1.1 动态系统

控制理论的研究对象是 动态系统 （Dynamic System）。动态系统是指状态随时间变化的系统，其特点为系统的 状态变量 （State Variable）是时间的函数。如图1.1.1所示，在光滑的平面上对一辆质量为 m 的小车施加一个随时间变化的外力 u _{（ t ）} ，这便构成了一个动态系统。其中，小车的位移 x _{（ t ）} 是此系统的状态变量，它是时间的函数。它随时间的变化率是其对时间 t 的导数 ，这也代表了小车的速度。而速度随时间的变化率为 ，代表小车的加速度。根据牛顿第二定律，得到

在这个动态系统中，将外力 u _{（ t ）} 定义为系统的 输入 （Input），将小车位移 x _{（ t ）} 定义为系统的 输出 （Output）。式（1.1.1）说明给定的系统输入（即作用在小车上的外力 u _{（ t ）} ）将通过影响小车的加速度和小车的速度，最终影响系统的输出（小车的位移 x _{（ t ）} ）。

在本书中，若无特别说明，研究的动态系统特指 线性时不变系统 （Linear Time Invariant System）。其中， 线性 指系统的输入与输出是线性映射的，符合 叠加原理 （Superposition Principle）。如图1.1.2所示，如果一个线性系统在输入 的作用下，输出是 ；在输入 的作用下，输出是 。那么当输入为 （其中 a 和 b 是常数）时，系统的输出等于 。

时不变性 是指如果系统的输入信号延迟了时间 T ，那么系统的输出也会延迟时间 T 。如图1.1.3所示，系统在输入 作用下的输出是 。那么在延迟 T 之后的输入 作用下，系统的输出是 。一般情况下，时不变系统的数学表达式中都是常数系数（系数不是时间的函数）。

线性时不变系统必须 同时满足 上面两个性质。请判断下面几例是否为线性时不变系统：

（1）

该系统为线性时变系统，因为参数 c _{（ t ）} 随时间变化。

（2）

该系统为非线性时不变系统，其中非线性项为sin x _{（ t ）} ，而 。

（3）

该系统为线性时不变系统。