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为不失一般性，下面研究相对平衡流体的平衡微分方程。
如图 2.4 所示，在相对平衡流体中任取一个边长为 δx 、 δy 及 δz 的微小六面体。该六面体受表面力及质量力的作用而处于平衡状态。设六面体中心点 A （ x , y , z ）的压强为 p ，因为压强在平衡流体中是空间坐标的连续函数，即 p = p （ x , y , z ），按照多元连续函数的泰勒级数展开式，略去二阶以上的微量后，便得到微小六面体各侧面上的压强，从而可计算得各侧面的表面力。
图 2.4 平衡微小六面体
以与 x 轴正交的左右两个侧面为例：
则 x 向的表面力合力为
同理可得出 y 、 z 向的表面力的合力，即
除了表面力外，该微小六面体还受质量力的作用。设单位质量力 f 为空间任意方向，它在各轴向的分量为 X 、 Y 、 Z ，故 x 向的质量力为 Xρδxδyδz , y 向为 Yρδxδyδz , z 向为 Zρδxδyδz 。
由此可得各轴向的合力分别为
作用在该微小六面体上的合力矢量用下式表示，即
用该微元体的体积 δxδyδz = δv 除上式后，便得到精确的表达式，即
这就是一点上单位体积合力的表达式。对于平衡流体，此合力必定等于零，即
式中，第一项括号内的量是梯度
第二括号内是单位质量力
f
=
X
i
+
Y
j
+
Z
k
，则式（2.2）可写为
式（2.3）是流体静力学的基本公式，它表明压强的最大变化率发生在质量力矢量的方向上。
式（2.3）也可写成分量的形式，即
此式为流体平衡微分方程式。它是由欧拉在 1755 年首先导出，故又称为欧拉平衡方程式。它说明在平衡流体中作用于单位体积上同一轴向的质量力分量（
ρX
、
ρY
、
ρZ
）与表面力分量
相等。表明压强沿某轴向的变化率等于该轴向单位体积上的质量力分量。因此，如果平衡流体中某方向无质量力的分量，则该方向就没有压强的变化。
式（2.4）还可以写成另一种表达式，将各式依次乘以d x 、d y 、d z ，然后相加经移项得
因为 p = p （ x , y , z ），所以上式等号左边为静压强 p 的全微分d p ，则平衡方程又可表示为
流体密度 ρ 是个常数，因而从数学角度来分析，式（2.5）右边括号内三项总和必然是某一函数 W （ x , y , z ）的全微分，即
而
由此得
满足式（2.7）的函数 W （ x , y , z ）称为力函数（势函数），具有这样力函数的质量力称为有势力。由此可得到结论：流体只有在有势的质量力的作用下才能保持平衡。
将质量力用势函数表示，则平衡方程又可表示为
积分得 p = ρW + C , C 为积分常数。若已知液体内部或表面某点处的力函数 W 0 和压强 p 0 ，则有
这就是不可压缩流体平衡微分方程积分后静止流体内任一点压强 p 的普遍表达式。
