2.5.2 绕铅直定轴等角速旋转容器中液体的平衡

（1）压强分布

设盛装有液体直立圆筒容器，以等角速度 ω 绕其中心轴旋转，如图 2.22 所示。在开始旋转时，液体很快被甩向外周，但很快成为一整体随容器一起旋转，液体质点间没有相对运动，处于相对平衡。此时，作用在液体质点上的质量力除重力外，根据达朗伯原理，应虚加一个离心惯性力。因为向心加速度为 ω ₂ r ，所以单位质 ₂ r ，方向与向心加速向和 y 向的两个分

同时， Z = - g

根据式（2.5）得

积分，得

由边界条件： r = 0, z = z ₀ 时， p = p ₀ （敞开时为 p _a ），得 C = p ₀ + ρgz ₀ ，于是

式（2.28）为压强分布规律的公式。

令

则上式变为

与绝对静止液体中所得的压强分布规律类似。

（2）等压面方程

根据等压面微分方程式（2.10），将 X = ω ² x , Y = ω ² y 及 z = - g 代入并积分，便得等压面方程为

因此，等角速旋转容器中液体的等压面为一族旋转抛物面。

在液面上，由边界条件， r = 0, z = z ₀ ，代入式（2.29）得 C = z ₀ ，于是

这是旋转容器中液体的自由液面方程，它是顶点高度为 z ₀ 的旋转抛物面，自由面也是等压面。

实际应用式（2.28）时，还需算出抛物面顶点高度 z ₀ 的大小。设 z ₁ 为容器未转动时容器中液面的高度， R 为容器的半径。根据自由液面方程式（2.30），液体在容器边缘所到达的高度 z ₂ 为

由数学推导可知，旋转抛物面所围成的体积等于同高柱体体积的 。故根据旋转前及旋转后液体体积不变的原理得

化简整理得

采用等角速旋转而增大外缘液体压强在工程上很有实用价值。某些机械零件（如轴瓦、轮毂、铸件等）常采用离心铸造的方法，使外缘压强增大，以密实铸件而提高质量。

例 2.7 浇铸车轮如图 2.23 所示，已知 H = 180 mm, D = 600 mm，铁水密度 ρ =7000 kg/ m ³ ，求 M 点的压强；如果采用离心铸造，转速 n = 600 r/ min，则 M 点压强将为多少？

解 不用离心铸造时 M 点的压强（表压强）为

p _{W m} = ρgH = 7000 × 9.81 × 0.18 N/ m ² = 12360 N/ m ² = 12.36 kPa

如果采用离心铸造，因为浇注口位于中心，所以抛物面顶点 z ₀ = H ，由式（2.28）得

式中， , R =2 ，代入上式得

即采用离心铸造时 M 点的压强将增大约 100 倍。 2SjvbIavZwm/MmeDtgbhc6dOnnHP/36dLId7tVAkFw6XJJZPb7yeygiyzEHHZTnU