3.2.1 矩阵的特征值与特征向量

在线性代数中，对于一个给定的方阵 A ，它的特征向量 υ 经过矩阵 A 线性变换的作用之后，得到的新的向量仍然与原来的 υ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即

其中， λ 为标量，即特征向量的长度在矩阵 A 线性变换下缩放的比例，称为矩阵 A 的 特征值 。

首先来看线性变换，假设有一个二维矩阵 A 与一个向量 υ _a ，其中，

用矩阵 A 左乘以 υ _a ，根据矩阵的乘法法则，可得

从 υ _a 到 A υ _a 的过程称为线性变换，如图3.2.1（a）所示。向量 υ _a 经过矩阵 A 线性变换后，长度发生了改变，而且不再和原向量保持在一条直线上。

再来考虑另一个向量 υ _b =[1，1] ^T ，对它进行同样的通过矩阵 A 的线性变换，可得

式（3.2.5）说明通过矩阵 A 线性变换后， A υ _b = λ υ _b =2 υ _b 。如图3.2.1（b）所示，经过变换后的新向量与原向量在一条直线上，但是长度发生了改变。根据定义， υ _b 是矩阵 A 的特征向量，缩放比例 λ =2则是矩阵 A 对应于特征向量 υ _b 的特征值。

现在以矩阵 A 为例，说明如何求解特征值与特征向量。根据式（3.2.2），可得

其中， I 为单位矩阵，维度与 A 相同。根据矩阵理论，如果式（3.2.6）有非零解，则矩阵（ A - λ I ）的行列式必须为零，即

将 代入式（3.2.7），可得

即

式（3.2.8b）称为矩阵 A 的 特征方程 （Characteristic Equation）。可以得到矩阵 A 的两个特征值：

将式（3.2.9）代入式（3.2.6）即可得到不同特征值所对应的特征向量。例如，当 λ ₁ =2时，对应的特征向量为 v ₁ =[ v ₁₁ ， v ₁₂ ] ^T ，根据式（3.2.6），可得

式（3.2.10）说明特征向量 υ ₁ 存在于 v ₁₁ = v ₁₂ 这一条直线上。可以任意取其中的一组，例如选取 v ₁₁ = v ₁₂ =1，那么矩阵 A 对应于特征值 λ ₁ =2的特征向量为

υ ₁ 通过矩阵 A 的线性变换后得到 A υ ₁ =[2，2] ^T =2 υ ₁ ，如图3.2.1（b）所示。

同理，可以计算 υ ₂ ，即特征值 λ ₂ =-3时的特征向量，可得

选取 v ₂₁ =0.5， v ₂₂ =-2。那么，矩阵 A 对应于特征值 λ ₂ =-3的特征向量为

此时， 。 L8PxtNJlgx8u2cdvtQH8TW5hmuM9A8jvKmcY2qA7U7BAk1PnZ9t7uSaWKZCIh9gN