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如3.1.1节所分析的，一个单输入单输出系统可以写成式（3.1.2）的传递函数形式和式（3.1.8a）、式（3.1.8b）的状态空间方程表达式，下面我们来讨论这两种形式之间的联系。
对式（3.1.8a）、式（3.1.8b）的等式两边进行拉普拉斯变换，得到
考虑零初始状态
，式（3.1.14a）、式（3.1.14b）可以整理为
其中，
。式（3.1.15a）调整后可得
其中，（
s
I
-
A
）
-1
是（
s
I
-
A
）的逆矩阵；
I
是
n
×
n
单位矩阵，
。
将式（3.1.16）代入式（3.1.15b）中并调整，可得
因此，系统的传递函数可以表达为
考虑图3.1.1的弹簧质量阻尼系统，其中
D
=0，根据矩阵求逆公式（
s
I
-
A
）
-1
=
，代入式（3.1.18）可得
其中，（ s I - A ） * 是（ s I - A ）的伴随矩阵，| s I - A |是（ s I - A ）的行列式。
观察式（3.1.19），如果令 G （ s ） 的分母部分为零，即| s I - A |=0，得出的 s 值有两个含义：第一，从传递函数的角度考虑，它是传递函数的极点；第二，从状态矩阵的角度考虑，它是矩阵 A 的特征值（令| s I - A |=0是求矩阵 A 特征值的公式，见3.2.1节）。在2.3节中曾经介绍过，通过分析传递函数极点可以判断系统的表现。而当把系统写成状态空间方程之后，状态矩阵 A 的特征值即为其相对应的传递函数 G （ s ） 的极点。因此，通过分析矩阵 A 的特征值也可以判断系统的表现。
请参考代码3.1：3-1_Statespace_Example.m。