3.3.2 二维相平面与相轨迹
——简化形式

考虑一个二维系统，在没有输入的情况下，它的状态空间方程为

求式（3.3.5）的平衡点，可令 ，得到

首先分析简化矩阵，假设 a ₁₂ = a ₂₁ =0。此时式（3.3.5）可以化简为

即

下面根据 a ₁₁ 和 a ₂₂ 的符号来进行分类讨论。

类（1 ）： a ₁₁ >0且 a ₂₂ >0。

首先分析 a _{1 1} = a ₂₂ >0的情况：从坐标轴上的点入手，假设 z _{（ t ）} 在 t =0时位于坐标横轴上，即 ，此时 在平衡点上，所以 不会随时间改变。如图3.3.4（a）所示，当初始状态 时，根据式（3.3.8）， ，因此 会随着时间增加而不断地增加，向右移动并远离平衡点。同理，如果初始状态处于平衡点左边，即 ，那么随着时间的增加， 会不断地减小（向左移动）。读者可以用同样的方法去分析在纵轴上 的情况，如图3.3.4（a）所示，在纵轴上 的变化也将是沿着远离平衡点的轨迹移动。

把坐标轴上的情况推广到整个相平面上可以得到图3.3.4（b）所示的图像。如果初始位置在第一象限，即 且 ，此时 。因此，两个变量都会随着时间的增加而增加。而且因为 a ₁₁ = a ₂₂ ，所以根据式（3.3.7）， 和 的变化速率是一样的，此时的相轨迹便是一条直线。读者可以自行推导在其他象限上的情况。

如果 a ₁₁ ≠ a ₂₂ >0，那么它的相轨迹如图3.3.5所示。因为两个变量的变化率不同，所以相轨迹是一条曲线，但仍然是远离平衡点位置的。在这种情况下，平衡点 z _f 称为 不稳定节点 （Unstable Node）。

类（2 ）： a ₁₁ >0且 a ₂₂ <0。

使用与类（1）相似的分析方法。首先分析坐标轴上的点，其中平衡点 z _1f =0是不稳定平衡点， 会从初始位置向远离平衡点的方向移动。同时，因为 a ₂₂ <0，所以在坐标轴纵轴上，一个偏离平衡点 z _2f =0的初始状态会向平衡点移动。例如，在图3.3.6（a）中，初始位置为 ，此时 。所以 将随着时间的增加递减，并逐渐靠近平衡点 z _2f =0。

得到坐标轴上的情况之后，便可以推导出整个相平面上的相轨迹，如图3.3.6（b）所示。相轨迹会沿着横轴远离平衡点 z _1f =0的位置，同时沿着纵轴靠近平衡点 z _2f =0的位置。在此情况下，随着时间 t 趋于无穷， 将收敛于平衡点 z _2f =0，而 将趋于正（负）无穷。

当 a ₁₁ <0、 a ₂₂ >0时与上述分析类似，故不再赘述，读者可以自行推导。在这种情况下，平衡点 z _f 称为 鞍点 （Saddle），是一个不稳定的点。

类（3 ）： a ₁₁ <0且 a ₂₂ <0。

可以使用与类（1）相同的方式分析，故不再赘述。它的相轨迹如图3.3.7所示。其中，图3.3.7（a）显示的情况是| a _{1 1} |=| a ₂₂ |，所以 与 向平衡点收敛的速度是相同的。而在图3.3.7（b）中，| a _{1 1} |>| a ₂₂ |，所以 的收敛速度会大于 的收敛速度。

在这种情况下，平衡点 z _f 称为 稳定节点 （Stable Node）。 6wISaEahi42jbRhs2OS8xdJDi8t2SfnomloKxY0PzbTTLvvOb31+Rnlpg5OmycIX