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特征值与特征向量的一个重要应用是将矩阵转化成对角矩阵，从而达到 解耦 （Decouple）的效果。解耦即解除耦合，而耦合是指一个系统里面的两个或以上的状态变量存在相互影响、相互关联的作用。考虑一个包含两个状态变量的系统，它的微分方程组为
式（3.2.14）说明，系统状态变量
的变化率
除了与自身相关之外，还与
相关。而
的变化率
同时是
和
的函数，这样的两个状态变量就是耦合的。对于耦合系统，分析单个状态变量的变化需要同时考虑两个变量，这是不容易做到的。将上述系统写成紧凑的状态空间方程，得到
其中，
若要解耦这个系统，首先需要定义 过渡矩阵 （Transition Matrix）：
其中， υ 1 、 υ 2 是矩阵 A 所对应的两个特征向量。用矩阵 A 左乘以过渡矩阵，可得
因为
和
是矩阵
A
的特征向量，所以
，其中，
λ
1
和
λ
2
是特征向量
υ
1
和
υ
2
所对应的特征值。式（3.2.17）可以写成
其中
是一个特征值位于对角线上的对角矩阵。现在对式（3.2.18）等号两边同时左乘以
P
-1
，可得
式（3.2.19）通过过渡矩阵 P 将原矩阵 A 对角化。
下面定义一组新的状态变量
，令
将式（3.2.20）代入式（3.2.15），可得
式（3.2.21）等号两边同时左乘以 P -1 ，得到
其中， P -1 P = I 是单位矩阵。根据式（3.2.19）， P -1 AP = D 。可得
即
式（3.2.24）说明新的状态变量
和
的变化率只和自身相关，因此通过这样的一个变换之后，原来系统中的耦合关系就不再存在。而求解式（3.2.24）则非常容易，根据微分方程的求解公式可得
其中， C 1 和 C 2 是常数，与初始条件有关。
我们之前已经计算过了矩阵 A 的特征值（参考式（3.2.9））及特征向量（参考式（3.2.11）和式（3.2.13）），代入式（3.2.25）可得
此时，根据式（3.2.20），可以得到系统的原状态变量 z （ t ） 的表达式，即
请读者观察式（3.2.27），会发现状态矩阵
A
的特征值
λ
1
=2和
λ
2
=-3出现在指数的部分。它们将决定
z
（
t
）
随时间的变化趋势。例如，
的第一项
C
1
e
2
t
会随着时间的增加趋于无穷大，而第二项0.5
C
2
e
-3
t
则会随着时间的增加趋于零。因此，这两项相加的结果也会随着时间的增加趋于无穷大。
也有同样的表现。综上所述，随着时间的增加，系统的状态变量
z
（
t
）
会趋于无穷。以上解耦的方法也可以推广到更高阶的矩阵当中，这部分推导留给读者自行分析。
讨论过数学基础之后，我们将正式进入相平面与相轨迹的分析中。