3.3.3 二维相平面与相轨迹
——一般形式

掌握了简化形式的二维系统相轨迹后，可以推广到一般形式。首先将式（3.3.5）解耦（对角化），定义一个新的状态变量 ，令 。 P 是过渡矩阵（ P =[ υ ₁ ， υ ₂ ]），其中 υ ₁ 和 υ ₂ 是矩阵 A 的特征向量。根据3.3.2节中的介绍，可得

其中， λ ₁ 和 λ ₂ 是矩阵 A 的特征值。式（3.3.9）是一个对角矩阵，分析它的相轨迹可以使用3.3.2节的结论。下面通过几个例子深入地讨论一般形式矩阵的相轨迹。

例3.3.2 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 首先求矩阵 A 的特征值，令| A - λ I |=0，可得 ，与其相对应的特征向量分别为 υ ₁ =[2，1] ^T ， υ ₂ =[1，1] ^T 。令 ，其中 ，根据式（3.3.9），得到

式（3.3.10）所示矩阵 A 的特征值都是实数且符号相反，这种情况和3.3.2节中讨论的类（2）是一样的，如前面所分析的，平衡点 是一个鞍点。它的相轨迹如图3.3.8（a）所示， 随着时间增加而靠近平衡点， 随着时间增加而远离平衡点。式（3.3.10）中 的解为

其中， C ₁ 、 C ₂ 为两个常数，和初始条件 相关。

此时原始状态变量 z _{（ t ）} 为

式（3.3.12）说明 z _{（ t ）} 是 通过矩阵 P 的线性变换，在通过这个线性变换之后，相轨迹将从 映射到 上。如图3.3.8（b）所示，从直观上看，这个线性变换将 和 两个坐标轴沿着图中箭头的方向旋转到 υ ₁ 和 υ ₂ 上，那么相轨迹也会被相应地“拉长”与“压扁”。 z _{（ t ）} 的相轨迹如图3.3.8（c）所示。更为重要的是，这个线性变化不会改变平衡点的性质，因此平衡点 z _f 的性质与 保持一致，是一个 鞍点 。这也可以通过式（3.3.12）得到验证：例如，在某种初始条件下， C ₂ =0，可得 ，说明随着时间的增加， 和 将沿着 υ ₁ =[2，1] ^T 这条直线向[0，0] ^T 移动（相对应的指数部分为 λ ₁ =-1）。同理，当 C ₁ =0时， ，这说明随着时间的增加， 和 将沿着 υ ₂ =[1，1] ^T 这条直线趋于无穷（对应的指数部分为 λ ₂ =1）。

例3.3.3 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 矩阵 A 的特征值为 ，因此平衡点 z _f 是一个 不稳定节点 。相轨迹的分析方法同例3.3.2，故不再赘述。

例3.3.4 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 矩阵 A 的特征值为 ，因此平衡点 z _f 是一个 稳定的节点 。相轨迹的分析方法同例3.3.2，故不再赘述。

例3.3.3和例3.3.4的相轨迹如图3.3.9所示，请读者自行推导。

例3.3.5 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 首先求解矩阵 A 的特征值与特征向量，可得

式（3.3.13）说明矩阵 A 的特征值是一对共轭复数，而且它不存在实数特征向量（特征向量无法在相平面中表达出来）。前面例子的处理方法将无法使用，因此需要从解入手分析。首先令 ，其中 ，可得

式（3.3.14）的解为

根据欧拉公式e ^{j t} =cos t +jsin t ，式（3.3.15）可以写成

将式（3.3.16）代入 ，可得

令 C ₁ + C ₂ = B ₁ ， C ₁ - C ₂ = B ₂ ，则式（3.3.17）化简为

根据式（3.3.18）可得

将 C ₁ + C ₂ = B ₁ 、 C ₁ - C ₂ = B ₂ 代入式（3.3.19）可得

两边同时乘以 ，整理后可得

式（3.3.21）是一个以原点为中心的椭圆方程，这说明 和 在相平面中沿着一个椭圆的轨迹运行，如图3.3.10所示。在这种情况下，平衡点 z _f 称为 中心点 （Center），相轨迹会围绕着这个中心点做圆周运动。判断相轨迹的运动方向，可以以一个在横轴的点进行分析，例如，选择状态在横轴 （如图3.3.10所示，选择 ）的点进行分析。此时根据状态空间方程 ，可得 。在这一时刻， ，所以 不会随时间改变。而 ，所以 会随着时间的增加而减小。在相轨迹中， 在 t =0时的移动趋势指向下方，所以相轨迹在图中按照顺时针移动。图3.3.10（b）显示了 和 随时间的变化。可以发现， 和 此消彼长，循环往复。如果从能量的角度来分析，它们的总能量取决于初始状态 z _（0） ，不会随着时间发生改变。所以这个系统处于稳定与不稳定之间， z _{（ t ）} 始终有界，但始终不为0。

例3.3.6 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 首先求解矩阵 A 的特征值，可得

矩阵 A 的特征值是共轭的复数，但与例3.3.5不同，它包含了实部部分。分析它的解，令 ，其中 P =[ υ ₁ ， υ ₂ ]，可得

式（3.3.23）的解为

可以发现，它和式（3.3.15）的差别在于一个系数e ^t ，而e ^t 是随着时间的增加而不断增大的。因此其相轨迹如图3.3.11（a）所示，它与图3.3.10（a）类似，以原点为中心做圆周运动，但是直径在不断地扩大，形成了一个向外的螺旋线（本例中，螺旋线的方向是逆时针的，如例3.3.5所分析，可以通过坐标轴上一点进行判断，故不赘述）。 z _{（ t ）} 随时间变化的示意图如图3.3.11（b）所示，会持续地振荡且振幅不断地加强。在这种情况下，平衡点 z _f 称为 不稳定焦点 （Unstable Spiral）。

例3.3.7 分析二阶系统 的相轨迹，其中 。

解： 求解矩阵 A 的特征值，可得

与例3.3.6类似，可以判断出它的平衡点是一个 稳定焦点 （Stable Spiral）。相轨迹将沿螺旋线指向原点。其所对应的时间函数将振荡衰减，直至为0。它的相轨迹和时间函数如图3.3.12所示。

上述例子说明，状态矩阵 A 的特征值将决定平衡点的类型及系统的表现。表3.3.1总结了特征值与平衡点类型的关系。通过上述分析和表3.3.1可知，状态矩阵 A 的特征值实部部分决定了平衡点的稳定性，而特征值的虚部部分决定了系统是否会有振动。