横向力系数代入式（2.3.7），即得出《公路工程技术标准》规定的圆曲线最小半径的极限值，如表2.3.2所示。设计中，常采用8%超高的圆曲线最小半径极限值。
表2.3.2 圆曲线极限最小半径（极限值）
一般最小半径是指各级公路对按设计速度行驶的车辆能保证其安全、舒适的最小圆曲线半径，标准中的一般最小半径值是按 i h =6%~8%、 μ =0.05~0.06计算取整得到，如表2.3.3所示。
表2.3.3 圆曲线一般最小半径（一般值）
一般最小半径是在通常情况下推荐采用的最小半径。一是考虑汽车在这种圆曲线上以设计速度或以接近设计速度行驶时，旅客有充分的舒适感；二是考虑在地形比较复杂的情况下，不会过多增加工程量。
当圆曲线半径较大时，离心力的影响较小，路面摩阻力可保证汽车有足够的稳定性，这时可不设超高，设置与直线段上相同的双向横坡路拱形式。因此，不设超高最小半径是指不必设置超高就能满足行驶稳定性的圆曲线最小半径。
从舒适和安全的角度考虑，应把横向力系数控制到最小值，以使乘客在圆曲线上与在直线上有大致相同的感觉。《公路工程技术标准》中不设超高的最小半径规定为：当路拱横坡小于或等于2%时，分别取 μ =0.035、 i h =-0.015和 μ =0.040、 i h =-0.02；路拱横坡大于2%时，当 i h =-0.025时取 φ h =0.04，当 i h =-0.03时取 φ h =0.045，当 i h =-0.035时取 φ h =0.050，按式（2.3.7）计算取整得到，如表2.3.4所示。
《公路工程技术标准》和《城市道路工程设计规范》中所规定的圆曲线最小半径如表2.3.4和表2.3.5所示。
表2.3.4 不设超高的圆曲线最小半径
表2.3.5 城市道路圆曲线最小半径
注：“一般值”为正常情况下的采用值；“极限值”为条件受限时，可采用的值。
各级公路设计中，应根据沿线地形等情况，尽量选用较大半径，极限最小半径一般尽可能不用；当不得已采用极限最小半径时，应注意前后线形的协调。从目前国内已建公路的调研情况看，山岭区公路采用比极限最小半径稍大的半径的路段，尽管也做到了线形指标的逐渐过渡，但很难引起驾驶员的足够注意，行车速度一般不会有大的改变；极限最小半径的曲线不仅表现出行车不舒适，而且往往因超高与速度不匹配导致驾驶操作不当引发事故。
圆曲线半径较小时，车辆行驶速度一般会有所降低。但对于陡的下坡路段，往往由于汽车的动量关系，容易导致车辆加速行驶，造成圆曲线上车速增高，影响行车安全。因此，当公路平面必须设置小于一般最小半径的小半径曲线时，应根据纵坡设置情况适当加大曲线半径。
选用圆曲线半径时，在地形等条件允许的前提下，应尽量采用大半径曲线，使行车舒适。但半径过大，对施工不利，且过大的圆曲线半径，其几何外观与直线无多大差异。研究表明，当圆曲线半径大于9000m时，视线集中的300~600m范围内的视觉效果与直线没有区别。因此，《公路路线设计规范》规定，圆曲线最大半径值不宜超过10000m。
汽车在曲线线形的道路上行驶时，如果曲线很短，则驾驶员操作方向盘频繁而紧张，这在高速行驶的情况下是危险的。在平面设计中，公路平曲线一般由前后缓和曲线和中间圆曲线三段曲线组成，为便于驾驶操作和行车安全与舒适，汽车在任何一段线形上行驶的时间都不应短于3s，即在曲线上行驶时间不短于9s；如果中间的圆曲线为零，则会形成两回旋曲线直接衔接的凸形曲线，这对行车不利，只有在受地形条件限制的山嘴或特殊困难情况下方可使用。因此，在平曲线设计时，圆曲线的最小长度一般要达到3s行程。
道路平面设计时，应根据沿线地形、地物等条件，尽量选用较大半径，以保证行车安全舒适。在选定半径时，既要技术合理，又要经济适用；既不盲目采用高标准（大半径）而过分增加工程量，也不只考虑眼前通行要求而采用低标准。
①选定圆曲线半径应与地形相适应，以采用超高值为2%~4%的圆曲线半径为宜。
②地形条件受限时，可采用大于或接近圆曲线一般最小半径；地形条件特殊困难不得已时，方可采用圆曲线极限最小半径。
③在选用圆曲线半径时，应与设计速度相适应，同相衔接路段的平、纵线形要素相协调，构成连续、均衡的曲线线形。
④从交通安全的角度考虑，400m是圆曲线半径选择的参考基准值。相关研究成果表明，大量的交通事故与小半径曲线有关，交通事故率和事故严重程度随着曲线半径的增加而降低；圆曲线半径低于200m的路段交通事故率要比圆曲线半径大于400m的路段至少高一倍。圆曲线半径大于400m时，对运行速度已经没有太大的影响，对于安全性的提高也没有太大影响。同时，半径均衡的曲线组合比不均衡的曲线组合更安全，长直线接小半径曲线对行车非常不利。
⑤选用曲线半径时，最大半径值一般不应超过10000m。论研究和实践表明，对于高速公路而言，当 R >3000m后，汽车的横向力系数的差异极小。由于横向力的存在而引起的舒适性方面的降低是人体感觉不到的，在驾驶操作上与在直线段上已无大的差异，因横向力的存在而增加的燃料消耗也小于3%。当地形平坦景观单调时，在大曲率长曲线上行驶如同在长直线上行驶一样，会使驾驶员感到疲劳、反应迟钝。调查表明，驾驶者不希望在过长、过缓的曲线上行驶。所以，选用大半径的曲线时，也应持谨慎的态度。
如图2.3.3所示，已知交点位置、线路的转角 α 、圆曲线半径 R 3个条件，根据几何关系，则圆曲线的要素可按下列公式计算：
图2.3.3 圆曲线测设元素
式中 R ——圆曲线半径，m;
α ——线路的转角，（°）。
线路曲线段的里程是按曲线长度传递的，即按汽车的行驶轨迹计算里程，故YZ 里程 ≠JD 里程 + T 。圆曲线各主点里程按下式计算，由图2.3.3可知：
圆曲线切线支距法即以曲线的起点ZY点或终点YZ点为原点，以切线为 x 轴，以过原点的半径为 y 轴，以求得曲线上各点的坐标 x 、 y 来测设曲线，故又称直角坐标法，如图2.3.4所示。
图2.3.4 圆曲线直角坐标
设 P i 为曲线上欲加测的点位，该点距曲线的起点ZY点（或终点YZ点）的弧长为 l i , φ i 为 l i 所对的圆心角， R 为曲线半径，则曲线上任意一点 P i 的坐标为：
式中
，其中
为圆曲线上各点至坐标原点的弧长（里程之差）。
【例2.3.1】已知某四级公路，交点的里程为K6+182.76，曲线的转角为 α y =25°48′，曲线半径 R =300m，求圆曲线的曲线要素及主点桩号。
【解】①圆曲线测设元素。由式（2.3.10）代入数据计算可得：
②主点里程计算：
