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3.3.1 一维相轨迹

首先讨论使用图形化分析一阶微分方程的方法。考虑一个一阶微分方程:

将其在相平面中绘制出来,令横轴为状态变量 z t ,纵轴为 。式(3.3.1)所表达的是一条抛物线,如图3.3.1所示,它与横坐标之间存在两个交点,分别定义为 z f1 z f2 。当状态变量 z t 位于这两个点时, ,说明此刻的 z t 将不会随时间发生任何改变。因此,这两个点被称为 平衡点 (Equilibrium Point或者Fixed Point)。从动态系统的角度考虑,当状态变量 z t 位于平衡点时的动态系统会保持“静止”的状态。

一旦状态变量偏离平衡点之后,动态系统便会“动”起来,此时我们所关心的是系统能否回到静止的状态(平衡点)。首先看图3.3.1(a),假设状态变量 z t t =0时位于平衡点 z f1 的左边,即 z (0) = z 1l 。根据图像显示,此时 ,这说明随着时间的增加,状态变量 z t 也会增加。在图中, z t 将沿着向右的轨迹移动。而在它移动的过程中, 始终保持为正值,因此 z t 就会一直增加并保持向右移动。直到 z t = z f1 时才会停下来(此时 )。同理,如果 t =0时 z (0) z f1 的右边,即 z (0) = z 1r ,此时 z t 则会随着时间的增加而向左移动(随着时间的增加而减小),直到平衡点 z f1 为止。以上的分析说明,当系统的状态变量 z t 小范围偏离平衡点 z f1 后,会自动回到平衡点 z f1 。因此, z f1 被称为 稳定平衡点

图3.3.1 一维微分方程图形化分析

用同样的方法分析另一个平衡点 z f2 ,请读者根据图3.3.1(b)自行推导,可以发现,无论 z t 的初始位置在 z f2 的左边还是右边,它的变化趋势都将会是远离 z f2 。因此, z f2 被称为系统的 不稳定平衡点 。即状态变量偏离 z f2 之后,就无法再自动地回到 z f2 这个平衡点上。需要注意的是,根据图3.3.1,只有当初始位置 z (0) z f2 左边,即 z (0) < z f2 时,状态变量才可以回到平衡点 z f1 。因此, z f1 是一个 局部 (Local)稳定的平衡点。

使用此方法来分析如下非线性微分方程。

例3.3.1 利用相平面与相轨迹分析Logistic人口繁衍模型,它的微分方程为

其中, P t 是人口数, r 是人口的自然增长率( r >0), K 是环境承载力。

解: 式(3.3.2)可以写成

因为式(3.3.3)存在 P 2 t 项,所以它是一个非线性的系统,求解微分方程相较于线性系统会更加困难,使用相平面可以简化分析并直观地理解系统的特征。首先来寻找系统的平衡点,令 ,可得

上面两个平衡点的位置很容易通过物理意义来理解。首先, P f1 =0说明这是个无人区,人口自然不会凭空产生出来。而当 P f2 = K 时,说明人口数达到了环境的承载力,将在此位置保持平衡。将式(3.3.3)分成两部分,即 rP t ,并把这两条曲线在相平面中绘制出来,如图3.3.2所示,系统的平衡点位于两条曲线交叉位置 。负数对于人口数量没有意义,所以图中只包含了正数部分。横轴为人口数 P t ,纵轴为人口变化率

图3.3.2 例3.3.1相轨迹分析

首先分析平衡点 P f1 =0。如图3.3.2所示,当有少量人口迁移到此地时(此时假设初始状态为 P (0) = P 1 ),此时的人口变化率 ,因此随着时间的增加,人口将正增长, P t 将沿着正方向轨迹移动并将远离平衡点 P f1 ,所以 P f1 是一个不稳定平衡点。这说明一个地方一旦开始出现生命,就会生生不息。同时可以发现,随着 P t 不断向正方向移动, rP t 之间的差距会越来越大,直到 时它们达到最大的差值。这说明当人口数 时,人口的增长率在不断地升高,人口加速增长。而当 以后,增长速度就会减缓,直到达到环境的承载力,即另一个平衡点 P f2 = K 时为止。

考虑另一种情况,如果突然间有大量的人口涌入这个地方(此时初始状态为 P (0) = P 2 ),从图3.3.2中可以发现,此时 ,所以变化率 ,人口将负增长( P t 将沿着负方向移动)。同时可以发现,初始状态下涌入的人越多,负增长的速率就越高,随着人口的下降,负增长的速率也会下降,直到达到环境的承载力,即平衡点 P f2 = K 为止。所以 P f2 是一个稳定的平衡点。

图3.3.3显示了从 P 1 P 2 开始时人口随时间的变化。它呈现出了与上面分析一致的结果。当初始位置从 P 1 开始时,人口的增速会越来越快,直到 后增速开始下降,并达到承载力。而一旦人口超过承载能力 K 以后,将会迅速负增长以达到平衡点。

图3.3.3 例3.3.1人口随时间的变化趋势图

如图3.3.3所示,在此模型条件下,人口从 P 1 增长到 K 的速度要远远慢于人口从 P 2 下降到 K 的速度。这是因为一个人从出生到成熟需要十几年的时间,繁衍一代人则需要二三十年的时间。然而,一场战争、一场瘟疫或一场自然灾害却可以在短时间内毁灭大量的人口,甚至造成深远的断代影响。人类是世界上最伟大的物种,自从诞生在这个地球以来就开始了对自然界的征服之旅,仅仅用了很短的时间就站到了食物链的顶端,从此不断地繁衍、进化,变得文明。与此同时,人类的生存环境也在被自身的活动不断地改变着。上述人口模型比较简单且参数较少,它并没有考虑到人口的年龄结构、迁徙、疾病、科技发展,或是政策因素的影响。但即便如此,这个简单的数学模型仍然揭示了人类活动和环境承载力之间的关系,并阐述了一个重要的道理:在发展的同时需要对自然法则存一份敬畏之心。尊重自然,尊重科学,人类的文明才能够更加繁荣地发展下去。 ycJLk7Zrl6MVZScXITRpiiBfgBemCJdNFO1VPHqh0CNprufxdKk7i4fR/CVw8nka

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