首先讨论使用图形化分析一阶微分方程的方法。考虑一个一阶微分方程:
将其在相平面中绘制出来,令横轴为状态变量
z
(
t
)
,纵轴为
。式(3.3.1)所表达的是一条抛物线,如图3.3.1所示,它与横坐标之间存在两个交点,分别定义为
z
f1
和
z
f2
。当状态变量
z
(
t
)
位于这两个点时,
,说明此刻的
z
(
t
)
将不会随时间发生任何改变。因此,这两个点被称为
平衡点
(Equilibrium Point或者Fixed Point)。从动态系统的角度考虑,当状态变量
z
(
t
)
位于平衡点时的动态系统会保持“静止”的状态。
一旦状态变量偏离平衡点之后,动态系统便会“动”起来,此时我们所关心的是系统能否回到静止的状态(平衡点)。首先看图3.3.1(a),假设状态变量
z
(
t
)
在
t
=0时位于平衡点
z
f1
的左边,即
z
(0)
=
z
1l
。根据图像显示,此时
,这说明随着时间的增加,状态变量
z
(
t
)
也会增加。在图中,
z
(
t
)
将沿着向右的轨迹移动。而在它移动的过程中,
始终保持为正值,因此
z
(
t
)
就会一直增加并保持向右移动。直到
z
(
t
)
=
z
f1
时才会停下来(此时
)。同理,如果
t
=0时
z
(0)
在
z
f1
的右边,即
z
(0)
=
z
1r
,此时
,
z
(
t
)
则会随着时间的增加而向左移动(随着时间的增加而减小),直到平衡点
z
f1
为止。以上的分析说明,当系统的状态变量
z
(
t
)
小范围偏离平衡点
z
f1
后,会自动回到平衡点
z
f1
。因此,
z
f1
被称为
稳定平衡点
。
图3.3.1 一维微分方程图形化分析
用同样的方法分析另一个平衡点 z f2 ,请读者根据图3.3.1(b)自行推导,可以发现,无论 z ( t ) 的初始位置在 z f2 的左边还是右边,它的变化趋势都将会是远离 z f2 。因此, z f2 被称为系统的 不稳定平衡点 。即状态变量偏离 z f2 之后,就无法再自动地回到 z f2 这个平衡点上。需要注意的是,根据图3.3.1,只有当初始位置 z (0) 在 z f2 左边,即 z (0) < z f2 时,状态变量才可以回到平衡点 z f1 。因此, z f1 是一个 局部 (Local)稳定的平衡点。
使用此方法来分析如下非线性微分方程。
例3.3.1 利用相平面与相轨迹分析Logistic人口繁衍模型,它的微分方程为
其中, P ( t ) 是人口数, r 是人口的自然增长率( r >0), K 是环境承载力。
解: 式(3.3.2)可以写成
因为式(3.3.3)存在
P
2
(
t
)
项,所以它是一个非线性的系统,求解微分方程相较于线性系统会更加困难,使用相平面可以简化分析并直观地理解系统的特征。首先来寻找系统的平衡点,令
,可得
上面两个平衡点的位置很容易通过物理意义来理解。首先,
P
f1
=0说明这是个无人区,人口自然不会凭空产生出来。而当
P
f2
=
K
时,说明人口数达到了环境的承载力,将在此位置保持平衡。将式(3.3.3)分成两部分,即
rP
(
t
)
和
,并把这两条曲线在相平面中绘制出来,如图3.3.2所示,系统的平衡点位于两条曲线交叉位置
。负数对于人口数量没有意义,所以图中只包含了正数部分。横轴为人口数
P
(
t
)
,纵轴为人口变化率
。
图3.3.2 例3.3.1相轨迹分析
首先分析平衡点
P
f1
=0。如图3.3.2所示,当有少量人口迁移到此地时(此时假设初始状态为
P
(0)
=
P
1
),此时的人口变化率
,因此随着时间的增加,人口将正增长,
P
(
t
)
将沿着正方向轨迹移动并将远离平衡点
P
f1
,所以
P
f1
是一个不稳定平衡点。这说明一个地方一旦开始出现生命,就会生生不息。同时可以发现,随着
P
(
t
)
不断向正方向移动,
rP
(
t
)
与
之间的差距会越来越大,直到
时它们达到最大的差值。这说明当人口数
时,人口的增长率在不断地升高,人口加速增长。而当
以后,增长速度就会减缓,直到达到环境的承载力,即另一个平衡点
P
f2
=
K
时为止。
考虑另一种情况,如果突然间有大量的人口涌入这个地方(此时初始状态为
P
(0)
=
P
2
),从图3.3.2中可以发现,此时
,所以变化率
,人口将负增长(
P
(
t
)
将沿着负方向移动)。同时可以发现,初始状态下涌入的人越多,负增长的速率就越高,随着人口的下降,负增长的速率也会下降,直到达到环境的承载力,即平衡点
P
f2
=
K
为止。所以
P
f2
是一个稳定的平衡点。
图3.3.3显示了从
P
1
和
P
2
开始时人口随时间的变化。它呈现出了与上面分析一致的结果。当初始位置从
P
1
开始时,人口的增速会越来越快,直到
后增速开始下降,并达到承载力。而一旦人口超过承载能力
K
以后,将会迅速负增长以达到平衡点。
图3.3.3 例3.3.1人口随时间的变化趋势图
如图3.3.3所示,在此模型条件下,人口从 P 1 增长到 K 的速度要远远慢于人口从 P 2 下降到 K 的速度。这是因为一个人从出生到成熟需要十几年的时间,繁衍一代人则需要二三十年的时间。然而,一场战争、一场瘟疫或一场自然灾害却可以在短时间内毁灭大量的人口,甚至造成深远的断代影响。人类是世界上最伟大的物种,自从诞生在这个地球以来就开始了对自然界的征服之旅,仅仅用了很短的时间就站到了食物链的顶端,从此不断地繁衍、进化,变得文明。与此同时,人类的生存环境也在被自身的活动不断地改变着。上述人口模型比较简单且参数较少,它并没有考虑到人口的年龄结构、迁徙、疾病、科技发展,或是政策因素的影响。但即便如此,这个简单的数学模型仍然揭示了人类活动和环境承载力之间的关系,并阐述了一个重要的道理:在发展的同时需要对自然法则存一份敬畏之心。尊重自然,尊重科学,人类的文明才能够更加繁荣地发展下去。